勾股定理16种证明方法

勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b，所以面积相等.即abcabba214214222，整理得222cba.【证法2】（邹元治证明）以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.∵RtΔHAE≌RtΔEBF,∴∠AHE=∠BEF.∵∠AEH+∠AHE=90º,∴∠AEH+∠BEF=90º.∴∠HEF=180º―90º=90º.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.∵RtΔGDH≌RtΔHAE,∴∠HGD=∠EHA.∵∠HGD+∠GHD=90º,∴∠EHA+∠GHD=90º.又∵∠GHE=90º,∴∠DHA=90º+90º=180º.∴ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于2ba.∴22214cabba.∴222cba.【证法3】（赵爽证明）以a、b为直角边（ba），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角DGCFAHEBabcabcabcabcbabababacbacbacbacbacbacbabacGDACBFEHababccABCDE三角形的面积等于ab21.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90º，∴∠EAB+∠HAD=90º，∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90º.∴EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于2ab.∴22214cabab.∴222cba.【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC.∵∠AED+∠ADE=90º,∴∠AED+∠BEC=90º.∴∠DEC=180º―90º=90º.∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c.又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于221ba.∴222121221cabba.∴222cba.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED，∵∠EGF+∠GEF=90°，PHGFEDCBAabcabcabcabccccbacbaABCEFPQMN∴∠BED+∠GEF=90°，∴∠BEG=180º―90º=90º.又∵AB=BE=EG=GA=c，∴ABEG是一个边长为c的正方形.∴∠ABC+∠CBE=90º.∵RtΔABC≌RtΔEBD,∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90º.即∠CBD=90º.又∵∠BDE=90º，∠BCP=90º，BC=BD=a.∴BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则,21222abSbaabSc2122,∴222cba.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵∠BCA=90º，QP∥BC，∴∠MPC=90º，∵BM⊥PQ，∴∠BMP=90º，∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90º.∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90º，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90º，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMP=90º，∠BCA=90º，BQ=BA=c，∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD.过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD，∴ΔFAB≌ΔGAD，∵ΔFAB的面积等于221a，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴矩形ADLM的面积=2a.同理可证，矩形MLEB的面积=2b.∵正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积∴222bac，即222cba.【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.在ΔADC和ΔACB中，∵∠ADC=∠ACB=90º，∠CAD=∠BAC，∴ΔADC∽ΔACB.AD∶AC=AC∶AB，即ABADAC2.同理可证，ΔCDB∽ΔACB，从而有ABBDBC2.∴222ABABDBADBCAC，即222cba.【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R.过B作BP⊥AF，垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.∵∠BAD=90º，∠PAC=90º，∴∠DAH=∠BAC.又∵∠DHA=90º，∠BCA=90º，AD=AB=c，∴RtΔDHA≌RtΔBCA.ABDCacbcbacbaABCDEFGHMLK∴DH=BC=a，AH=AC=b.由作法可知，PBCA是一个矩形，所以RtΔAPB≌RtΔBCA.即PB=CA=b，AP=a，从而PH=b―a.∵RtΔDGT≌RtΔBCA,RtΔDHA≌RtΔBCA.∴RtΔDGT≌RtΔDHA.∴DH=DG=a，∠GDT=∠HDA.又∵∠DGT=90º，∠DHF=90º，∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90º，∴DGFH是一个边长为a的正方形.∴GF=FH=a.TF⊥AF，TF=GT―GF=b―a.∴TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP=b，高FP=a+（b―a）.用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为543212SSSSSc①∵abaabbSSS21438=abb212，985SSS，∴824321SabbSS=812SSb.②把②代入①，得98812212SSSSbSSc=922SSb=22ab.∴222cba.【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（ba），斜边的长为c.做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.∵∠TBE=∠ABH=90º，∴∠TBH=∠ABE.又∵∠BTH=∠BEA=90º，BT=BE=b，∴RtΔHBT≌RtΔABE.∴HT=AE=a.∴GH=GT―HT=b―a.又∵∠GHF+∠BHT=90º，∠DBC+∠BHT=∠TBH+∠BHT=90º，∴∠GHF=∠DBC.987654321PQRTHGFEDCBAabcabcccMHQRTGFEDCBAcba87654321∵DB=EB―ED=b―a，∠HGF=∠BDC=90º，∴RtΔHGF≌RtΔBDC.即27SS.过Q作QM⊥AG，垂足是M.由∠BAQ=∠BEA=90º，可知∠ABE=∠QAM，而AB=AQ=c，所以RtΔABE≌RtΔQAM.又RtΔHBT≌RtΔABE.所以RtΔHBT≌RtΔQAM.即58SS.由RtΔABE≌RtΔQAM，又得QM=AE=a，∠AQM=∠BAE.∵∠AQM+∠FQM=90º，∠BAE+∠CAR=90º，∠AQM=∠BAE，∴∠FQM=∠CAR.又∵∠QMF=∠ARC=90º，QM=AR=a，∴RtΔQMF≌RtΔARC.即64SS.∵543212SSSSSc，612SSa，8732SSSb，又∵27SS，58SS，64SS，∴8736122SSSSSba=52341SSSSS=2c，即222cba.【证法11】（利用切割线定理证明）在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c.如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD=BE=BC=a.因为∠BCA=90º，点C在⊙B上，所以AC是⊙B的切线.由切割线定理，得ADAEAC2=BDABBEAB=acac=22ac，即222acb，∴222cba.【证法12】（利用多列米定理证明）在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c（如图）.过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BDACBCADDCAB，∵AB=DC=c，AD=BC=a，AC=BD=b，abaaBACEDcbacabcACBD∴222ACBCAB，即222bac，∴222cba.【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c.作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.∵AE=AF，BF=BD，CD=CE，∴BFAFCDBDCEAEABBCAC=CDCE=r+r=2r,即rcba2，∴crba2.∴222crba，即222242crcrabba，∵abSABC21，∴ABCSab42，又∵AOCBOCAOBABCSSSS=brarcr212121=rcba21=rccr221=rcr2，∴ABCSrcr442，∴abrcr242，∴22222cababba，∴222cba.【证法14】（利用反证法证明）如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.假设222cba，即假设222ABBCAC，则由ABABAB2=BDADAB=BDABADAB可知ADABAC2，或者BDABBC2.即AD：AC≠AC：AB，或者BD：BC≠BC：AB.在ΔADC和ΔACB中，∵∠A=∠A，∴若AD：AC≠AC：AB，则∠ADC≠∠ACB.在ΔCDB和ΔACB中，∵∠B=∠B，∴若BD：BC≠BC：AB，则∠CDB≠∠ACB.又∵∠ACB=90º，cbarrrOFEDCBAABDCacb∴∠ADC≠90º，∠CDB≠90º.这与作法CD⊥AB矛盾.所以，222ABBCAC的假设不能成立.∴222cba.【证法15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为abbaba2222；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则