排列、组合习题精选精讲

1“解排列、组合应用问题”的思维方法考点1考查两个原理直接应用例1（涂色种花问题）：如图，用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？解法一（分步法）：如题图分四个步骤来完成涂色这件事需分为四步，第一步涂A区有5种涂法；第二步涂B有4种方法；第三步涂C有3种方法；第四步涂D有3种方法(还可以使用涂A的颜色)，根据分步计数原理共有5×4×3×3＝180种涂色方法．解法二：由于A、B、C两两相邻，因此三个区域的颜色互不相同，共有35A＝60种涂法；又D与B、C相邻、因此D有3种涂法；由分步计数原理知共有60×3＝180种涂法．解法三（分类法）：完成涂色的方法分为两类，第一类：四个区域涂四种不同的颜色共有45A＝120种涂法；第二类：四个区域涂三种不同的颜色，由于A、D不相邻只能是A、D两区域颜色一样，将A、D看做一个区域，共35A＝60种涂法．由分类计数原理知共有涂法120＋60＝180(种)．方法总结：对涂色问题，有两种解法，法1是逐区图示法，注意不相邻可同色.法2根据用色多少分类法.变式1：如图，一个地区分为5个行政区，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种．(以数字作答)答案：72考点2考查特殊元素和特殊位置优先策略(优限法)例2：从1，2，3，5，7，中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重担数字的四位数，其中通报被5整除的四位数共有个(用数字作答）解析：对于含有特殊元素的排列组合问题，一般应优先安排特殊位置上的特殊元素，再安排其他位置上的其他元素。解：合条件四位数的个位必须是0、5，但0不能排在首位，故0是其中的特殊元素，应优先安排，按照0排在首位，0排在十位、百位和不含0为标准分为三类：①0排在个位能被0整除的四位数有14433241411ACCA个②0排在十位、百位，但5必须排在个位有2213141112ACCAA=48个③不含0，但5必须排在个位有10833241311ACCA个由分类计数原理得所求四位数共有300个。例：7位同学站成一排．甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(特殊元素分析)解：根据分步计数原理：第一步甲、乙站在两端有22A种；第二步余下的5名同学进行全排列有55A种，则共有22A55A=240种排列方法练习：由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.(特殊位置分析)解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置，先排末位共有13C，然后排首位共有14C，最后排其它位置共有34A，由分步计数原理得13C14C34A=2882位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件练习：四名男生和三名女生站成一排：(1)一共有多少种不同的排法？(2)甲站在中间的不同排法有多少种？(3)甲、乙二人必须站在两端的排法有多少种？(4)甲不排头，也不排尾，有多少种排法？带有限制的排列题，既可以从元素出发分析，也可以从位置出发分析,还可以使用排除法。解（1）因为男女生共7人，不受任何条件限制，故共有5040!777A种(2)因甲站在中间已确定，而其余6人可站在除中间位置之外的六个不同位置上，所以共有720!666A种(3)甲、乙二人站在两端，这二人是特殊元素，先考虑元素，甲、乙二人站在两端的站法有22A种，再考虑其余5人在中间5个不同位置的站法有55A种，根据分步计数原理，甲、乙二人站在两端的不同站法有22A55A=240种(4)解法一：直接法（特殊元素分析）首先考虑特殊元素甲，甲在中间5个位置任选一个有15A种排法，再考虑一般元素的排法有66A种，由分布计数原理得共有15A66A=3600种。解法二：直接法（特殊位置分析）首先考虑特殊位置排头和排尾的排法，由于甲不能在两端，因此只能从其余6人中任选二人排在两端有26A种排法，再考虑一般位置的排法有55A种，所以共有排法26A55A=3600种。解法三：间接法（排除法）不考虑条件限制，男女生共7人的不同站法只有77A种，如果甲站在排头有66A种不同站法，由排除法知，甲不排头，也不排尾的排法共有360026677AA种。练习：有7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？24A55A=1440考点3：相邻元素捆绑策略(捆绑法)例：有Nnn件不同的产品排成一排，若其中A、B两件不同的产品排在一起的排法有48种，则n解析：对于含有某几个元素相邻的排列问题可先将相邻元素“捆绑”起来视为一个大元素，与其他元素一起进行了全排列，然后瑞对相邻元素内部进行全排列，这就是处理相邻排列问题的“捆绑”方法。解：将A、B两件产品看作一个大元素，与其他产品排列有11nnA种排法；对于上述的每种排法，A、B两件产品之间又有22A种排法，由分步计数原理得满足条件的不同排法有2211AAnn=48种，故35n例：7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有55A22A22A=480种不同的排法要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.练习：某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为（20）考点4：不相邻问题插空策略(插空法)例：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2个就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（）(A)234(B)346(C)350(D)363解析：对于前排中某个元素互不不相邻的排列问题，可先将其它元素排成一排，然后将不相邻的元素插入这些排好的元素之间及两端的空隙中，这就是解决互不相邻问题最为奏效的插空法。解：先将前排中间的5号、6号、7号座位和待安排2人的取出，再将剩下的18座位排成一列，然后妆待安排2人的座位插入这18座位之间及两端的空隙中，使这2人的座位互不相邻，有219A种方法；但在前排的4号与8号座位、前排的11号与后排的1号座位之间可以同时插入待安排2人的座位满足条件，有222A种方法。由分类计数原理得到不同排法的种数有3464342222219AA（种），选（B）。例：一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有46A种不同的方法，由分步计数原理,节目的不同顺序共有55A46A种元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端练习1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（30）2.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（42）例4、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（）（A）38C种（B）38A种（C）39C种（D）311C种考点5混合问题，先“组”后“排”例：将4名教师分配到3种中学任教，每所中学到少1名教师，则不同的分配方案共有（）种（A）12（B）24（C）36（D）48解析：对于排列组合混合问题，可运用先分组（堆）后排列的策略求解，无次序分组问题常有“均匀分组、部分均匀分组、非均匀分组”等三种类型。计数时常有下面结论：对于其中的“均匀分组”和“部分均匀分组”问题，只需按“非均匀分组”列式后，再除以均匀组数的全排列数。4解：可分两步完成：第一步将4名教师部分均匀分为三组（1、1、2）有22111224ACCC种方法；第二步将这三组教师分配到3所中学任教有33A种方法。由分步计数原理得不同的分配方案共有3324AC=36种。应选（B）。例：对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5次测试是次品。故有：34C16C44A=576种可能。练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法______种.解：采用先组后排方法:2、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配方法共有多少种?解法一：先组队后分校（先分堆后分配）解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.考点6考查定序排列计算问题例：由数字0、1、2、3、4、5、组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）个（A）210（Ｂ）300（C）464（D）600解析：对于部分元素定序排列问题，可先把定序元素与其它元素一同进行全排列，然后根据定序排列在整体排列中出现的概率，即用定序排列数去均分总排列数获解。解：若不考虑附加条件，组成的六位数有5515AA个。在这些六位数中，只有个位数字小于和个位数字大于十位数字这两种情况，而这两种情况在整体排列中出现的概率均为21，故所求六位数为551521AA=300个，应选（B）。考点7考查等价转化计算问题例：从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（）个（Ａ）56（B）52（C）48（D）40解析：几何图形问题是高考的常考点。求解时，一要熟悉几何图形性质及点、线、面位置关系；二要按同一标准分类，避免重复、遗漏；三若直接求解困难或头绪繁多时，可从其反而去考虑，将其转化为简单的问题去解决。解：从正方体的8个顶点中任取3个顶点可构成38C个三角形，其中非直角三角形的有两类：①上底面的每个顶点所在的侧面对角线与下底面相应的对角线构成1个正三角形，上底面的4个顶点共4个非直角三角形；②下底面的4个顶点所在的侧面对角线与上底面相应的结角线共构成4个非直角三角形。故所求直角三角形共有484438C个，选（C）。例8四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）种（A）150（Ｂ）147（C）144（D）141解：从10个点中任取4个噗有410C=210种取法，应剔除下面三类共面点：312353431080CCCA223364540CCA5401)()(24122613CCCC5（1）从四面体的每个面上的6个点中任取4个点必共面有464C=60种取法；（2）四面体的每条棱上3个点与对棱中点共面有6种取法；（3）6个中点连线有3对平行线段共面，故从这6个点中取4个共面中取4个共面点有3种取法。故符合条件取法共210-60-6-3=141种。选（D）.考点8考查二项展开式指定项求法例：已知nxx3123的展开式中各项系数的和是128,则展开式中5x的系数是.解析:求二项展开式的指定项或其系数,常运用其通项公式,将其转化为方程问题去求解.解:取1x得71282nn6116373172371rrrrrrxCxxCT令561163xxr得3r.故展开式中5x的系数为3557C.考点9考查二项展开式系数和求法例：若