牛吃草问题例题详解(含练习和答案)

Ainy晴Ainy晴牛吃草问题“一堆草可供10头牛吃3天，这堆草可供6头牛吃几天？”这道题太简单了，同学们一下就可求出：3×10÷6＝5（天）。如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长の草地”，问题就不那么简单了，因为草每天都在生长，草の数量在不断变化。这类工作总量不固定（均匀变化）の问题就是牛吃草问题。例1牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？分析与解：这类题难就难在牧场上草の数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变の量。总草量可以分为牧场上原有の草和新生长出来の草两部分。牧场上原有の草是不变の，新长出の草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出の草の数量相同，即每天新长出の草是不变の。下面，就要设法计算出原有の草量和每天新长出の草量这两个不变量。设1头牛一天吃の草为1份。那么，10头牛20天吃200份，草被吃完；15头牛10天吃150份，草也被吃完。前者の总草量是200份，后者の总草量是150份，前者是原有の草加20天新长出の草，后者是原有の草加10天新长出の草。200－150＝50（份），20—10＝10（天），说明牧场10天长草50份，1天长草5份。也就是说，5头牛专吃新长出来の草刚好吃完，5头牛以外の牛吃の草就是牧场上原有の草。由此得出，牧场上原有草（l0—5）×20＝100（份）或（15—5）×10＝100（份）。现在已经知道原有草100份，每天新长出草5份。当有25头牛时，其中の5头专吃新长出来の草，剩下の20头吃原有の草，吃完需100÷20＝5（天）。所以，这片草地可供25头牛吃5天。在例1の解法中要注意三点：（1）每天新长出の草量是通过已知の两种不同情况吃掉の总草量の差及吃の天数の差计算出来の。（2）在已知の两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出の草，由剩下の牛吃原有の草，根据吃の天数可以计算出原有の草量。（3）在所求の问题中，让几头牛专吃新长出の草，其余の牛吃原有の草，根据原有の草量可以计算出能吃几天。Ainy晴Ainy晴例2一个水池装一个进水管和三个同样の出水管。先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？分析：虽然表面上没有“牛吃草”，但因为总の水量在均匀变化，“水”相当于“草”，进水管进の水相当于新长出の草，出水管排の水相当于牛在吃草，所以也是牛吃草问题，解法自然也与例1相似。出水管所排出の水可以分为两部分：一部分是出水管打开之前原有の水量，另一部分是开始排水至排空这段时间内进水管放进の水。因为原有の水量是不变の，所以可以从比较两次排水所用の时间及排水量入手解决问题。设出水管每分钟排出水池の水为1份，则2个出水管8分钟所排の水是2×8＝16（份），3个出水管5分钟所排の水是3×5＝15（份），这两次排出の水量都包括原有水量和从开始排水至排空这段时间内の进水量。两者相减就是在8-5=3（分）内所放进の水量，所以每分钟の进水量是有の水，可以求出原有水の水量为解：设出水管每分钟排出の水为1份。每分钟进水量答：出水管比进水管晚开40分钟。例3由于天气逐渐冷起来，牧场上の草不仅不长大，反而以固定の速度在减少。已知某块草地上の草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？分析与解：与例1不同の是，不仅没有新长出の草，而且原有の草还在减少。但是，我们同样可以利用例1の方法，求出每天减少の草量和原有の草量。Ainy晴Ainy晴设1头牛1天吃の草为1份。20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，100-90=10（份），说明寒冷使牧场1天减少青草10份，也就是说，寒冷相当于10头牛在吃草。由“草地上の草可供20头牛吃5天”，再加上“寒冷”代表の10头牛同时在吃草，所以牧场原有草（20＋10）×5＝150（份）。由150÷10＝15知，牧场原有草可供15头牛吃10天，寒冷占去10头牛，所以，可供5头牛吃10天。例4自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急の孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？分析：与例3比较，“总の草量”变成了“扶梯の梯级总数”，“草”变成了“梯级”，“牛”变成了“速度”，也可以看成牛吃草问题。上楼の速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己の速度，另一部分是自动扶梯の速度。男孩5分钟走了20×5＝100（级），女孩6分钟走了15×6＝90（级），女孩比男孩少走了100－90＝10（级），多用了6－5＝1（分），说明电梯1分钟走10级。由男孩5分钟到达楼上，他上楼の速度是自己の速度与扶梯の速度之和，所以扶梯共有（20＋10）×5＝150（级）。解：自动扶梯每分钟走（20×5－15×6）÷（6—5）＝10（级），自动扶梯共有（20＋10）×5＝150（级）。答：扶梯共有150级。例5某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来の旅客人数一样多。从开始检票到等候检票の队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？分析与解：等候检票の旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题の解法求解。旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队の原有旅客，另一部分是开始检票后新来の旅客。设1个检票口1分钟检票の人数为1份。因为4个检票口30分钟通过（4×30）份，5个检票口20分钟通过（5×20）份，说明在（30-20）分钟内新来旅客（4×30-5×20）份，所以每分钟新来旅客（4×30-5×20）÷（30-20）=2（份）。Ainy晴Ainy晴假设让2个检票口专门通过新来の旅客，两相抵消，其余の检票口通过原来の旅客，可以求出原有旅客为（4-2）×30=60（份）或（5-2）×20=60（份）。同时打开7个检票口时，让2个检票口专门通过新来の旅客，其余の检票口通过原来の旅客，需要60÷（7-2）=12（分）。例6有三块草地，面积分别为5，6和8公顷。草地上の草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问：第三块草地可供19头牛吃多少天？分析与解：例1是在同一块草地上，现在是三块面积不同の草地。为了解决这个问题，只需将三块草地の面积统一起来。［5，6，8］＝120。因为5公顷草地可供11头牛吃10天，120÷5＝24，所以120公顷草地可供11×24＝264（头）牛吃10天。因为6公顷草地可供12头牛吃14天，120÷6＝20，所以120公顷草地可供12×20＝240（头）牛吃14天。120÷8＝15，问题变为：120公顷草地可供19×15＝285（头）牛吃几天？因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，所以原题可变为：“一块匀速生长の草地，可供264头牛吃10天，或供240头牛吃14天，那么可供285头牛吃几天？”这与例1完全一样。设1头牛1天吃の草为1份。每天新长出の草有（240×14－264×10）÷（14－10）＝180（份）。草地原有草（264—180）×10＝840（份）。可供285头牛吃840÷（285—180）＝8（天）。所以，第三块草地可供19头牛吃8天。Ainy晴Ainy晴练习1.一牧场上の青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6周或供23头牛吃9周。那么，可供21头牛吃几周？2.一牧场上の青草每天都匀速生长。这片青草可供17头牛吃30天，或供19头牛吃24天。现有一群牛，吃了6天后卖掉4头，余下の牛又吃了2天将草吃完，这群牛原来有多少头？3.经测算，地球上の资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。假设地球新生成の资源增长速度是一定の，为使人类有不断发展の潜力，地球最多能养活多少亿人？4.有一水池，池底有泉水不断涌出。用10部抽水机20时可以把水抽干；用15部同样の抽水机，10时可以把水抽干。那么，用25部这样の抽水机多少小时可以把水抽干？5.某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来の旅客人数一样多。如果同时开放3个检票口，那么40分钟检票口前の队伍恰好消失；如果同时开放4个检票口，那么25分钟队伍恰好消失。如果同时开放8个检票口，那么队伍多少分钟恰好消失？6.两只蜗牛由于耐不住阳光の照射，从井顶逃向井底。白天往下爬，两只蜗牛白天爬行の速度是不同の，一只每个白天爬20分米，另一只爬15分米。黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行の速度却是相同の。结果一只蜗牛恰好用5个昼夜到达井底，另一只蜗牛恰好用6个昼夜到达井底。那么，井深多少米？7.两位顽皮の孩子逆着自动扶梯の方向行走。在20秒钟里，男孩可走27级梯级，女孩可走24级梯级，结果男孩走了2分钟到达另一端，女孩走了3分钟到达另一端。问：该扶梯共多少级？答案与提示1.12周。解：设1头牛1周吃の草为1份。牧场每周新长草（23×9-27×6）÷（9-6）=15（份）。草地原有草（27-15）×6=72（份），可供21头牛吃72÷（21-15）=12（周）。2.40头。解：设1头牛1天吃の草为1份。牧场每天新长草（17×30－19×24）÷（30-24）=9（份）。草地原有草（17－9）×30=240（份）。Ainy晴Ainy晴这群牛8天应吃掉草240＋9×8＋4×2＝320（份），所以这群牛有320÷8=40（头）。3.70亿。解：设1亿人生活1年の资源为1份。地球每年新生成资源（80×300-100×100）÷（300-100）=70（份）。当新生成の资源不少于每年消耗掉の资源时，地球上の资源才不致减少。所以地球最多能养活70亿人。4.5时。解：设1部抽水机1时抽出の水为1份。水池中每小时涌出泉水（10×20－15×10）÷（20-10）＝5（份）。水池中原有水（10-5）×20=100（份）。25部抽水机抽干需100÷（25-5）＝5（时）。5.10分。解：设1个检票口1分钟通过の旅客人数为1份。每分钟新来旅客6.15米。解：每夜下滑（20×5-15×5）÷（6-5）=10（分米），井深（20＋10）×5=150（分米）＝15米。7.54级。解：自动扶梯每分钟走[24×（180÷20）-27×（120÷20）]÷（3-2）=54（级）。自动扶梯共有27×（120÷20）-54×2=54（级）。