2018-2019学年高中数学选修2-2人教版练习：评估验收卷(一)

2018-2019学年高中数学选修2-2人教版练习：评估验收卷(一)1/11评估验收卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．若f(x)＝sinα－cosx，则f′(x)等于()A．cosα＋sinxB．2sinα＋cosxC．sinxD．cosx解析：函数是关于x的函数，因此sinα是一个常数．答案：C2．函数f(x)＝sinx＋cosx在点(0，f(0))处的切线方程为()A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0解析：f′(x)＝cosx－sinx，f′(0)＝cos0－sin0＝1，又f(0)＝sin0＋cos0＝1，所以f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0.答案：A3．一辆汽车按规律s＝at2＋1做直线运动，若汽车在t＝2时的瞬时速度为12，则a＝()A.12B.13C．2D．3解析：由s＝at2＋1得v(t)＝s′＝2at，依题意v(2)＝12，所以2a·2＝12，得a＝3.答案：D4．函数f(x)＝x2－ln2x的单调递减区间是()2018-2019学年高中数学选修2-2人教版练习：评估验收卷(一)2/11A.0，22B.22，＋∞C.－∞，－22，0，22D.－22，0，0，22解析：由题意知，函数f(x)定义域为x0，因为f′(x)＝2x－1x＝2x2－1x，由f′(x)≤0得x0，2x2－1≤0.解得0x≤22.答案：A5．函数f(x)＝3x－4x3(x∈[0，1])的最大值是()A．1B.12C．0D．－1解析：f′(x)＝3－12x2，令f′(x)＝0，则x＝－12(舍去)或x＝12，因为f(0)＝0，f(1)＝－1，f12＝32－12＝1，所以f(x)在[0，1]上的最大值为1.[来源:学_科_网]答案：A6．设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则常数a－b的值为()A．21B．－21C．27D．－27解析：由题意知，－2，4是函数f′(x)＝0的两个根，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，所以－2＋4＝－2a3，－2×4＝b3，⇒a＝－3，b＝－24.所以a－b＝－3＋24＝21.故选A.答案：A2018-2019学年高中数学选修2-2人教版练习：评估验收卷(一)3/117．做直线运动的质点在任意位置处所受的力F(x)＝1＋ex，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F(x)所做的功是()A．1＋eB．eC.1eD．e－1解析：W＝∫10F(x)dx＝∫10(1＋ex)dx＝(x＋ex)|10＝(1＋e)－1＝e.[来源:学§科§网]答案：B8．设函数在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数的图象可能是()解析：f(x)在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上变化规律是减→增→减，因此f′(x)的图象在(－∞，0)上，f′(x)＞0，在(0，＋∞)上f′(x)的符号变化规律是负→正→负，故选项A正确．答案：A9．f(x)是一次函数，过点(2，3)，且∫10f(x)dx＝0，则函数f(x)的图象与坐标轴围成的三角形的面积为()A．1B.12C.14D.18解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)．由题意得2k＋b＝3，①2018-2019学年高中数学选修2-2人教版练习：评估验收卷(一)4/11∫10(kx＋b)dx＝12kx2＋bx10＝0，即12k＋b＝0.②联立①②得，k＝2，b＝－1.所以f(x)＝2x－1.直线y＝f(x)与坐标轴的交点分别为12，0与(0，－1)，所以所求的面积为12×12×1＝14.答案：C10．已知积分∫10(kx＋1)dx＝k，则实数k＝()A．2B．－2C．1D．－1解析：因为∫10(kx＋1)dx＝k，所以12kx2＋x|10＝k，所以12k＋1＝k，所以k＝2.答案：A11．定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)12，则满足2f(x)x＋1的x的集合为()A．{x|－1x1}B．{x|x1}C．{x|x－1或x1}D．{x|x1}[来源:学科网]解析：令g(x)＝2f(x)－x－1.因为f′(x)12，2018-2019学年高中数学选修2-2人教版练习：评估验收卷(一)5/11所以g′(x)＝2f′(x)－10.所以g(x)为单调增函数．因为f(1)＝1，所以g(1)＝2f(1)－1－1＝0.所以当x1时，g(x)0，即2f(x)x＋1.故选B.答案：B12．若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0)B．(－∞，4]C．(0，＋∞)D．[4，＋∞)解析：2xlnx≥－x2＋ax－3(x0)恒成立，即a≤2lnx＋x＋3x(x0)恒成立，设h(x)＝2lnx＋x＋3x(x0)，则h′(x)＝x2＋2x－3x2.当x∈(0，1)时，h′(x)0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.故a的取值范围是(－∞，4]．答案：B二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在题中横线上)13．已知y＝ln11＋x2，则y′＝________．解析：y＝ln11＋x2＝ln(1＋x2)－12＝－12ln(1＋x2)，所以y′＝－12×11＋x2·(2x)＝－x1＋x2.答案：－x1＋x214.∫3－3(x2－2sinx)dx＝________．2018-2019学年高中数学选修2-2人教版练习：评估验收卷(一)6/11解析：∫3－3(x2－2sinx)dx＝13x3＋2cosx|3－3＝13×27＋2cos3－13×（－27）＋2cos（－3）＝18.答案：1815．已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．[来源:学科网]解析：因为f(x)为偶函数，所以当x0时，f(x)＝f(－x)＝lnx－3x，所以f′(x)＝1x－3，则f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.答案：y＝－2x－116．若关于x的方程x3－3x＋m＝0在[0，2]上有根，则实数m的取值范围是________．解析：令f(x)＝x3－3x＋m，则f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．显然，当x－1或x1时，f′(x)0，f(x)单调递增；当－1x1时，f′(x)0，f(x)单调递减．所以当x＝－1时，f(x)取极大值f(－1)＝m＋2；当x＝1时，f(x)取极小值f(1)＝m－2.因为f(x)＝0在[0，2]上有解，所以f（1）≤0，f（2）≥0，所以m－2≤0，2＋m≥0，所以－2≤m≤2.答案：[－2，2]三．解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设函数f(x)＝exx，求函数f(x)的单调区间．2018-2019学年高中数学选修2-2人教版练习：评估验收卷(一)7/11解：f′(x)＝－1x2ex＋1xex＝x－1x2ex，由f′(x)＝0，得x＝1.因为当x＜0时，f′(x)＜0；当0＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0.所以f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)，(0，1]．18．(本小题满分12分)已知F(x)＝∫x－1t(t－4)dt，x∈(－1，＋∞)．(1)求F(x)的单调区间；(2)求函数F(x)在[1，5]上的最值．解：F(x)＝∫x－1(t2－4t)dt＝13t3－2t2x－1＝13x3－2x2－－13－2＝13x3－2x2＋73(x－1)．(1)F′(x)＝13x3－2x2＋73′＝x2－4x，由F′(x)0，即x2－4x0，得－1x0或x4；由F′(x)0，即x2－4x0，得0x4，所以F(x)的单调递增区间为(－1，0)和(4，＋∞)，单调递减区间为(0，4)．(2)由(1)知F(x)在[1，4]上递减，在[4，5]上递增．因为F(1)＝13－2＋73＝23，F(4)＝13×43－2×42＋73＝－253，F(5)＝13×53－2×52＋73＝－6，所以F(x)在[1，5]上的最大值为23，最小值为－253.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝aln(x＋1)＋12x2－ax＋2018-2019学年高中数学选修2-2人教版练习：评估验收卷(一)8/111(a1)．(1)求函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)当a1时，求函数y＝f(x)的单调区间和极值．解：(1)f(0)＝1，f′(x)＝ax＋1＋x－a＝x（x－a＋1）x＋1，f′(0)＝0，所以函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(2)函数的定义域为(－1，＋∞)，令f′(x)＝0，即x（x－a＋1）x＋1＝0.解得x＝0或x＝a－1.当a1时，f(x)，f′(x)随x变化的情况如下：x(－1，0)0(0，a－1)a－1(a－1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗可知f(x)的单调减区间是(0，a－1)，增区间是(－1，0)和(a－1，＋∞)，极大值为f(0)＝1，极小值为f(a－1)＝alna－12a2＋32.20．(本小题满分12分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投资额为零时收益为零．(1)求a，b的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．解：(1)由投资额为零时收益为零，可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6lnb＝0，2018-2019学年高中数学选修2-2人教版练习：评估验收卷(一)9/11解得a＝2，b＝1.(2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln(x＋1)．设投入经销B商品的资金为x万元(0＜x≤5)，则投入经销A商品的资金为(5－x)万元，设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)＝2(5－x)＋6ln(x＋1)＝6ln(x＋1)－2x＋10(0＜x≤5)．S′(x)＝6x＋1－2，令S′(x)＝0，得x＝2.当0＜x＜2时，S′(x)＞0，函数S(x)单调递增；[来源:学#科#网Z#X#X#K]当2＜x≤5时，S′(x)＜0，函数S(x)单调递减．所以，当x＝2时，函数S(x)取得最大值，S(x)max＝S(2)＝6ln3＋6≈12.6万元．所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.(1)若a＝12，求f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．解：(1)a＝12时，f(x)＝x(ex－1)－12x2，f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0；当x∈(－1，0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1，0)上单调递减．(2)f(x)＝x(ex－1－