最全面的函数的奇偶性知识总结及练习题

第1页共17页函数的奇偶性中山七欧阳志平【教学目标】一、知识目标1、深刻理解奇偶性的定义及图象特征；2、掌握判定和证明奇偶性的方法；3、学会利用函数的奇偶性解决问题新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆二、能力目标培养学生的观察、分析、归纳、概括和综合分析能力，培养学生用数形结合和转化变换等思想分析数学问题。三、情感目标培养学生自主学习、积极主动探求知识的习惯和品质、合作交流的意识，改变学习方式，改善数学学习信念，帮助学生建立勇于探索创新的精神和克服困难的信心。【教学重点】1、理解奇偶性的定义；2、掌握判定方法；3、学会利用函数的奇偶性解题。【教学难点】灵活运用函数的奇偶性求解函数解析式、对称区间上函数的单调性的判断。【考点分析】1、考查判断函数的奇偶性的能力；2、利用函数奇偶性的图像解题；3、利用函数的奇偶性求解析式；4、利用函数奇偶性求单调区间。第2页共17页【知识点梳理】一、函数奇偶性的概念1新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆函数的奇偶性的定义：在定义域关于原点对称的前提乐件下，如果对于函数()fx的定义域内任意一个x，都有()()fxfx，那么函数()fx就叫做偶函数。例如：函数2()1fxx,4()2fxx等都是偶函数。如果对于函数()fx的定义域内任意一个x，都有()()fxfx，那么函数()fx就叫做奇函数。例如：函数xxf)(，xxf1)(都是奇函数。说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：（1）其定义域关于原点对称；（2）()()fxfx或()()fxfx必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算()fx，看是等于()fx还是等于()fx，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。（4）函数0)(xf既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足)()(xfxf也满足)()(xfxf。（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图形关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。（6）奇函数若在0x时有定义，则(0)0f．2、主要方法：(1)、判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；(2)、牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；(3)、判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0fxfx，()1()fxfx．第3页共17页(4)、设()fx，()gx的定义域分别是12,DD，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇．2.函数的奇偶性的性质①对称性:奇（偶）函数的定义域关于原点对称．．．．；②整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个x都必须成立；③可逆性:)()(xfxf)(xf偶函数；)()(xfxf)(xf奇函数；④等价性:)()(xfxf0)()(xfxf)()(xfxf0)()(xfxf⑤奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称；⑥可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。【典型例题】题型一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性:（1）f(x)=x4；（2）f(x)=x5；（3）f(x)=x+x1；（4）f(x)=21x.思路分析：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性.先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x).解答过程：解：（1）函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=(-x)4=x4=f(x)，所以函数f(x)=x4是偶函数.（2）函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x),所以函数f(x)=x4是奇函数.（3）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x，都有第4页共17页f(-x)=-x+x1=-(x+x1)=-f(x)，所以函数f(x)=x+x1是奇函数.（4）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=)(12x=21x=f(x)，所以函数f(x)=21x是偶函数.点评：本题主要考查函数的奇偶性.函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x，其相反数-x也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称.小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(-x)与f(x)的关系；③作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数.变式一设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是()A.f(x)f(-x)是奇函数B.f(x)|f(-x)|是奇函数C.f(x)-f(-x)是偶函数D.f(x)+f(-x)是偶函数思路分析:A中设F(x)=f(x)f(-x),则F(-x)=f(-x)f(x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)f(-x)为偶函数；B中设F(x)=f(x)|f(-x)|，F(-x)=f(-x)|f(x)|，此时F(x)与F(-x)的关系不能确定，即函数F(x)=f(x)|f(-x)|的奇偶性不确定；C中设F(x)=f(x)-f(-x),F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x)，即函数F(x)=f(x)-f(-x)为奇函数；D中设F(x)=f(x)+f(-x)，F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)+f(-x)为偶函数.答案：D变式二设)(xf是(－∞，＋∞)上的奇函数，)2(xf＝－)(xf，当0≤x≤1时，)(xf＝x，x则)5.7(f等于()A．0.5B．－0.5C．1.5D．－1.5解析：)5.7(f＝)25.5(f＝－)5.5(f＝－)25.3(f＝)5.3(f＝)25.1(f＝－)5.1(f＝－)25.0(f＝)5.0(f＝－)5.0(f＝－0.5．第5页共17页答案：B解析：这里反复利用了)(xf＝－)(xf和)2(xf＝－)(xf，后面的学习我们会知道这样的函数具有周期性．题型二利用函数奇偶性求函数解析式例2已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数.当x∈(-∞,0)时，f(x)=x-x4，则当x∈(0,+∞)时，f(x)=_______.思路分析：学生思考偶函数的解析式的性质，考虑如何将在区间(0,+∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-∞,0)上的自变量对应的函数值.利用偶函数的性质f(x)=f(-x)，将在区间(0,+∞)上的自变量对应的函数值，转化为区间(-∞,0)上的自变量对应的函数值.解答过程:当x∈(0,+∞)时，则-x0.又∵当x∈(-∞,0)时，f(x)=x-x4，∴f(x)=(-x)-(-x)4=-x-x4.答案：-x-x4点评：本题主要考查函数的解析式和奇偶性.已知函数的奇偶性，求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性，将所求解析式的区间上自变量对应的函数值转化为已知解析式的区间上自变量对应的函数值.变式一已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=x2+3x，求f(x).解：当x=0时，f(-0)=-f(0)，则f(0)=0；当x0时，-x0，由于函数f(x)是奇函数，则f(x)=-f(-x)=-［(-x)2+3x］=-x2+3x，综上所得，f(x)=.0,,0,0,0,3232xxxxxxx例3．已知二次函数2()4fxxax，若(1)fx是偶函数，则实数a的值为()A.－1B.1C.－2D.2解析：∵f(x)＝x2－ax＋4，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－a(x＋1)＋4＝x2＋2x＋1－ax－a＋4第6页共17页＝x2＋(2－a)x＋5－a，f(1－x)＝(1－x)2－a(1－x)＋4＝x2－2x＋1－a＋ax＋4＝x2＋(a－2)x＋5－a.∵f(x＋1)是偶函数，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)，∴a－2＝2－a，即a＝2.题型三函数的奇偶性与单调性综合例4．已知函数()yfx在定义域[1,1]上是奇函数，又是减函数。(1)证明：对任意的,[,]xx1211有：[()()]()fxfxxx12120(2)若()()fafa2110求实数a的取值范围。解答过程：解：(1)证明：若xx120，显然不等式成立；若xx120，则xx1211()fx在[,]11上是奇函数又是减函数，()()()()fxfxfxfx1212()()fxfx120原不等式成立同理可证当xx120时原不等式也成立。(2)解：由()()fafa2110得()()fafa211，即()()fafa211由函数在[,]11上是单调减函数，故有aaaaaaa22211102111021121a01所以，所求a的取值范围是[0,1)。点评：(1)函数的单调性广泛应用于比较大小，解不等式，求参数的范围，最值问题中，应引起足够的重视。第7页共17页变式一：已知偶函数()fx在区间0,)单调增加,则满足(21)fx＜1()3f的x取值范围是（）A.12(,)33B.12[,)33C.12(,)23D.12[,)23解析：由于()fx是偶函数,故()fx＝(||)fx∴得1(|21|)()3fxf，再根据()fx的单调性，得|2x－1|＜13解得13＜x＜23.变式二：已知奇函数()fx在区间[3,7]上是增函数,且最小值为5,那么函数()fx在区间[－7，－3]上是()A.增函数且最小值为－5B.增函数且最大值为－5C.减函数且最小值为－5D.减函数且最大值为－5解析：∵f(x)为奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称．∵f(x)在[3,7]上是增函数，∴f(x)在[－7，－3]上也是增函数．∵f(x)在[3,7]上的最小值为5，∴由图可知函数f(x)在[－7，－3]上有最大值－5.题型四图形、单调性综合利用例题5。（2004年上海卷）设奇函数f（x）的定义域是［-5，5］。当x[]05，时，f（x）的图象如图，则不等式f（x）0的解是______________。()(]2025，，第8页共17页例题6、定义在［－2，2］上的偶函数g（x），当x≥0时，g（x）单调递减，若g（1－m）＜g（m），求m的取值范围.解：由g（1－m）＜g（m）及g（x）为偶函数，可得g（|1－m|）＜g（|m|）.又g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴|1－m|＞|m|，且|1－m|≤2，|m|≤2，解得－1≤m＜21.题型五抽象函数的奇偶性例7.函数)(xf的定义域为D＝0xRx，且满足对于任意Dxx21,，有1212()()()fxxfxfx（1）求(1)f的值；（2）判断函数)(xf的奇偶性，并证明；解：（1）令121xx，得10f；（2）令121xx，得10f，令121,xxx，得1fxffx∴