铁军线代

12012年万学海文线性代数暑期强化精品班考研辅导讲义主讲铁军教授线性代数线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，主要用证明题的方法技巧来解决计算题.因此，必须掌握证明题的证明技巧，并会在计算题中灵活应用.难点在于线性代数的内容比较抽象，综合性强，特别是关于向量的线性相关性、矩阵的秩与线性方程组的解的结构定理的综合题难度较大，必须突破这一难点.概括地讲，线性代数有1条主线，2种运算，3个工具.即：一条主线是方程组；二种运算是求行列式和求矩阵的初等行（列）变换；三个工具是行列式，矩阵，向量（组）.第一章行列式行列式的核心考点是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开.另外，用简单的递推公式求行列式的方法也应掌握.考研试题中关于行列式的题型主要是填空题,纯粹考行列式的题目很少，但行列式是线性代数中必不可少的工具，应用广泛.2一、考研知识结构网络图行列式概念性质方程组问题计算证0A=应用错位展开式转置性质：行列式的行和列互换，其值不变.互换性质：行列式的两行（两列）互换，其值变号数乘性质：若行列式的某行（某列）有公因子k，则可把公因子k提到行列式外面倍加性质：某行（某列）的k倍加到另一行（另一列）的相应元素上去，行列式的值不变加法性质：某行（列）的所有元素均为两项之和，则行列式可拆为两个行列式之和不同行与不同列元素乘积的代数和（共有!n项）1122iiiiininAaAaAaA=+++(按i行展开)1122jjjjnjnjAaAaAaA=+++(按j列展开)11220ijijinjnaAaAaA+++=(ij≠)数字型抽象型公式法，三角化法，递推法利用行列式性质；利用方阵行列式性质；利用特征值123nAλλλλ=0Ax=有非零解；秩An；0是A的特征值；反证法矩阵问题向量问题展开式矩阵的秩；可逆的证明；伴随矩阵求逆法；矩阵特征值问题；判定二次型及实对称矩阵的正定性线性相关（无关）的判定；向量组的秩和昀大无关组非齐次线性方程组克莱姆（Gramer）法则齐次线性方程组0Ax=有非零解的必要条件3真理往往朴素，以致人们不相信它.——列·瓦尔特二、相应知识点精讲定义1.1n阶行列式12121211121!21222(,)12,12(1)nnnnnnpppppnppppnnnnaaaaaaDaaaaaaτ==−∑即：2n个数构成的n阶行列式等于所有取自不同行与不同列元素乘积的代数和.一共有!n项，一半带负号，一半带正号.其中nppp,,21为任意一个n级排列，),,(21npppτ为n级排列nppp,,21的逆序数.我们知道n级排列一共有!n种.性质1.1.转置性质：行列式的行和列互换，其值不变.这个性质说明行列式中行和列的地位是相当的，对称的.通常，人们把一个行列式的第i行元素依次写成第j列（1,2,3,,in=）的元素，所得的新的行列式称为原行列式的转置行列式.如果原行列式记作D，则其转置行列式记作TD.由性质1知，TDD=.性质1.2.互换性质：行列式的两行（两列）互换，其值变号.也就是说，交换行列式两行（两列）的所有对应位置上的元素，所得的新的行列式的值等于原行列式的值的相反数.性质1.3.数乘性质：若行列式的某行（某列）有公因子k，则可把公因子k提到行列式外面.即：111211112112121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaakakakakaaaaaaaaa=.若把上述等式反过来看，即：111211112112121212nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaakaaakakakaaaaaaa=，也可认为：数k与一个行列式的乘积等于在该行列式的某一行或某一列中各元素乘以k.行列式的定义行列式的性质4性质1.4.倍加性质（消法性质）：把行列式某行（某列）的所有元素的k倍，加到另一行（另一列）的相应元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值.性质1.5.加法性质：如果行列式有某行（列）的所有元素均可写成两个加数的和，即该行（列）有两个分行（分列），则这个行列式等于两个行列式的和，而这两个行列式分别以这两个分行（分列）为该行（列），其他行（列）与原行列式相同.定理1.1n阶行列式111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa=等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122iiiiininDaAaAaA=+++(1,2)in=,（1.1）1122jjjjnjnjDaAaAaA=+++(1,2)jn=.（1.2）定理1.2n阶行列式111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa=某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即11220ijijinjnaAaAaA+++=，ij≠，（1.3）11220ijijninjaAaAaA+++=，ij≠.（1.4）三、典型例题剖析【考点一】形如，，的行列式称为两条线形行列式，可直接展开降阶，利用行列式按行、按列展开法则进行计算.行列式按行、按列展开法则数字型行列式5【例1】n阶行列式11223110000000000_____________________000000nnnnnababaDabba−−==.【考点二】形如122221211112111nnnnnnxxxxxxxxx−−−的行列式称为范德蒙行列式.范德蒙行列式的特点是：其每列元素211,,,,niiixxx−按ix的升幂排列，构成一个等比数列，第二行的元素12,,,nxxx分别为每列元素的公比，且第一行元素为1.范德蒙行列式的值为122221221313212111112111()()()()()()nnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx−−−−=−−−−−−.【例2】计算四阶行列式2223331234123412349876D=.【考点三】形如的行列式称为三对角型（三斜线形）行列式.三对角型行列式的特点是沿主对角线方向三列元素不为零，其余元素均为零.对于这类三对角型行列式通常可用递推法.6【例3】（东北大学，2003年）当αβ≠时，n阶行列式000100_____________01000001nDαβαβαβαβαβαβ++==++.【例4】n阶行列式222221000210002100_____________000210002naaaaaDaaaa==.【详解】化为上三角形行列式或用递推法：222222121321012221122aaaaaaaaaAaaaa==2130124034(1)2(1)3231(1)0naaaaanaanannan+==⋅⋅⋅=++…,如果用递推法则有：按第一列展开有72122nnnDaDaD−−=−，则211221()()nnnnnnDaDaDaDaDaDa−−−−−=−=−=.【考点四】形如⋅，⋅的行列式称为箭形、爪形或扇形行列式，其特点是行列式中主对角线上的元素和第一行、第一列上的元素不为零，其余元素均为零.对于箭形、爪形或扇形行列式，可用主对角线上的元素化其为上（下）三角型行列式进行计算.【例5】计算n阶行列式(3)n0111101010nxxDxxxx=.【考点五】行列式计算的一般方法是降阶，但是对于某些特殊的n阶行列式，如果该行列式除对角线（或次对角线）上的元素外，其余的每行（或每列）元素成比例，则可以加上一行一列使之变成1n+阶行列式，使消零化简更为方便，且化简后常变成箭形行列式.这一方法称为升阶法或加边法.【例6】计算n阶行列式21213112122322213233321231111nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxDxxxxxxxxxxxxxx++=++.8【详解】该行列式除对角元外，各列元素均与12(,,,)Tnxxx成比例.212131122112111223222221222132333221212310001111111nnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx+++==++++221211122212110001001000101010001001nnnnnxxxxxxxxxxxxx−−−+++===+++.【考点六】相邻两行（列）元素相差k倍的行列式计算：采用前行（列）减去后行（列）的k倍的步骤，即可使行列式中出现大量的零元素，使之化简.【例7】计算n阶行列式221132214323423111111nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaa−−−−−−−−−−=.【详解】这是相邻两行（列）相差倍数a的行列式，可采用前行（列）减去后行（列）a倍的方法化简.1231100000100000100(1)000101nnnnnnnnaaaDaaaaaa−−−−−==−−.【考点七】计算含子块的四分块的分块矩阵的行列式：掌握简化行列式运算的两个重要公式：设A是m阶方阵，B是n阶方阵，则（1）AOACABCBOB==；（2）(1)mnOACAABBCBO==−⋅.9【例8】设A为n阶矩阵，,αβ为n维行向量，,,abc为常数，已知Aa=，0TbAαβ=，则________.TcAαβ=【例9】设,AB均是n阶矩阵，2*14,,()ABAaBbCABO−⎛⎞===⎜⎟⎝⎠，则_________.C=【考点八】若行列式中含有变量x，则该行列式展开后成为关于x的多项式，可考查该多项式的次数、零点等问题.【例10】（同济大学，2002年）设行列式2222134526032113212xx−−−=−−+−−，求.x10【考点九】计算抽象矩阵的行列式：主要利用下列性质：设A为n阶矩阵，则有1、设iα为3维列向量，iβ为3维行向量，则1231241234αααααααααα+=+，1112223434ββββββββββ+=+；2、nkAkA=；3、,kkABABAA==；4、,()TTTTAAABABAB=+=+=+；5、设A为n阶可逆矩阵，则11AA−=；6、1*nAA−=；7、若A为n阶矩阵，iλ为A的特征值1,2,,in=，则12nAλλλ=.【例11】设4阶矩阵234234Aαγγγ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠，234Bβγγγ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠，其中234,,,,αβγγγ均为4维行向量，且已知8,1AB==，则___________AB−=.【例12】设100220345A⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，*A为A的伴随矩阵，则11()15*________.4AA−−=抽象型行列式11【例13】设4阶矩阵A和B相似，如果*B的特征值是1,1,2,4,−则*________.A=【例14】（华东师大，2002年）计算n阶行列式：44441222122212221222xxxxx.【考点十】1．行列式元素的余子式和代数余子式：在行列式111111jniijinnnjnnaaaaaaaaa(2)n≥中，取元素ija，其中ija表示位于该行列式中第i行、第j列的一个元素，我们去掉ija所在的第i行和第j列的所有元素，把剩余的2(1)n−个元素按其原来的位置关系组装成一个新的1n−阶行列式，记作ijM，并称其为原行列式中元素ija的余子式.因为在该行列式中一共有2n个元素，每个元素都有一个余子式，所以这个n阶行列式一共有2n个余子计算代数余子式线性组合的值12式.如果在元素ija的ijM余子式之前加上符号，则称其为元素ija的代数余子式，记作(1)ijijijAM+=−.将(1)ijijijAM+=−两边都乘以(1)ij+−得2(1)(1)(1)[(1)]ijijijijijijijijAMMM++++−=−−=−=，因此，(1)ijijijMA+=−.2．行列式元素的代数余子式的性质和特点：设行列式111111jniijinnnjnnaaaaaaDaa