专题二函数、导数及其应用(6)-函数与方程

考源教学资源网页第二章函数、导数及其应用高考总复习模块新课标新课标A版数学专题二：函数、导数及其应用（6）函数与方程——史博骏考源教学资源网页高考总复习模块新课标新课标A版数学第二章第九节高考怎样考1.考查具体函数的零点的取值范围和零点个数．2.利用函数零点求解参数的取值范围．3.考查函数零点、方程的根和两函数图象交点横坐标之间的等价转化思想和数形结合思想.考源教学资源网页高考总复习模块新课标新课标A版数学第二章第九节备考知识点1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与有交点⇔函数y＝f(x)有f(x)＝0x轴零点．考源教学资源网页高考总复习模块新课标新课标A版数学第二章第九节(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个也就是方程f(x)＝0的根．f(a)·f(b)0(a，b)f(c)＝0c考源教学资源网页高考总复习模块新课标新课标A版数学第二章第九节2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系考源教学资源网页高考总复习模块新课标新课标A版数学第二章第九节题型一确定函数零点所在的区间【例1】在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为()A.－14，0B.0，14C.14，12D.12，34考源教学资源网页高考总复习模块新课标新课标A版数学第二章第九节解析答案C考源教学资源网页高考总复习模块新课标新课标A版数学第二章第九节【规律方法】判断函数y＝f(x)在某个区间上是否存在零点，常用以下方法：(1)解方程．当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理进行判断；(3)通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．考源教学资源网页高考总复习模块新课标新课标A版数学第二章第九节练习（导学案1）已知函数f(x)＝lnx－12x－2的零点为x0，则x0所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)考源教学资源网页高考总复习模块新课标新课标A版数学第二章第九节题型二判断函数零点的个数【例2】(1)函数f(x)＝x12－12x的零点的个数为()A．0B．1C．2D．3考源教学资源网页高考总复习模块新课标新课标A版数学第二章第九节画图法(1)在同一平面直角坐标系内作出y1＝x12与y2＝12x的图象如右图所示，易知，两函数图象只有一个交点，因此函数f(x)＝x12－12x只有1个零点．考源教学资源网页高考总复习模块新课标新课标A版数学第二章第九节（2）．已知函数f(x)＝2x－1，x≤1，1＋log2x，x1，则函数f(x)的零点为()A.12，0B．－2,0C.12D．0．考源教学资源网页高考总复习模块新课标新课标A版数学第二章第九节解析：当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝12，又因为x1，所以此时方程无解．综上函数f(x)的零点只有0，故选D.考源教学资源网页高考总复习模块新课标新课标A版数学第二章第九节【规律方法】判断函数零点个数的常用方法(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点。(2)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．考源教学资源网页高考总复习模块新课标新课标A版数学第二章第九节练习（导学案5）方程|x2－2x|＝a2＋1(a0)的解的个数是()A．1B．2C．3D．4考源教学资源网页高考总复习模块新课标新课标A版数学第二章第九节解析答案B(数形结合法)∵a0，∴a2＋11.而y＝|x2－2x|的图象如图，∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．考源教学资源网页高考总复习模块新课标新课标A版数学第二章第九节题型三函数零点的应用【例3】关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．【思维启迪】分方程在区间[0,2]上有一解、两解讨论，讨论中要结合二次函数的图象、单调性、对称轴以及区间端点的函数值，列出相应的不等式组，解不等式组可得．考源教学资源网页高考总复习模块新课标新课标A版数学第二章第九节解析设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，①若f(x)＝0在区间[0,2]上有一解，因为f(0)＝10，则应有f(2)≤0，又因为f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，所以m≤－32.考源教学资源网页高考总复习模块新课标新课标A版数学第二章第九节②若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则Δ≥0，0≤－m－12≤2，f2≥0，所以m－12－4≥0，－3≤m≤1，4＋m－1×2＋1≥0，解得－32≤m≤－1.由①②可知m的取值范围为(－∞，－1]．考源教学资源网页高考总复习模块新课标新课标A版数学第二章第九节【规律方法】研究二次函数的零点分布，一般情况下需要从以下三个方面考虑：①一元二次方程根的判别式．②二次函数区间端点函数值的正负．③二次函数图象的对称轴x＝－b2a与区间端点的位置关系．考源教学资源网页高考总复习模块新课标新课标A版数学第二章第九节练习（导学案9）已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是__________．解析函数f(x)＝x2＋x＋a在(0,1)上递增．由已知条件f(0)f(1)＜0，即a(a＋2)＜0，解得－2＜a＜0.答案(－2,0)考源教学资源网页高考总复习模块新课标新课标A版数学第二章第九节小结●两个防范(1)函数y＝f(x)的零点即方程f(x)＝0的实根，是数不是点．考源教学资源网页高考总复习模块新课标新课标A版数学第二章第九节(2)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，f(a)·f(b)＞0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个．所以说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要．考源教学资源网页高考总复习模块新课标新课标A版数学第二章第九节●三种方法（函数零点个数的判断方法）．(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．考源教学资源网页高考总复习模块新课标新课标A版数学第二章第九节变式思考已知函数f(x)＝8x2－(m－1)x＋(m－7)．问当m取何值时，函数的零点分别满足下列条件：(1)均为正数；(2)一个零点大于2，另一个零点小于2.考源教学资源网页高考总复习模块新课标新课标A版数学第二章第九节解设方程f(x)＝0的两根为x1，x2，(1)方法1：方程两根均为正数，即Δ≥0，x1＋x20，x1·x20，所以m－12－32m－7≥0，m－180，m－780，解之得7m≤9或m≥25.考源教学资源网页高考总复习模块新课标新课标A版数学第二章第九节方法2：方程两根均为正，即均大于0，则Δ≥0，f00，－b2a0，即m－12－32m－7≥0，m－70，m－1160，解得7m≤9或m≥25.考源教学资源网页高考总复习模块新课标新课标A版数学第二章第九节(2)方程f(x)＝0有两根，一根大于2，另一根小于2，其大致图象如下图．则f(2)0，即8×4－2(m－1)＋(m－7)0，所以m27.