2018年鲁教版数学8年级下第9章《图形的相似》要点回顾与考点透视

《图形的相似》要点回顾与考点透视告诉你一个事实：给我一块巴掌大的玉石，我能在上面雕刻出古典名著《红楼梦》，也许你会觉得太离谱了，也许你会瞠目结舌：那样的话所写的字该有多小啊？这太难了！但我可以借助于放大镜.其实在放大镜下的玉石和实际的玉石只是大小不同，然而形状却完全相同.你看这是多么神奇啊！为了能弄清问题的本质，让我和同学们一起走进相似的图形世界吧.希望同学们能感兴趣.一、知识网络二、要点回顾1.在同一单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比，求线段的比时，两条线段的长度单位一定要统一，不过在同一单位下的线段长度的比与选用的单位又无关.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.就是说在四条线段a、b、c、d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段或简称比例线段.2.式子ba＝dc，或a∶b＝c∶d叫做比例式.即比例式是由两个比值相等的比用等号连接而成的，并且在比例式ba＝dc，或a∶b＝c∶d中，a、b、c、d称为比例的项.其中，a、d叫做比例外项；b、c叫做比例内项；d叫做第四比例项.特别地，若比例中两个比例内项相等时，我们把这一项叫做另外两项的比例中项。即若a∶b＝c∶d，则b叫做a、c的比例中项.比例的基本性质是：如果a∶b＝c∶d，那么ad＝bc.比例的基本性质反过来也成立，即：如果ad＝bc，那么a∶b＝c∶d(ad≠0)；特别地，如果a∶b＝b∶c，那么b2＝ac；反过来也有如果b2＝ac，那么a∶b＝b∶c(bc≠0).3.把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的对应边成比例，对应角相等的两个多边形是相似多边形相似三角形的识别方法和性质线段的比相似图形相似三角形相似图形知识的应用图形的放大与缩小黄金分割比例的基本性质比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点.此时还有215ABAC，即AC∶AB≈0.618∶1.黄金分割在自然、社会、生活等多方面有着重要的应用，同学们在复习时应注意理解.4.对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.其中对应边的比叫做相似比.相似比应讲究一个顺序性.5.识别两个三角形相似常有以下几种方法：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；②如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；③如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且这两条边的夹角也对应相等，那么这两个三角形相似；④如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似；⑤平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）截得的三角形与原三角形相似.特别地对于直角三角形相似，除了运用一般地三角形相似的判定方法外，还有其特殊的判定方法，即：①如果一个直角三角形的一个锐角与另一个直角三角形的一个锐角边对应相等，那么这两个直角三角形相似；②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似；③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原直角三角形相似.6.相似三角形有以下几个重要性质：①相似三角形的对角相等，对应边成比例；②相似三角形对应线段的比等于它们的相似比，即相似三角形对应边的比、对应中线、对应角平分线、对应高、对应周长的比都等于相似比；③相似三角形的对应面积的比等于相似比的平方.7.利用相似三角形的有关知识可以测量一些建筑物的高度.如测量旗杆的高度：方法1：利用太阳光的影子.即如图1，让一名同学站立于旗杆的影子的末端D处，测出旗杆影长BD，再测出这名同学的高度C和影长在BD，由于此时△ABD∽△CDE，即可求出旗杆高AB.方法2：利用标杆.即如图2，选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆，当旗杆的顶部、标杆的顶端与人的眼睛恰好在一条直线上时，分别测出观测者的脚到标杆底部的距离DE和到旗杆底部的距离BE，再测出标杆的高CD，利用相似三角形的知识即可求出旗杆的高AB.方法3：利用镜子的反射.即如图3，选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记，当观测者看到旗杆的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合时，测出观测者的脚到镜子的距离DM和旗杆底部到镜子的距离BM，再测出观测者的高CD，由于∠AMB=∠CMD，易得△AMB∽△CMD，即可求出旗杆高AB.8.相似多边形的周长比等于它们的相似比，相似多边形的面积比等于它们的相似比的平方，相似多边形对应对角线的比也等于它们的相似比.9.两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小，在作位似变换时，可以把位似中心取在多边形的外部、内部、多边形的边或顶点上.三、方法导引1.比例的基本性质是比例式变形、求值、证明的重要依据．在比例式变形、求值、证明中，引人参数k的方法能化繁为简、化难为易.2.灵活运用相似三角形的判定条件解决有关问题，关键是确定相似三角形，通常按下列思路分析：①若已有一组角相等，可再找另一组角相等；或者再找这组角的两边对应成比例.②若已有两组边对应成比例，可再找夹角相等；或者再找第三组边也对应成比例.难点在于找准对应关系.一般地图形中的对顶角、公共角、同角（等角）的余角（或补角）相等或者已知相等的两个角，可能是对应角.EC图1ABD图2DCEAB图3DCMAB最大的边（角）的对角（边）可能是对应角（边），最小的边（角）的对角（边）可能是对应角（边），余下的第三对边（角）的对角（边）可能是对应角（边）.3.由待求的比例式可按如下步骤分析：“横找三角形，竖找对应边，再找对应角”.或也可按“竖找三角形，横找对应边，再找对应角”的方法分析，找出待证的相似三角形.在应用上述方法无法解决时，可利用中间量（中间线段、中间比、中间积等）进行代换，转化为容易解决的问题.四、考点解析所选例题均出版2009年全国部分省市中考试卷.考点1线段成比例例1（上海市)如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A.ADDF＝BCCEB.BCCE＝DFADC.CDEF＝BCBED.CDEF＝ADAF分析由平行线分线段成比例的意义逐一对照即求.解因为AB∥CD∥EF，所以ADDF＝BCCE.故应选A.说明由平行线写出的成比例线段时，一定要对照图形，按照一定的顺序进行，切不可以随便乱写一通，从而造成错误.考点2黄金分割例2（孝感市）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感.如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm分析若设出穿的高跟鞋的高度为acm，由条件可先求出x的值，进而利用黄金分割的意义列式求解.解若设出穿的高跟鞋的高度为acm，因为某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，所以165x＝0.60，解得x＝0.60×165.又由黄金分割的意义，得xala＝0.618，即0.60165165aa＝0.618，解得a≈8.故应选C.说明求解本题时除了要能灵活运用黄金分割的概念外，还必须弄清楚各个量的意义，不能弄错.考点3相似三角形的性质例3（凉山州）已知△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B′C′＝1∶2，则AB∶A′B′＝______.分析已知两个三角形相似，且知道面积之比，要求对应边的比，于是可利用相似三角形的性质使线段之比转化成面积比即可求解.解因为△ABC∽△A′B′C′，且S△ABC∶S△A′B′C′＝1∶2，所以ABCABCSS＝2ABAB＝12，即ABAB＝12，所以AB∶A′B′＝1∶2.说明本题是逆用相似三角形的性质求解.考点4相似三角形的判定例4（滨州市）如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③ACCD＝ABBC；④AC2＝AD·AB.其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A.1B.2C.3D.4分析利用相似三角形的判定，结合图形特征求解.解由相似三角形的条件，并由图形特征可知①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；④AC2＝AD·AB；都能单独判定△ABC∽△ACD.故应选C.说明求解此类问题一定要注意从图形中及时发现隐含条件.如，本题中的∠A是两个三角形的公共角.考点5相似三角形的实际应用例5（陕西省）小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同.此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2m，CE＝0.8m，CA＝30m（点A、E、C在同一直线上）.已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）.分析要求楼高AB，由太阳光所成影子的特点，可通过辅助线构造出三角形，加上人和大楼都垂直于地面，可得到相关的三角形相似，从而列式求解.解过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，则EH＝AG＝CD＝1.2，DH＝CE＝0.8，DG＝CA＝30，FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5.因为EF∥AB，所以△DHF∽△DGB，所以FHBG＝DHDG，即0.5BG＝0.830，解之，得BG＝18.75.所以AB＝BG+AG＝18.75+1.2＝19.95≈20.0.答：楼高AB约为20.0米.说明本题是利用相似三角形的知识解决生活中的高度测量问题，求解时应通过适当的辅助线将问题及时转化，从而运用相似三角形的性质列式求解.考点6相似多边形例6（济宁市）如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（）A.2cm2B.4cm2C.8cm2D.16cm2分析依题意，原矩形的面积等于8×4＝32（cm2），留下的矩形长刚好是原矩形的宽，即两个矩形的相似比等于4∶8，此时，要求阴影部分的面积，利用相似多边形的面积比等于相似比的平方求得.解设图中阴影部分的面积为xcm2，因为两个矩形相似，所以32x＝248，解得x＝8.故应选C.说明研究相似多边形时，应注意哪是对应边，哪是对应角，否则就容易出现错误.考点7图形的位似例7（宁德市）如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2∶3，已知AB＝4，则DE的长为_______.分析利用位似图形对应边的比等于位似比列式求解.解因为△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2∶3，所以AB∶DE＝2∶3，而AB＝4，所以4∶DE＝2∶3，解得DE＝6.说明本题考查位似图形，解题时，可通过观察图形结合所给数据和位似比直接计算结果.考点8动点与图形的相似例8（上海市）已知∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足ABADPCPQ（如图1所示）.（1）当AD＝2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；（2）在图1中，联结AP.当AD＝32，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，APQPBCSS△△＝y，其中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当AD＜AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求∠QPC的大小.分析（1）由题意，结合图形容易知道∠D＝45°，进而求解.（2）从APQPBCSS△△＝y出发，可引进参数，将这两个三角形的面积都用k来表示，从而求解.（3）易得Rt△ABD∽Rt△EPB，进而得到Rt△PQF∽Rt△P