高中数学--平面解析几何课件ppt

第八章平面解析几何第1课时直线及其方程目录2016高考导航考纲展示备考指南1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，掌握确定直线位置的几何要素．2.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．3.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．4.掌握两点间的距离公式.1.基本公式、直线的斜率、方程以及两直线的位置关系是高考的重点．2.常和圆锥曲线综合命题，重点考查函数与方程、数形结合思想．3.多以选择题和填空题的形式出现，属于中低档题目.本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动名师讲坛精彩呈现知能演练轻松闯关目录教材回顾夯实双基基础梳理1．平面直角坐标系中的基本公式(1)两点的距离公式已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则d(A，B)＝___________________.(2)中点公式已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x＝x1＋x22，y＝y1＋y22.x1－x22＋y1－y22目录2．直线方程的概念及直线的斜率(1)直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的________都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条_______________，这条直线叫做___________________(2)直线的斜率①把直线y＝kx＋b中的__________叫做这条直线的斜率，_______于x轴的直线不存在斜率．②斜率的坐标计算公式坐标直线的方程这个方程的直线．系数k垂直目录(3)直线的倾斜角①定义：x轴________与直线_______的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为_______________②倾斜角的范围：____________________③若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝tanθ.正向向上零度角．[0°，180°)．由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝_____________＝_____________(x1≠x2)．y2－y1x2－x1y1－y2x1－x2目录3．直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式_____________(x1，y1)为直线上一定点，k为斜率不包括垂直于x轴的直线斜截式_____________k为斜率，b是直线在y轴上的截距不包括垂直于x轴的直线y－y1＝k(x－x1)y＝kx＋b目录名称方程的形式已知条件局限性两点式______________________________________(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两定点不包括垂直于x轴和y轴的直线截距式________________a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距不包括垂直于x轴和y轴及过原点的直线y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2且y1≠y2)xa＋yb＝1目录名称方程的形式已知条件局限性一般式______________________________________A，B，C为系数无限制，可表示任何位置的直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)目录思考探究过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线是否一定可用两点式方程表示？提示：不一定．(1)若x1＝x2且y1≠y2，直线垂直于x轴，方程为x＝x1.(2)若x1≠x2且y1＝y2，直线垂直于y轴，方程为y＝y1.(3)若x1≠x2且y1≠y2，直线方程可用两点式表示．目录课前热身1．已知m≠0，则过点(1，－1)的直线ax＋3my＋2a＝0的斜率为()A.13B．－13C．3D．－3答案：B目录2．已知点A(1,2)、B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是()A．4x＋2y＝5B．4x－2y＝5C．x＋2y＝5D．x－2y＝5答案：B目录答案：D3．已知两点A(－3，3)，B(3，－1)，则直线AB的斜率是()A.3B．－3C.33D．－334．过点A(2,3)，倾斜角为π3的直线的点斜式方程为________．答案：y－3＝3(x－2)目录5．若直线l过点P(－4，－1)，且横截距是纵截距的2倍，则直线l的方程是________．答案：x－4y＝0或x＋2y＋6＝0目录考点探究讲练互动考点突破考点1直线的倾斜角与斜率直线2xcosα－y－3＝0(α∈[π6，π3])的倾斜角的变化范围是()A．[π6，π3]B．[π4，π3]C．[π4，π2]D．[π4，2π3]例1目录【答案】B【解析】直线2xcosα－y－3＝0的斜率为k＝2cosα，由于α∈[π6，π3]，所以12≤cosα≤32，因此k＝2cosα∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，3]，由于θ∈[0，π)，所以θ∈[π4，π3]，即倾斜角的变化范围是[π4，π3]．目录【名师点评】直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分0，π2与π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出当α∈0，π2时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈π2，π时，斜率k∈(－∞，0)．目录跟踪训练1．(2013·贵阳质检)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是()A．－1＜k＜15B．k＞1或k＜12C．k＞15或k＜1D．k＞12或k＜－1解析：选D.设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－2k，令－3＜1－2k＜3，解不等式可得k＞12或k－1.目录考点2直线的方程求适合下列条件的直线的方程：(1)在y轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是35；(2)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等．例2【解】(1)设直线的倾斜角为α，则sinα＝35，∴cosα＝±45，直线的斜率k＝tanα＝±34.又直线在y轴上的截距是－5，由斜截式得直线方程为y＝±34x－5.目录(2)法一：设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，∴l的方程为y＝23x，即2x－3y＝0.若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，∵l过点(3,2)，∴3a＋2a＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.目录法二：由题意，所求直线的斜率存在且k≠0，设直线方程为y－2＝k(x－3)，令y＝0，得x＝3－2k，令x＝0，得y＝2－3k，由已知3－2k＝2－3k，解得k＝－1或k＝23，∴直线l的方程为：y－2＝－(x－3)或y－2＝23(x－3)，即直线l的方程为x＋y－5＝0或2x－3y＝0.目录【规律总结】用待定系数法求直线方程的步骤：(1)设所求直线方程的某种形式；(2)由条件建立所求参数的方程(组)；(3)解这个方程(组)求参数；(4)把所求的参数值代入所设直线方程．目录跟踪训练2．求适合下列条件的直线方程：(1)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－14；(2)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5.解：(1)设所求直线的斜率为k，依题意得，k＝－14×3＝－34.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.目录(2)过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.解方程组x＝12x＋y－6＝0，求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5，即x＝1为所求．设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，解方程组2x＋y－6＝0y＋1＝kx－1，得两直线交点为x＝k＋7k＋2y＝4k－2k＋2.(k≠－2，否则与已知直线平行)．目录则B点坐标为k＋7k＋2，4k－2k＋2.由已知k＋7k＋2－12＋4k－2k＋2＋12＝52，解得k＝－34，∴y＋1＝－34(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.目录考点3直线方程的综合应用如图，过点P(2,1)作直线l，分别交x、y轴正半轴于A、B两点．(1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程；(2)当|PA|·|PB|取最小值时，求直线l的方程．例3目录【解】(1)法一：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，则A(2－1k，0)，B(0,1－2k)，∴S△AOB＝12(2－1k)(1－2k)＝2＋12(－4k－1k)≥2＋12×2－4k－1k＝4，当且仅当－4k＝－1k，即k＝±12时取等号．∵k＜0，∴k＝－12，故所求直线方程为y－1＝－12(x－2)，即x＋2y－4＝0.目录法二：设所求的直线方程为xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)，由已知得2a＋1b＝1，于是2a·1b≤(2a＋1b2)2＝14.当且仅当2a＝1b＝12，即a＝4，b＝2时，2a·1b取最大值14，此时S△AOB＝12ab取最小值4.故所求的直线l的方程为x4＋y2＝1，即x＋2y－4＝0.目录(2)设直线l：y－1＝k(x－2)(k＜0)，得A(2－1k，0)，B(0,1－2k)．由|PA|·|PB|＝4＋4k21＋1k2＝8＋4k2＋1k2≥4.当且仅当k2＝1k2，即k＝±1时，|PA|·|PB|取最小值．又k＜0，∴k＝－1，这时直线l的方程是x＋y－3＝0.目录【名师点评】在研究最值问题时，可以从几何图形入手，找到最值时的情形，也可以从代数角度考虑，构建目标函数，进而转化为研究函数的最值问题，这种方法常常随变量的选择不同而运算的繁简程度不同，解题时要注意选择．目录跟踪训练3．例3条件不变，求|OA|＋|OB|最小时，直线l的方程．解：设所求的直线方程为xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)，由已知得2a＋1b＝1，∴|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)(2a＋1b)＝3＋2ba＋ab≥3＋22.当且仅当2ba＝ab时取等号，此时可得a＝2＋2，b＝2＋1，∴所求直线l的方程为x2＋2＋y2＋1＝1，即x＋2y－2－2＝0.目录方法感悟1．斜率的求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率；(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求斜率．目录2．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系α0°0°＜α＜90°90°90°＜α＜180°k0k＞0不存在k＜0提醒：对于直线的倾斜角α，斜率k＝tanα(α≠90°)，若已知其一的范围可求另一个的范围．目录3．直线方程有以下几种主要形式点斜式、两点式、一般式、斜截式和截距式．重点应理解和掌握直线方程的点斜式，并在此基础上研究直线方程的其他几种形式，掌握它们之间的联系和区别，并能根据条件熟练地求出直线方程．4．求直线方程的常用方法(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中的系数，写出直线方程．(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程．再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．目录提醒：点斜式、斜截式、截距式、两点式都有各自的使用条件，应注意区分，如点斜式、斜截式必须是直线斜率存在时才能使用．目录名师讲坛精彩呈现数学思想分类讨论思想在求直线方程中的应用利用分类讨论思想解决问题时，一定要明确：为什么分类？怎样分类？在直线方程这一部分，我们经常以直线斜率是否存在作为标准来分类．目录例(2013·孝感调研)若直线过点P－3，－32且被圆x2＋y2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为()A．3x＋4y＋15＝0B．x＝－3或y＝－32C．x＝－3D．x＝－3或3x＋4y＋15＝0目录【解析】若直线的斜率不存在，则该直