14.1.1探索勾股定理

假如我们一旦和外星人见面，该使用什么语言呢？使用“符号语言”与外星人联系是最经济和最有效的，外星人也最可能使用这种语言,并且最可能是数学语言。中国数学家华罗庚认为，我们可以用两个图形作为与外星人交谈的媒介，一个是“数”，另一个是“数形关系”（勾股定理）。因为这种自然图形所具备的“数形关系”在整个宇宙中是普遍的。探索勾股定理P'图1(1)ACBacb图1(2)1.在图1(2)中，∆ABC是直角三角形，∠ACB=90°。（1）如果每个小方格子都是边长为1的正方形，那么Rt∆ABC的三边AC,BC,AB的长各是多少?以AC,BC,AB为边的三个正方形的面积各是多少？这些面积之间具有怎样的等量关系？（2）如果这个直角三角形的三边长分别是a，b，c，那么可以怎样用a，b，c把图中三个正方形面积之间的关系表示出来呢？2.图2（1）是用大小相同的两种颜色的正方形瓷砖铺成的地面。（1）图2（1）中用白色框标出的三个正方形，他们的面积之间具有怎样的等量关系？图2（1）ABC图2（2）（2）根据图2（2），你能说出正方形面积之间的等量关系反映了Rt∆ABC三边之间怎样的关系吗？把它写出来。动手做：用尺规做直角三角形ABC，使∠C=90°，AC=3cmBC=4cm．动手量:如果一个直角三角形的两直角边的长分别是3cm和4cm,则它的斜边长是多少?动手算:3、4、5各自的平方有什么关系?动脑猜：任意直角三角形两直角边的平方和都等于斜边的平方吗?222543（5cm）在准备好的方格纸上，分别画三个顶点都在格点上且两直角边分别为6和8,5和12,9和12的直角三角形,并测量出这三个直角三角形的斜边长,然后验证你的猜想！abc168251239121513102c22ba225100169225169100cab1、拿出准备好的四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边c）；2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形吗？拼一拼试试看3、你拼的正方形中是否含有以斜边c的正形？4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？cabcabcabcab∵c2==b2-2ab+a2+2ab=a2+b2∴a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为；也可以表示为c2该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意图，取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》。abab214)(2证明1：abab214)(2cabcabcabcab∵(a+b)2=a2+2ab+b2=2ab+c2∴a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为；也可以表示为(a+b)224abC2证明2：24abC2abcbac∵S梯形ABCD=12a+b2=12(a2+2ab+b2)又∵S梯形ABCD=SAED+SEBC+SCED=12ab+12ba+12c2=12(2ab+c2)比较上面二式得c2=a2+b2ABCDE1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统证法”．证明3：你能只用这两个直角三角形说明a²+b²=c²吗？勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么a2+b2=c2即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．abc勾股弦在西方又称毕达哥拉斯定理！勾股勾股弦我国早在三千多年就知道了这个定理,人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称为勾股定理.辉煌发现《周髀算经》毕达哥拉斯商高数学史话《勾股圆方图》１、如图,一个高3米,宽4米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为()A.3米B.4米C.5米D.6米C３４CBA１.基础练习之出谋划策3、在波平如静的湖面上,有一朵美丽的红莲,它高出水面1米,一阵大风吹过,红莲被吹至一边,花朵齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米,问这里水深多少?BCAH12?┓xx2+22=(x+1)2２.回归生活之学以致用如图，将长为10米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为6米。ABC106(1)求梯子上端A到墙的底端B的距离AB。（2）若梯子下部C向后移动2米到C1点，那么梯子上部A向下移动了多少米？A1C123.巩固提高之灵活运用一个长方形零件（如图）,根据所给的尺寸(单位mm),求两孔中心A、B之间的距离.AB901604040C解：过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，则∠ACB=90°，AC=90-40=50（mm）BC=160-40=120（mm)由勾股定理有：AB2=AC2+BC2=502+1202=16900（mm2)∵AB＞0,∴AB=130(mm)答：两孔中心A，B的距离为130mm.4.应用知识之学海无涯1、已知△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=C(1)已知:a=1,b=2,求c;(2)已知:a=15,c=17,求b;CABabc解:(1)根据勾股定理得:c2=a2+b2∵c0,∴c=5=12+22=5(2)根据勾股定理得:∵b0,∴b=8=172-152=64=(17＋15)(17－15)b2=c2-a2课堂练习：2、已知△ABC中,∠C=Rt∠,BC=a,AC=b,AB=c(1)若a=,b=,求c;(2)若c=34,a:b=8:15,求a,b.3545解：设a＝8x，则b＝15x(x0)∵a2+b2=c2∴(8x)2+(15x)2=342∴x2=4∵x0,∴x=2ACBabc∴a＝16，b＝303、求下列图中字母所代表的正方形的边长：3260AB225814、若△ABC的两边为3和4，你能求出第三边吗？为什么？若Rt△ABC的两边为3和4，求第三边的长。注意要进行分类讨论5、用刻度尺和圆规作一条线段，是它的长度为；1332136、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米。飞机每时飞行多少千米？ABC7、某同学的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。该同学量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你认为售货员搞错了吗？为什么？∴售货员没搞错解：∵荧屏对角线大约为74厘米温馨提示：我们通常所说的29英寸或74厘米的电视机，是指其荧屏对角线的长度.∴AB2=AC2+BC2∴AB2=462+582=5480∴AB≈74厘米4658ABC∵∠C=90°74(1)求墙的高度?（精确到0.1米）解：BCAB22∴AC=∵∠ACB=90°AB=3，BC=1=1322=8≈2.8(米)(2)若梯子的顶端下滑50厘米,底端将向外水平移动多少米?AA′BB′3m1mC∴AB2=AC2+BC2有一架3米长的梯子靠在墙上,刚好与墙头对齐,此时梯脚B与墙脚C的距离是1米。做一个长，宽，高分别为50厘米，40厘米，30厘米的木箱，一根长为70厘米的木棒能否放入，为什么？试用今天学过的知识说明。如图，在△ABC中，AB=AC。已知AB=17，BC=16。(1)求BC边上的中线AD的长。(2)求△ABC的面积。ABCD(3)过点B作BE⊥AC，垂足为E，求BE的长。E1.勾股定理的内容2.勾股定理的证明方法3.勾股定理在生活中的应用4.探究—猜想—归纳—推理的数学思想你说我说大家说请你谈谈通过本节课的学习你学到了什么!