3.1.5 空间向量运算的坐标表示

高中·数学3.1.5空间向量运算的坐标表示高中·数学课标要求:1.理解空间向量坐标的概念,会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律,会判断两个向量的共线或垂直.3.掌握空间向量的模,夹角公式和两点间距离公式,并能运用这些知识解决一些相关问题.高中·数学自主学习课堂探究高中·数学自主学习新知建构·自我整合【情境导学】已知在单位正交基底{i,j,k}下,向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).想一想向量a+b,a-b的坐标分别是如何推导的?(a+b=(a1i+a2j+a3k)+(b1i+b2j+b3k)=(a1+b1)i+(a2+b2)j+(a3+b3)k,故a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),同理有a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3))高中·数学知识探究1.空间向量运算的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a+b=;a-b=;λa=(λa1,λa2,λa3)(λ∈R);a·b=;a∥b⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R);a⊥b⇔.(a1+b1,a2+b2,a3+b3)(a1-b1,a2-b2,a3-b3)a1b1+a2b2+a3b3a1b1+a2b2+a3b3=0高中·数学2.空间向量夹角和距离的坐标计算公式(1)夹角公式设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则cosa,b=.112233223222123123abababaaabbb(2)距离公式设点A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则dAB=AB=222212121aabbcc.探究:空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似吗?答案:类似,空间向量的坐标运算是平面向量坐标运算的推广,两者实质是一样的,只是表达形式不同而已,空间向量多了个竖坐标.高中·数学自我检测1.(坐标运算)在空间直角坐标系Oxyz中,已知点A的坐标为(-1,2,1),点B的坐标为(1,3,4),则()(A)AB=(-1,2,1)(B)AB=(1,3,4)(C)AB=(2,1,3)(D)AB=(-2,-1,-3)C高中·数学2.(求距离)设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到C的距离|CM|的值为()(A)534(B)532(C)532(D)132解析:AB的中点M(2,32,3),又C(0,1,0),所以CM=(2,12,3),故M到C的距离|CM|=|CM|=2221232=532.故选C.C高中·数学3.(垂直问题)已知向量a=(-2,x,2),b=(2,1,2),c=(4,-2,1),若a⊥(b-c),则x的值为()(A)-2(B)2(C)3(D)-3解析:因为b-c=(2,1,2)-(4,-2,1)=(-2,3,1),a·(b-c)=(-2,x,2)·(-2,3,1)=4+3x+2=0,所以x=-2故选A.A高中·数学解析:由a=zb,得2,3,14,xzyzz所以1,212,1.4xyz4.(平行问题)若a=(x,3,1),b=(2,y,4),且a=zb,则c=(x,y,z)=.答案:(12,12,14)高中·数学解析:因为a=(cosα,1,sinα),b=(sinα,1,cosα),所以|a|=|b|=22cos1sin,所以(a+b)·(a-b)=a2-b2=0所以a+b与a-b垂直,所以向量a+b与a-b的夹角为90°.5.(求夹角)已知a=(cosα,1,sinα),b=(sinα,1,cosα),则向量a+b与a-b的夹角是.答案:90°高中·数学题型一空间向量的坐标运算课堂探究典例剖析·举一反三解:AB=(2,6,-3),AC=(-4,3,1),所以AB-AC=(6,3,-4).(1)OP=12(6,3,-4)=(3,32,-2),则点P的坐标为(3,32,-2).【例1】已知O为坐标原点,A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3).求点P的坐标,使(1)OP=12(AB-AC);高中·数学解:(2)设点P的坐标为(x,y,z),则AP=(x-2,y+1,z-2),因为12(AB-AC)=AP=(3,32,-2),所以x=5,y=12,z=0,则点P的坐标为(5,12,0).(2)AP=12(AB-AC).高中·数学题后反思求空间某点的坐标时,一定要注意向量的起点是否在原点,(1)当向量的始点为原点时,向量的坐标即为终点的坐标;如OP=(3,32,-2)(其中O为原点),则P(3,32,-2).(2)当向量的始点不为原点时,求终点坐标需将位置向量加上始点坐标.例如,AP=(3,32,-2),A(2,-1,2),则P的坐标为(3+2,32-1,-2+2),即P(5,12,0).高中·数学即时训练1-1:若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1)满足条件(c-a)·(2b)=-2,则x=.解析:因为c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2),(c-a)·2b=-2,所以2(1-x)=-2,所以x=2.答案:2高中·数学解:①因为AB=OB-OA=(3,7,5)-(2,4,1)=(1,3,4),AC=OC-OA=(4,10,9)-(2,4,1)=(2,6,8),所以AC=2AB.所以A,B,C三点共线.【备用例1】(2016·山西朔州高二检测)①已知OA=(2,4,1),OB=(3,7,5),OC=(4,10,9),试判断A,B,C三点是否共线;高中·数学解:②因为AB=(1,4,0),AC=(1,2,2),AD=(9,14,16),令AD=xAB+yAC,则(9,14,16)=x(1,4,0)+y(1,2,2).所以9,4214,216,方程组无解.xyxyy所以AD,AB,AC不共面.所以A,B,C,D四点不共面.②已知A(1,0,1),B(2,4,1),C(2,2,3),D(10,14,17),试判断A,B,C,D四点是否共面.高中·数学题型二利用向量解决平行与垂直问题解:(1)因为BC=(-2,-1,2),且c∥BC,所以设c=λBC=(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R),所以|c|=22222=3|λ|=3.解得λ=±1.所以c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).【例2】已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设a=AB,b=AC.(1)设|c|=3,c∥BC,求c;高中·数学解:(2)因为a=AB=(1,1,0),b=AC=(-1,0,2).所以ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).因为(ka+b)⊥(ka-2b),所以(ka+b)·(ka-2b)=0.即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0.解得k=2或k=-52.(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.高中·数学解:a=(1,1,0),b=(-1,0,2),所以ka+b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2).a+kb=(1,1,0)+(-k,0,2k)=(1-k,1,2k),因为ka+b与a+kb平行,所以ka+b=λ(a+kb),即(k-1,k,2)=λ(1-k,1,2k),所以11,1,22,kkkk则1,1k或1,1.k变式探究:将本例(2)中“若ka+b与ka-2b互相垂直”改为“若ka+b与a+kb互相平行”,其他条件不变,求k的值.高中·数学方法技巧向量平行与垂直问题的两种类型(1)平行与垂直的判断①应用向量的方法判定两直线平行,只需判断两直线的方向向量是否共线;②判断两直线是否垂直,关键是判断两直线的方向向量是否垂直,即判断两向量的数量积是否为0.(2)利用平行与垂直求参数或其他问题,即平行与垂直的应用.解题时要注意:①适当引入参数(比如向量a,b平行,可设a=λb),建立关于参数的方程;②选择坐标形式,以达到简化运算的目的.高中·数学即时训练2-1:(2016·山东潍坊高二期末)已知向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2).下列结论正确的是()(A)a∥b,a∥c(B)a∥b,a⊥c(C)a∥c,a⊥b(D)以上都不对解析:因为c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1),所以a∥c.又a·b=(-2)×2+(-3)×0+1×4=0,所以a⊥b.故选C.高中·数学题型三利用向量的坐标形式求夹角与距离解:(1)如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设AA1=a,则B(4,4,0),N(2,2,a),A(4,0,0),M(2,4,2a),所以BN=(-2,-2,a),AM=(-2,4,2a).由BN⊥AM得BN·AM=0,所以4-8+22a=0,解得a=22,所以1AA的长为22.【例3】在长方体AC1中,底面ABCD是边长为4的正方形,A1C1与B1D1交于点N,BC1与B1C交于点M,且AM⊥BN,建立空间直角坐标系.(1)求1AA的长;高中·数学(2)求cosBN,1AD.解:(2)由(1)可得BN=(-2,-2,22),1AD=(-4,0,22),所以cosBN,1AD=11||||BNADBNAD=63.高中·数学方法技巧(1)求空间中两向量夹角的方法①基向量法:结合图形,选取一组合适的基底,将两向量用基向量表示出来,然后代入夹角公式求解;②坐标法:在图形中建立空间直角坐标系,然后求出两向量的坐标,代入向量的夹角坐标公式求解.利用坐标法要注意两点,一是坐标系的选取,二是要注意夹角的范围a,b∈[0,π],要特别关注向量共线的情况.(2)求空间中线段的长①建立恰当的空间直角坐标系;②求出线段端点的坐标,并求出对应向量的坐标;③利用向量的模的坐标公式求向量的模,即线段的长.高中·数学即时训练3-1:已知A(1,0,0),B(0,-1,1),OA+λOB与OB的夹角为60°(O为坐标原点),则λ的值为()(A)±66(B)66(C)-66(D)±6解析:因为OA=(1,0,0),OB=(0,-1,1),所以OA+λOB=(1,0,0)+λ(0,-1,1)=(1,-λ,λ),所以由夹角公式得,cosOA+λOB,OB=22221=cos60°=12,解得λ=±66,又λ0,故λ=66.故选B.高中·数学【备用例2】已知a=(5,3,1),b=(-2,t,-25),若a与b的夹角为钝角,求实数t的取值范围.解:由已知a·b=5×(-2)+3t-25=3t-525.因为a与b的夹角为钝角,所以a·b0,所以3t-5250,即t5215,若a与b的夹角为180°,则存在λ0,使a=λb(λ0),即(5,3,1)=λ(-2,t,-25),高中·数学所以52,3,21,5t所以t=-65.故t的范围为(-∞,-65)∪(-65,5215).高中·数学点击进入课时作业点击进入周练卷