相似三角形的判定习题课

相似三角形判定习题课三角形相似的判定方法有哪几种?预备定理ABCDEDEABC∵在△ABC中，DE∥BC,∴△ADE∽△ABC几何语言定理1：三边对应成比例两个三角形相似。ABDE=ACDF=BCEF△ABC∽△DEFABCDEF定理2：两边对应成比例且夹角相等两个三角形相似。ABDE=ACDFA=D△ABC∽△DEF定理3：两个角对应相等的两个三角形相似。A=DB=E△ABC∽△DEF想一想：如果在直角三角形中，斜边与直角边对应成比例，则这两个直角三角形相似吗？AA’BB’CC’1.判断：①等腰三角形都是相似三角形（）②直角三角形都是相似三角形（）③等腰直角三角形都是相似三角形（）④等边三角形都是相似三角形（）⑤有一个角相等的两个等腰三角形相似（）⑥有一个锐角相等的两个直角三角形相似（）XX√√X√312FADBEC2.如图，已知AB=AC,且AD=AE,若∠1=∠2=∠3;(1)则下列结论一定正确的是。①△ABD∽△DCF；②△ADF∽△AEF；③△DCF∽△EAF；④△ABD∽△AEF。①③④3.如图,三角形ABC，P是AB上一点，连接CP，要使ΔACP∽ΔABC，需添加的条件是什么？(只要写出一种合适的条件)ABCP分析：在ΔACP与ΔABC中，有一个公共角∠A，根据三角形相似的判定定理，要使ΔACP∽ΔABC，只要另有一组角相等或∠A的夹边对应成比例就可以了。解:需添加的条件:∠B=∠ACP，或∠ACB=∠APCAPACACAB或4.如图，正方形ABCD的边长为8，E是AB的中点，点M、N分别在BC，CD上，且CM=2，则当CN=_________时，△CMN与△ADE相似。EABCDMN1或4ABCDEt2t12-2t例题1：如图，在锐角三角形ABC中AB=6cm，AC=12cm，动点D从点A出发到点B止，动点E从C出发到点A止，点D运动的速度为每秒1cm，点E运动的速度为每秒2cm，如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与三角形ABC相似时，运动的时间是多少秒？t=3或4.8秒练习．如图所示，在平面直角坐标系xOy内已知点A和点B的坐标分别为(0，6)，(8，0)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t秒．(1)求直线AB的解析式；(2)当t为何值时，△APQ与△ABO相似?6x43y13501130t或例题2：△ABC中，∠BAC是直角，过斜边中点M而垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E，交AB于D，连AM.求证：①△MAD∽△MEA②AM2=MD·MEABCDEM分析：已知中与线段有关的条件仅有AM=BC/2=BM=MC,所以首先考虑用两个角对应相等去判定两个三角形相似。AM是△MAD与△MEA的公共边，故是对应边MD、ME的比例中项。证明：①∵∠BAC=90°M为斜边BC中点∴∠B=∠MAD又∵∠B+∠BDM=90°∠E+∠ADE=90°∠BDM=∠ADE∴∠B=∠E∴∠MAD=∠E又∵∠DMA=∠AME∴△MAD∽△MEA②∵△MAD∽△MEA∴AMMD=MEAMBCBMAM21∴即AM2=MD·MEDEABC练习1：如图，，(1)求证：∠BAD=∠CAE；(2)若已知AB=6，BD=3，AC=4，求CE的长。AEACDEBCADAB(1)∵∴ΔABC∽ΔADE∴∠BAC=∠DAE∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC即∠BAD=∠CAEAEADACAB∴∵∠BAD=∠CAE∴ΔABD∽ΔACECEBDACAB∴2643ABACBDCE∴证明：ABBCACADDEAE(2)∵ABACADAE练习2：已知如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF⊥AD于点F，AF＝FD。求证：DE2＝BE·CE证明：连结AEDCEBAF∵EF⊥AD，AF=FD∴AE＝DE∴∠ADE＝∠DAE∵∠BAD＝∠CAD∴∠B＝∠CAE又∵∠BEA＝∠CEA∴△ACE∽△BAE∴即AE2＝BE·CE∴DE2＝BE·CEAECEBEAE练习3：如图，AB∥CD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E，求证：ED2=EO·EC.ABCDEFO分析：欲证ED2=EO·EC，即证：，只需证DE、EO、EC所在的三角形相似。EDEO=ECED证明：∵AB∥CD∴∠C=∠A∵AO=OB，DF=FB∴∠A=∠B，∠B=∠FDB∴∠C=∠FDB又∵∠DEO=∠DEC∴△EDC∽△EOD∴，即ED2=EO·ECEDEO=ECED练习4.过ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边BC、边DC的延长线于E、F、G.求证：EA2=EF·EG.ABCDEFG分析：要证明EA2=EF·EG，即证明成立，而EA、EG、EF三条线段在同一直线上，无法构成两个三角形，此时应采用换线段、换比例的方法。可证明：△AED∽△FEB，△AEB∽△GED.EAEG=EFEA证明：∵AD∥BFAB∥BC∴△AED∽△FEB△AEB∽△GED∴∴EA2=EF·EGEAEG=ABDGEFEA=BEED=ABDGEAEG=EFEA例题3：如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G，H点，如图(2)（1）问：始终与△AGC相似的三角形有及；（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由）图(1)图(2)BHFGCEC（E）BFA（D）A（D）△HAB△HGAx81y