第四章圆孔应力集中、基础沉降(7,8,9)

§4.7薄板圆孔应力集中一.孔边应力集中：孔边附近区域应力发生局部增大的现象。特点：a.孔边周围应力局部增大（应力重新分布）b.集中是在一定范围内，是局部现象，超过一定距离就无影响。c.集中同孔的形状有关，与孔的大小无关。1.模型：分析薄板（无限大）长度与高度孔径。略去体力分量，试求{σ}。孔半径r。rq薄板可采用直角坐标，圆孔采用极坐标较方便。研究孔问题采用极坐标。二.受力模型将薄板直边界变换为圆边界（采用极坐标方便）在半径为b的圆周上，各点受力状态都是均匀拉伸状态，即x=q，y=0，xy=0，由坐标变换式（4-7）求得及坐标下的应力分量。)sin(coscossin)(cossin2cossincossin2sincos222222xyxyxyyxxyyx取ba,以b为半径作一大圆。取包括圆孔在内的圆环研究lmmlqlmml000（1）2.应力边界条件rqxy0(a)φ2cos22qq2cos22qq2sin2q00b①r②yox(b)2cos22qq2sin2q2cos22qqτρφσρσxσy三.极坐标下问题的平衡方程和相容方程1.平衡方程0022.相容方程0))((222220)]()([222即四.求应力函数根据远场应力的边界条件可以设三个应力分量可能的形式分别为：（2）（3）把（4）式分别代入（2）式和（3）式可得由（5）式得到两组方程：2cos)()(fF2cos)()(gG（4）02cos)2(hgfddfGFddF02sin)22(hgddh）GFddGFdd()(2202)](4)()([222congfgfddgfdd+第一组0GFddF0()(22）GFddGFdd（5）（6）2sin)(h与平衡方程联立0ddCBln)(CBddln224ln22CBBA24ln22CBBA0))((dddd由相容方程24ln2,*2CBBA比照前一节类似问题求解结果CA2CA2应力必有界，故B’=0。式中常数重新命名：利用应力的有界性，由方程组（5）同样解得第二组BAF2)(BAG2)(02hgfddf022hgddh0)(4)()(222gfgfddgfdd22DCgf（7）（8）（9）（10）由（10）式得到（11）(8)式减去（9）式并把（10）式代入其中后可以得到h的通解h的一个特解0)()(22DChfddgfddhddfEDChf22221（11）式减去（13）式EDChg22223（14）式代入（9）式02344)(222EDChddhhhgddh（12）（13）（14）EDChddh23422（15）（16）EDCh2122122*42221221GEDCh把h代到（13）、（14）式中得到得出应力的函数表达式4221GEDf4221GECg(17)由于应力是有界的，C=02cos)21(422GEDBA2cos)21(42GEBA2sin)212(42GED(18)五.利用应力边界条件确定常数得出待定常数B、E2cos21EB2cos22qq2cos21EB2cos22qq2sin21E2sin2qpEqB,2r00又有条件02cos)2(2422rGqrDqrA02sin)22(42rGqrD六.含圆孔的无限大板单向均匀拉伸下的解由此得出常数A、D、GqrA221qrD22qrG4232cos2)341(2)1(442222qrrqr2cos2)31(2)1(4422qrqr2sin2)321(4422qrr(19)七.圆孔的应力集中讨论圆孔边的应力场2cos2)341(2)1(442222qrrqr2cos2)31(2)1(4422qrqr2sin2)321(4422qrr.3|)()2cos21(|)1(2maxqa3,2K应力集中系数倍提高孔边最大应力比无孔时(19)o3qoqoqo3qoqoqoyx-qoqyar,,)54()2(轴上应力就接近于均布在时～当2sin2)2cos1(2)2cos1(2:000简化后孔边应力分布如图)3(%16.0%425/1:54422raraar时八.双向拉伸的解由叠加法可求：q2q1=+q1q2)()()()()()(212121qqqqqqb.任意平面应力状态态下圆孔的应力集中作业：4-15,4-1712..,,)(,:2211321问题解决回到上述令总可求出主应力qq严格地说是有误差的，但解答有实用价值第二组方程02ddhgff022ddhgh0)(4)(dd)(dd222gfgfgf22DCgf（8）（9）（10）由（10）式得到（11）方程组的矩阵解法02)(22dd02)(2ddhgffhhgffftelnt令则，tρρttρdd1dddddd2222)(PPPL特征根为4021，2222222222DChfddhDChfddf（12）ttttDeCehtfDeCehft222222)2dd(22)2dd(（13）PPPPPL42222)(2（14）420)4(BeAyyPP的解tttttDePDeCeDeCefPL2222242222)(ttttttDeCeDeCeDeCePhPL222222262222)(ttttttttttttttDeCeCeeDetDeeDeCeCeeDeDeet222242124212222421242122)212)(2dd()(2)212(2))(2dd(2211两个方程都得出21E21EG22224EDeGeftt222224EeCeDGehttt224ECeGegtt，，所以有：ttDeef2421（15）ttteDCeeh22421221（16）把式中带入上式中得出应力(17)由于应力是有界的，C=0(18)lnt2cos)()(fF2cos)()(gG2sin)(h222222242424EρCρDρGhECρρGgEρDρGf2sin)212(2cos)21(2cos)21(4242422GEDGEBAGEDBA五.利用应力边界条件确定常数得出待定常数B、E2cos21EB2cos22qq2cos21EB2cos22qq2sin21E2sin2qpEqB,2r00又有边界条件02cos)2(2422rGqrDqrA02sin)22(42rGqrD远边界六.含圆孔的无限大板单向均匀拉伸下的解由此得出常数A、D、GqrA221qrD22qrG423(19)2sin2)321(2cos2)31(2)1(2cos2)341(2)1(44224424422222prrprprprrpr讨论圆孔的应力集中圆孔边的应力场2cos2)341(2)1(442222qrrqr2cos2)31(2)1(4422qrqr2sin2)321(4422qrr.3|)()2cos21(|)1(2maxqr3,2K应力集中系数倍提高孔边最大应力比无孔时(19)o3qoqoqo3qoqoqoyx-qoqyr,,)54()2(轴上应力就接近于均布在时～当2sin2)2cos1(2)2cos1(2:000简化后孔边应力分布如图)3(%16.0%,425/1:54422rrr时qqq017.12)0048.01(2)0.041(八.双向拉伸的解由叠加法可求：q2q1=+q1q2)()()()()()(212121qqqqqq作业：4-15,4-17§4.9平面楔半平面体受集中力一.计算模型F单位厚度的受力体一个边界为平面，而在平面以下为无限大的物体。略去体力分量，取单位厚度上所受力为P，应用半逆解法求{σ}。1.计算简图2.边界条件0,022二.拉梅—麦克斯韦尔直角坐标方程1.主应力迹线坐标系主应力正交，两个主力的迹线可以构成正交坐标系21和2SOxy12oxφy正向增加逆针向转时为逆针向为正而且转到S211s2.主应力坐标下的方程根据斜方向上的应力公式2121（2）2sin2)2cos(21)2cos(21xyyx（3）（1）　0yxyxx0　　yxyxy把（3）式代入（1）式得02cos22sin2sin22cosyyxxx21,,02sin,12cos0dsdydsdx，则若02)(21ss(5)221ds则有022111s(6a)012122s(6b)同理三.平面楔顶部集中力的应力计算另一组主应力迹线与该射线族正交，故必一组同心圆弧。由此判断主应力迹线就是极坐标的坐标线xyoFxyoF单位厚度的平面楔，楔体的中心角为2α0)(0)(楔顶部受集中荷载F的边界条件为0,显然射线三条相交于一点的主应力迹线，即o是一组主应力迹线射线族的交汇点ds221主应力迹线σ1坐标线正是极坐标的极径ρ1s12主应力迹线σ2坐标线正是极坐标的φ环