学而思2012年春季四年级超常123班难题汇总(共15讲)

学而思2012年春季四年级超常123班难题汇总延续2011年秋季的传统，2012年春季继续进行难题汇总和分析，和大家一起分享。声明：本文档只是收录了各讲有点难度的题目，并对难题进行解析、分级等，并未对各讲内容进行总结和分析，各讲内容的总结和剖析可以参见学而思老师的相关文档。如您对难题感兴趣，可以参阅本文档。第一讲小数本讲是小数的入门，主要是小数的计算，难度不大，掌握一些常用方法即可。小数计算常用的方法有：(1)凑数、(2)扩大再缩小、(3)提取公因数、(4)平方和平方差公式、(5)解方程、(6)换元法。希望孩子领会各种方法的要领。作业看了一遍，没有太大难度。在此分析几道张老师课堂上讲解的补充题目，会对大家有用途的。11、【补充1】计算：2012×22+407×80+3256【难度级别】★☆☆☆☆【解题思路】此题硬算也是可以算出来的，但是此题中包含了几个有特点的数据：2012、407，因为2012年4月7日学而思杯考试。另外，题目是由张老师出的。硬算：22132+32560+3256=57948=80080巧算：2012×22+407×80+407×8=2012×22+407×(80+8)=2012×22+407×88=88×503+88×407=88×(503+407)=88×910=(8×11)×(7×13×10)=(7×11×13)×8×10=1001×8×10=80080【答案】80080。12、【补充2】2012年12月21日是电影玛雅人末日，20121221这个数的数字和是11，2012年所有日期(日期用8位数字表示)中是11的倍数的有多少个？【难度级别】★★☆☆☆【解题思路】此题目有意思的地方是2012年12月21日这个日期，这个日期可以出不少题目，此题出自张老师，还可以问：数字之和为11的日期有多少个。2012xxxx÷11，商是1829xxxx，余数是：1axx（1～9月）或2bxx（10～12月）。1月～2月各2个，3月～9月各3个，10月～11月3个，12月2个，共33个。【答案】33个。13、【补充3】1个两位数除以6余3，如果十位数字和个位数字对换后的两位数仍然除以6余3，则称这样的一对数为“学而思数”，问“学而思数”共有多少对？【难度级别】★★★★☆【解题思路】第个关键点：此数是3的倍数。因为除以6余3，所以能被3整除。第2个关键点，此数不能是2的倍数。因为此数是3的倍数，如果又是2的倍数，就一定是6的倍数，就不会除以6有余数了。不是2的倍数所以是奇数，2个数位对换后也是奇数，所以这个两位数的数字都是奇数。第3个关键点，推导和计算：ab除以6余3，ba除以6也余3，所以ab+ba是6的倍数。ab+ba=6k，11a+11b=6k，11(a+b)=6k，a+b是6的倍数。所以a+b=6或12或18。a+b=6，15与51、33与33。a+b=12，39与93、57与75。a+b=18，99与99。共5对。【答案】5对。14、【补充4】正12边形怎么画？如果正12边形的面积是81，则图中阴影部分的面积是多少？【难度级别】★★★☆☆【解题思路】因为今年是2012年，所以几何图形正12边形可能是一个考试的重点。给出一种画12边形的方法：先画一个正六边形，以每个边为正方形的边向外画正方形，将图形外侧的正方形顶点都连接起来，就是一个正12边形。可以证明，图中的小三角形是等边三角形。求阴影部分的面积：正12边形=6个□+6个△+1个正六边形，因1个正六边形=6个△，所以正12边形=6个□+12个△。而阴影部分=2个□+4个△，正好是正12边形的三分之一，所以阴影面积是：81÷3=27。【答案】27。15、【补充5】某船往返甲乙两岸，共用12小时，前6小时比后6小时多走80千米，顺水速度比逆水速度大16千米/小时，求甲乙两岸距离。【难度级别】★★★☆☆【解题思路】流水行船、追及问题。前6小时比后6小时多走80千米，说明前6小时顺水走了全程并逆水忘回走了，如图中红线。后6个小时如图中蓝线。图中红线和蓝线都是走了6个小时。红线重叠那部分：80÷2=40(千米)。因红线回来的也是逆水，去掉这逆水行船的40千米，就都变成顺水行船了，蓝线也去掉40千米的逆水行船，此时红线和蓝线时间还是相同的，如图。404040根据追及问题，S差=40+40＝80，V顺-V逆=16，所以T=80÷16=5(小时)。说明去掉的40千米用的时间就是：6-5=1(小时)，5小时逆水行船的距离就是：5×40=200(千米)。全程：200+40+40=280(千米)。【答案】280千米。第二讲长度与角度综合对于刚刚接触几何的孩子们来讲，接受这些几何题目的知识点还需要一个过程，本讲的长度和角度，还不算太难，需要孩子慢慢领会。但是讲义中的部分题目难度偏大，尤其例6和学案4严重超纲。21、【学案3】如图，正五边形ABCDE，若△CDF为正三角形，试求∠BFE的度数。【难度级别】★★☆☆☆【解题思路】正五边形的一个内角为：(5-2)×180°÷5=108°。∠1=60°，∠2=108°-60°=48°。BC=CD=CF，∠3=(180°-∠2)÷2=(180°-48°)÷2=66°。由于正五边形左右是对称的，所以∠EFD=∠3=66°。∠BFE=360°-∠1-∠3-∠EFD=360°-60°-66°-66°=168°。【答案】168°。22、【例4】已知一正多边形，其内角小于160°，且大于150°，试求出此ABCDEF123多边形可能是哪几种正多边形？【难度级别】★★☆☆☆【解题思路】根据内角和公式也可以求，稍微麻烦一点，此题可以根据多边形的外角和来求，因为多边形的外角和360°是不变的。“内角小于160°且大于150°”转换成“外角大于于20°且小于30°”。正n边形的一个外角=360°÷n，360°÷20=18，360°÷30=12，所以12＜n＜18，n=13、14、15、16、17。【答案】13、14、15、16、17。23、【作业8】华罗庚爷爷说：数学是中国人民所擅长的学科。请小朋友求解《九章算术》中一个古老问题：“今有木长二丈，围之三尺。葛生其下，缠木七周，上与木齐。问葛长几何？”白话译文：如图，有圆柱形木棍直立地面，高20尺，圆柱地面周长3尺。葛藤生于圆柱底部A点，等距缠绕圆柱七周恰好长到圆柱上底面的B点，则葛藤的长度是__。【难度级别】★★★☆☆【解题思路】此题需要明白圆柱侧面的展开图，孩子不好理解。先让孩子明白，一个圆柱体的侧面展开图是一个长方形，圆柱的高是长方形的宽，圆柱的底面周长是长方形的长。题目是绕7周，我是按照1周计算的。1周的展开图，高是20/7，下边长是3，斜边（葛藤长）的平方=(20/7)2+32=841/49=(29/7)2，斜边=29/7。所以葛藤总长=(29/7)×7=29(尺)。答案是按照圆柱体旋转7圈展开，形成如右图所示的直角三角形，斜边就是葛藤的展开痕迹。斜边的平方=202+212=841，斜边=29，所以，葛藤总长就是29尺。【答案】29尺。24、【例7】如图，点P在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点D，在OA边上求作一点C，使△PCD的周长最小。【难度级别】★★★☆☆【解题思路】做P点关于OA的对称点E，在做P点关于OB的对称点F，连接EF，EF交OA于C，EF交OB于D，点C和点D就是题目所要求作的点。△PCD的周长=PC+PD+CD=EC+FD+CD=EF。证明：假设OA上的点为Cˊ，OB上的点为Dˊ，则△PCD的周长是：PCˊ+PDˊ+CˊDˊ=ECˊ+FDˊ+CˊDˊ=ECˊ+CˊDˊ+DˊF，显然ECˊ+CˊDˊ+DˊF是从E到F的3条线段，只有3条线段在一条直线上其和ABOPCDEF202120/73才最小，因为E、F两点间线段最短。【答案】见解题思路。25、【作业7】如图，A、B两个电话机到电话线l的距离分别为3米和5米，CD=6米。若由l上的一点分别向A、B连电话线，最短为_____。【难度级别】★★★★☆【解题思路】与例7类似，利用镜面对称，而且多一步利用勾股定理求长度。先找A关于电话线l的对称点Aˊ，连接Aˊ和B交于l与F，FA+FB即为所求。因FAˊ=FA，所以FA+FB=FAˊ+FB=AˊB。由于Aˊ、B之间线段最短，所以通过“连接Aˊ和B”找到了F点。画完图，孩子也不一定会求，即便告诉他们用勾股定理，他们可能还是找不到如何来用。事实上，将DB向左平移让D点与C点重合，这样就能看到rt△AˊEB，CE=DB=5，AˊC=AC=3，AˊE=3+5=8，EB=CD=6，所以AˊB2=AˊE2+EB2=82+62=100，AˊB=10(米)。【答案】10米。26、【例5】如图，对角线BD将矩形ABCD分割为两个三角形，AE和CF分别是两个三角形上的高，长度都等于6cm，EF的长度为5cm，求矩形ABCD的面积。【难度级别】★★★★★lBADCAˊADCBFE【解题思路】根据给的已知条件，要想求面积，需要先求出对角线的长度，对角线BD不好求，连接AC求对角线AC的长度。如图，以AE、EF为边向下做一个长方形，这是此题的难点。虚线构成的△AGC是直角三角形。AG＝EF＝5cm，GC＝GF+FC＝AE+CF＝6+6＝12cm，AC2＝52+122＝169，AC＝13cm，BD＝13cm。当然，也可以不做AG、FG这2条辅助线，由小直角三角形OFC来求对角线的长度，只是数有小数，计算复杂一点。OC2＝OF2+CF2＝2.52+62＝42.25＝6.52，OC＝6.5(cm)，AC＝13cm。矩形ABCD面积＝BD×AE÷2+BD×CF÷2＝13×6＝78(cm2)。【答案】78cm2。27、【例8】如图，四边形ABCD中，AB＝30，AD＝48，BC＝14，CD＝40，又已知∠ABD+∠BDC＝90°，求四边形ABCD的面积。【难度级别】★★★★★【解题思路】此题从“∠ABD+∠BDC＝90°”入手，这表示2个角的和是90°，所以需要把这样的2个角放到一起构成直角。如图，将△CBD左右翻转一下（形状不变），D点到B点处，B点到D点处，C翻转成为E点，这样∠ABD+∠BDC＝90°变成了∠ABD+∠DBE＝90°，所以∠ABE＝90°。这样，ABCDEFOGABCDE四边形ABCD面积＝△ABD面积+△CBD面积＝△ABD面积+△EBD面积＝△ABE面积+△ADE面积。△ABE面积＝AB×BE÷2＝30×40÷2＝600。AB＝30，BE＝CD＝40，AE2＝302+402＝2500，AE＝50。△ADE因为三边的长度已知（AD＝48，DE＝BC＝14，AE＝50），理论上面积是可求的，但是需要用到三角函数，此处三边有特殊性，可以构成直角三角形，所以问题简化了变成孩子们是可求的。此处，也是勾股定理的反向应用。因为：482+142＝2500＝502，所以∠ADE是直角。因此，△ADE面积＝AD×DE÷2＝48×14÷2＝336。四边形ABCD面积＝△ABE面积+△ADE面积＝600+336＝936。【答案】936。28、【学案4】如图，图中的四边形ABCD中，AB=BC=CD，∠B=168°，∠C=108°，求∠D是多少度？【难度级别】★★★★★【解题思路】这道题的难点就在于不好想，在图形内部怎么做辅助线都得不到很好的思路，所以做了好长时间也没有做出来。感谢e度论坛的“chongbeibei”提供信息，答案摘自“学而思讲义四年级第14讲长度与角度综合(竞赛班)”()。看到∠C=108°，就该想到这是正五边形的内角。于是做正五边形，同时发现又出现了个等边三角形(168°-108°=60°)。并且图形对称，从而∠C=108°÷2=54°。如何证明图形是对称的呢？我是这样思考的：△ABF是等边三角形已经清楚了，其实证明AD垂直于BF即可。取BF的中点O′,AO′垂直于BF，证明