第三章-3-系统动态-时间响应性能指标

自动控制理论自动控制第三章第三章第三章第三章微分方程的解微分方程的解周立芳周立芳徐正国徐正国微分方程的解微分方程的解浙江大学控制科学与工程学系1第三章要点第三章要点绪论绪论稳态响应暂态响应暂态响应时间常数定义例：二阶系统例：二阶系统系统的暂态（动态）时间响应性能指标时间响应性能指标状态方程的解2时间响应性能指标二阶系统暂态时间响应性能指标控制科学与工程学系二阶系统暂态二阶系统暂态时间响应性能指标Ys()K2Rs()s2psK2单位脉冲输入Ys()ns22nsn2二阶系统12withaunitystepinput单位阶跃输入cos1Ys()n2s22s2s系统关于单位阶跃输入的响应s2nsnsyt()11entsint通常用来评价系统的响应特性(*)yt()1esinnt4()二阶系统暂态二阶系统暂态时间响应性能指标对应于式(*)的响应曲线族()如图所示，其中横坐标是无量纲变量nt曲线形状随阻尼比变化而变化)cossin(1)(1tetyntn阶跃输入作用下的二阶系统暂态响应5阶跃输入作用下的二阶系统暂态响应二阶系统暂态二阶系统暂态时间响应性能指标脉冲函数是阶跃函数的微分，因此，脉冲输入作用下的响应函数也入作用下的响应函数也是阶跃输入作用下的响应函数的微分应函数的微分6脉冲输入作用下的二阶系统暂态响应二阶系统暂态二阶系统暂态时间响应性能指标最大偏离量M最大偏离量稳态误差最大偏离量：Mp峰值时间：tp上升时间：tr，to稳态误差上升时间：tr，to调节时间：tsto1时，系统没有最大偏离量1时，系统在稳态值附近振荡上升时间峰值时间调节时间•欠阻尼系统：应用0-100%上升时间to过阻尼系统应用1090%上升时间t控制系统阶跃响应7•过阻尼系统：应用10-90%上升时间tr时间响应性能指标时间响应性能指标时间响应性能指标性能指标通常通过系统的阶跃响应来定义。系统暂态响应可以通过实际响应跟踪期望响应的快速性和阻尼程度刻画。响应的快速性可以利用上升时间和峰值时间来衡量。响应的快速性可以利用上升时间和峰值时间来衡量。实际响应与期望响应的阻尼程度可以利用最大偏离量和调节时间（回复时间过渡过程时间）来衡量节时间（回复时间，过渡过程时间）来衡量。利用最大偏离量和期望响应，可以计算最大偏离量关于期望响应的百分数称为超调量最大超调量百分比超调望响应的百分数，称为超调量（最大超调量，百分比超调量）。8时间响应性能指标时间响应性能指标时间响应性能指标•为了比较不同系统的响应，必须使各系统为了比较不同系统的响应，必须使各系统从标准化的初始条件开始运动。•大多数标准化初始条件是系统静止状态。确定了标准化初始条件后就可以比较不•确定了标准化初始条件后，就可以比较不同系统的响应特性（如最大偏离量、调节时间等）了。9时间响应性能指标时间响应性能指标时间响应性能指标•峰值时间：系统响应超过其终值到达第一个峰值所需的时间。)11sin(111)(222arctantetyntun))()((,)cos()sin()()(dtddtnutduttetetytdynn12221)(0)())((,)cos(1)s(1)(pdduddtntntttgdtdydtttetetydt21)(ndpdddgdt•峰值时间仅仅是阻尼振荡频率d的函数（）21•峰值时间仅仅是阻尼振荡频率d的函数（）1dn10时间响应性能指标时间响应性能指标：：峰值时间峰值时间时间响应性能指标•峰值时间：系统响应超过其终值到达第一个峰值所需的时间。)11sin(111)(222arctantetyntun21pt等峰值时间21nj[S]等d线21nd等峰值时间线21nj上式表明，峰值时间tp与阻尼振荡频率d成反比。当n一定,ζ越小，t也越小（响应就越快）tp也越小（响应就越快）。11时间响应性能指标时间响应性能指标：：上升时间上升时间时间响应性能指标性能指标性能指标•上升时间：响应从终值的10%上升到终值的90%所需的时间（过阻尼系统）；或响应从零第一次上升到终值所需的时间（欠阻尼系统）。系统）；或响应从零第次上升到终值所需的时间（欠阻尼系统）。•考虑欠阻尼系统)2()(222ssssYnnn)1sin(111)(22tetyntn•根据定义，令1)(rty0)1sin(2rnt其中，21arctgrnt2121rtarctgrn21n12时间响应性能指标时间响应性能指标时间响应性能指标：：上升时间上升时间•上升时间的确切解析表达式难以计算，我们通常使用线性近似表达式进行计算性能指标性能指标rT60.016.21达式进行计算nr1•注意：对于取值我们还可以利用下面的表达式来计05rt7.1•注意：对于取值，我们还可以利用下面的表达式来计算上升时间0.5n由前述公式可见，要使系统反应快，必须减小tr。因此当ζ一定，必须加大若为固定值则ζ越小t也越小n必须加大；若n为固定值，则ζ越小，tr也越小。13时间响应性能指标时间响应性能指标时间响应性能指标：：上升时间上升时间性能指标性能指标实际上升时间线性近似14时间响应性能指标时间响应性能指标：：调节时间调节时间时间响应性能指标•调节时间：响应到达并保持在终值（）内所需的最短时间5%2%间。•我们考察误差表达式)0()1arctan1sin(1)()()(22ttetytrtetn)0()arctan1sin(12tten•考虑到系统时间响应曲线总是在包络线的两条分支之间变化sin()nnttete或2sin()0.05,0.021nete或15时间响应性能指标时间响应性能指标时间响应性能指标：：调节时间调节时间•通常利用两个近似公式计算调节时间3nssntttesn3305.0对于5%误差4对于2%误差nst4•在上面的近似公式中，调节时间仅仅取决于复数共轭极点的实部在上面的近似公式中，调节时间仅仅取决于复数共轭极点的实部sImn等调节时间线等调节时间线sRe等ts线(等σ线)16时间响应性能指标时间响应性能指标：：超调量超调量时间响应性能指标•超调量：响应的最大偏离量与终值的差同终值的比。•由于我们已经得到了峰值时间，因此很容易计算)cos(11sin111)(22212aetyMnnnnpp10,11sinsin1122121212eaenn我们还常常利用百分比超调量来表示超调量•我们还常常利用百分比超调量来表示超调量10)(21eytyMssp10,eyMsso17时间响应性能指标时间响应性能指标时间响应性能指标：：超调量超调量)(21yTysIm10,)(21eyyTyMsssspo等超调量线仅仅取决于阻sIm)sin(a等线等超调量线，仅仅取决于阻尼比sRe由上式可见，最大百分比超调量完全由ζ决定，ζ越小，超调量越大。当ζ=０时，σ%=100%，当ζ=１时，σ%=０。σ与ζ的关系曲线见图。18时间响应性能指标时间响应性能指标时间响应性能指标：：超调量超调量)(yTy10,)(21eyyTyMsssspo•更一般地，Mo或可以表示为yTyMp)(yMppo和的关系19时间响应性能指标时间响应性能指标：：稳态误差稳态误差时间响应性能指标•稳态误差实际上不是系统暂态响应的动态指标。但是，它是衡量时间响应性能指标时间响应性能指标：：稳态误差稳态误差控制系统稳态性能的重要度量。)]()([lim)(tytret其中，r(t)是输入，y(t)是输出)()(lim)(lim)(lim)(00sRsGssEsteeEsst•其中，GE(s)是误差传递函数•注意，只有稳定系统才有误差，这是一个稳态指标20时间响应性能指标时间响应性能指标时间响应性能指标：：小结小结•对于不包含零点的二阶系统，我们可以得到如下的精确公式我们还可以得到如下的近似公式10,121eMp21npt,21e21nrt21t•我们还可以得到如下的近似公式arctanst3对于5%误差nrT60.016.213.5通常还用n对于2%误差nst4n3.5snt通常还用：•在过程控制中，经常还会用到一个指标：衰减比n－－它是指同方向过渡过程曲线上的相邻两个波峰之比.n向过渡过程曲线的相邻两个波峰之注意与阻尼比的区别，非同一参数！！2121eBBn2B21时间响应性能指标时间响应性能指标时间响应性能指标：：小结小结B1B2)(21yty10,)(21eyytyMsssspot3对于5%误差nst对于5%误差对于2%误差st4nst21pt21rt2121B21nd10121eM1n121eBBn)]()([lim)(tytret10,1eMpt22参数选择3时间响应性能指标21npt,21enstt421rtrT60.016.21根据以上分析，如何选取和n来满足系统设计要求需要n,enst1nn折中。总结性能指标与和n的关系如下：(1)当n一定，要减小tr和tp，必须减少值，要减少ts则应(1)当n定，要减小tr和tp，必须减少值，要减少ts则应增大n值，而且值有一定范围，不能过大。(2)增大能使tt和t都减少(2)增大n，能使tr，tp和ts都减少。(3)最大超调量σ只由决定,越小，σ越大。所以，一般是先根据σ的要求选择值，在实际系统中，值一般在0.5～0.8之间.23时间响应性能指标时间响应性能指标时间响应性能指标：：小结小结从控制系统设计目标来说，峰值时间与超调量之间具有百分比相互矛盾的关系，因此在设计的时候超调量要考虑到两者之间的折中。阻尼比24二阶系统的百分比超调量、归一化峰值时间与阻尼比的关系时间响应性能指标时间响应性能指标时间响应性能指标：：小结小结幅值值25阶跃响应时间响应性能指标时间响应性能指标：：小结小结时间响应性能指标幅值值阶跃响应26阶跃响应例子例子控制科学与工程学系例1:参数选择时间响应性能指标R()Y()2R(s)Y(s)2()(2)nonGsss选择增益K和参数p，使得百分比超调量小于5%，调节时间（考虑2%误差）小于4秒。解：22112,0.05l0050477069ee22ln0.050.4770.69128时间响应性能指标例1:参数选择69.0Ts4n4secζ≥0.69ζωn≥1n1Whentheclosed-looprootsarechosenas:r11j1闭环