【成才之路】2014-2015学年高中数学 第2章 推理与证明章末归纳总结课件 新人教A版选修1-2

推理与证明第二章章末归纳总结第二章典例探究学案2自主预习学案1自主预习学案•1.归纳推理和类比推理都是合情推理，归纳推理是由特殊到一般，由部分到整体的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理．二者都能由已知推测未知，都能用于猜测，得出新规律，但推理的结论其正确性有待于去证明．•2．演绎推理与合情推理不同，演绎推理是由一般到特殊的推理，是数学证明中的基本推理形式，只要前提正确，推理形式正确，得到的结论就正确．•3．合情推理与演绎推理既有联系，又有区别，它们相辅相成，前者为人们探索未知提出猜想提供科学的方法，后者为人们证明猜想的正确性提供科学的推理依据.•1.进行类比推理时，可以从①问题的外在结构特征，②图形的性质或维数．③处理一类问题的方法．④事物的相似性质等入手进行类比．要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．•2．进行归纳推理时，要把作为归纳基础的条件变形为有规律的统一的形式，以便于作出归纳猜想．•3．推理证明过程叙述要完整、严谨、逻辑关系清晰、不跳步．•4．注意区分演绎推理和合情推理，当前提为真时，前者结论一定为真，后者结论可能为真！•合情推理得到的结论其正确性需要进一步推证，合情推理中运用猜想时要有依据．•5．用反证法证明数学命题时，必须把反设作为推理依据．书写证明过程时，一定要注意不能把“假设”误写为“设”，还要注意一些常见用语的否定形式．•6．分析法的过程仅需要寻求某结论成立的充分条件即可，而不是充要条件．•分析法是逆推证明，故在利用分析法证明问题时应注意逻辑性与规范性．一般地，用分析法书写解题步骤的基本格式是：•要证：……，只需证……，只需证……，•……，……显然成立，所以……成立.1.(2013·内蒙古鄂托克旗高级中学高二期中)请看下列推理过程，共有三个推理步骤abcd⇒acbcbcbd⇒acbd⇒adbc其中错误步骤的个数有()A．0B．1C．2D．3•[答案]C•[解析]上述推理过程中，第一步、第三步是错误的，忽视了不等式性质成立的条件．2．已知数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的()A．第6项B．第7项C．第19项D．第11项•[答案]B[解析]2，5，8，11，…，而25＝20，可见各根号内被开方数构成首项为2，公差为3的等差数列由20＝2＋(n－1)×3得n＝7.3．已知等式cosα·cos2α＝sin4α4sinα，cosα·cos2α·cos4α＝sin8α8sinα，…，请你写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含了已知等式(不要求证明)，那么这个等式是：________.[答案]cosα·cos2α·…·cos(2n－1α)＝sin2nα2nsinα•[解析]该题通过观察前几个特殊式子的特点，通过归纳推理得出一般规律，写出结果即可．•4．如图，已知命题：若矩形ABCD的对角线BD与边AB和BC所成的角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1，则在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可写出类似的命题：_____________________________________________________________________•[答案]长方体ABCD－A1B1C1D1中，若对角线BD1与棱AB、BB1、BC所成的角分别为α、β、γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1或sin2α＋sin2β＋sin2γ＝2•(或：长方体ABCD－A1B1C1D1中，若对角线BD1与平面ABCD、ABB1A1、BCC1B1所成的角分别为α、β、γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2或sin2α＋sin2β＋sin2γ＝1)．5．已知函数f(x)＝ax＋x－2x＋1(a1)(1)证明f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．[解析]任取x1、x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1x2，则x2－x10，∵a1，∴ax2－x11，且ax10，∴ax2－ax1＝(ax2－x1－1)ax10，又∵x1＋10，x2＋10.∴x2－2x2＋1－x1－2x1＋1＝x2－2x1＋1－x1－2x2＋1x1＋1x2＋1＝3x2－x1x1＋1x2＋10.于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋x2－2x2＋1－x1－2x1＋10，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)假设存在x00(x0≠－1)，满足f(x0)＝0.①若－1x00，则x0－2x0＋1＝1－3x0＋1－2，ax01，∴f(x0)－1与f(x0)＝0矛盾②若x0－1，则x0－2x0＋10，ax00，∴f(x0)0与f(x0)＝0矛盾．故方程f(x)＝0没有负数根．典例探究学案•归纳推理设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N＋，计算f(1)、f(2)、f(3)、…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想是否正确．•[解析]f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，•f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，•f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，•f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，•f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151.•由于43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都为质数．于是猜想当n取任何非负整数时f(n)＝n2＋n＋41的值为质数．•因为当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝41×41，所以f(40)为合数，因此，上面由归纳推理得到的猜想不正确．•类比推理若记号“*”表示两个实数a与b的算术平均的运算，即a*b＝a＋b2，则两边均含有运算符号“*”和“＋”，且对于任意3个实数a、b、c都能成立的一个等式可以是________．[解析]由于本题是探索性开放性的问题，问题的解决需要经过一定的探索类比过程，并且答案不唯一．解决这道试题要把握住a*b＝a＋b2，还要注意到试题的要求不仅类比推广到三个数，而且等式两边均含有运算符号“*”和“＋”，则可容易得到a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)．正确的结论还有：(a*b)＋c＝(a*c)＋(b*c)，(a*b)＋c＝(b*a)＋c等．•[答案]a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)•分析法证明不等式求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．[证明]设正方形和圆的周长都为L，依据题意，圆的面积为πL2π2，正方形的面积为L42.因此，只需证明πL2π2L42.为了证明上式成立，只需证明L24πL216，两边同除以正数L24得1π14.因此只需证明4π即可．因为4π是成立的，所以πL2π2L42成立，从而圆的面积大于正方形的面积．•[证明]因为b2＋c2≥2bc，a0，•所以a(b2＋c2)≥2abc.•又因为c2＋a2≥2ac，b0，•所以b(c2＋a2)≥2abc.•因为a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.•综合法证明不等式已知a、b0，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.•反证法已知f(x)＝x2＋px＋q.(1)求证：f(1)＋f(3)－2f(2)＝2.(2)求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于12.[解析](1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.(2)假设原命题不成立，则|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于12，则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|2，而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2，这与|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|2相矛盾，从而假设不成立，原命题成立，即|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于12.