2019年北京中考《圆》模拟题汇编

第1页（共43页）圆综合1、已知锐角三角函数或者求某角的锐角三角函数值时，常见的处理方法：2.如果上述不能解题，可以考虑倒角来处理，常见的倒角模型有：2、常见的勾股定理使用情况3.常见的相似模型（1）圆幂定理第2页（共43页）（2）其他【基础题】1．（2018•房山区一模）如图，在⊙O中，AC为⊙O直径，B为圆上一点，若∠OBC＝26°，则∠AOB的度数为（）A．26°B．52°C．54°D．56°【解答】解：∵OB＝OC，∴∠C＝∠OBC，∵∠OBC＝26°，∴∠AOB＝2∠C＝52°，故选：B．2．（2018•东城区一模）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，其半径为3，图中阴影部分的面积是（）第3页（共43页）A．πB．C．2πD．3π【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠BOC＝2∠A＝120°，∴图中阴影部分的面积＝＝3π．故选：D．3．（2018•大兴区一模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝6，则CD的长为（）A．3B．C．6D．【解答】解：∵∠A＝22.5°，∴∠COE＝45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，OC＝6，∴∠CEO＝90°，∵∠COE＝45°，∴CE＝OE＝，∴CD＝2CE＝6，故选：D．4．（2018•六合区二模）如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，则∠BAD＝15度．【解答】解：∵四边形OABC是平行四边形，OC＝OA，第4页（共43页）∴OA＝AB，∵OD⊥AB，OD过O，∴AE＝BE，＝，即OA＝2AE，∴∠AOD＝30°，∴和的度数是30°∴∠BAD＝15°，故答案为：15．5．（2018•平谷区一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝10，CD＝8，则BE＝2．【解答】解：连接OC，如图，∵弦CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝4，在Rt△OCE中，∵OC＝5，CE＝4，∴OE＝＝3，∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2．故答案为2．6．（2018•松北区二模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BOC＝50°，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，那么∠ACD＝40°．第5页（共43页）【解答】解：连接OD，∵AD∥OC，∴∠DAB＝∠BOC＝50°，∵OA＝OD∴∠AOD＝180°﹣2∠DAB＝80°，∴∠ACD＝∠AOD＝40°故答案为40°7．（2018•延庆县一模）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，∠AOC＝42°，那么∠CDB的度数为．【解答】解：∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，∴＝，∵∠AOC＝42°，∴的度数是42°，∴的度数是42°，∴∠CDB＝，故答案为：21°．第6页（共43页）8．（2018•西城区二模）如图，AB为⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，弦BD∥OC．若∠C＝36°，则∠DOC＝54°【解答】解：∵AC与⊙O相切于点A，∴AC⊥AB，∴∠OAC＝90°，∴∠AOC＝90°﹣∠C＝90°﹣36°＝54°，∵BD∥OC，∴∠OBD＝∠AOC＝54°，∠D＝∠DOC，∵OB＝OD，∴∠D＝∠OBD＝54°，∴∠DOC＝54°．故答案为54．9．（2018•朝阳区二模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在圆O上，BD＝CD，AB＝10，AC＝6，连接OD交BC于点E，DE＝2．【解答】解：∵BD＝CD，∴＝，∴OD⊥BC，∴BE＝CE，而OA＝OB，∴OE为△ABC的中位线，第7页（共43页）∴OE＝AC＝×6＝3，∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．故答案为2．10．（2018•东城区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8．⊙O是△ABC的外接圆，其半径为5．若点A在优弧BC上，则tan∠ABC的值为2．【解答】解：连接OB、OC，AO，AO的延长线交BC于D，如图，∵AB＝AC，OB＝OC，∴AO为BC的垂直平分线，∴BD＝CD＝BC＝4，在Rt△OBD中，OD＝＝3，∴AD＝OA+OD＝5+3＝8，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝＝＝2，即tan∠ABC＝2．故答案为2．【综合题】11．（2018•朝阳区一模）如图，在⊙O中，C，D分别为半径OB，弦AB的中点，连接CD并延长，第8页（共43页）交过点A的切线于点E．（1）求证：AE⊥CE．（2）若AE＝，sin∠ADE＝，求⊙O半径的长．【解答】（1）证明：连接OA，如图，∵OA是⊙O的切线，∴AE⊥AB，∴∠OAE＝90°，∵C，D分别为半径OB，弦AB的中点，∴CD为△AOB的中位线．∴CD∥OA．∴∠E＝90°．∴AE⊥CE；（2）解：连接OD，如图，∵AD＝CD，∴OD⊥AB，∴∠ODA＝90°，在Rt△AED中，sin∠ADE＝＝，∴AD＝3，∵CD∥OA，∴∠OAD＝∠ADE．在Rt△OAD中，sin∠OAD＝，设OD＝x，则OA＝3x，∴AD＝＝2x，即2x＝3，解得x＝3，第9页（共43页）∴OA＝3x＝，即⊙O的半径长为．12．（2018•平谷区一模）如图，以AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线AC，连结BC，交⊙O于点D，点E是BC边的中点，连结AE．（1）求证：∠AEB＝2∠C；（2）若AB＝6，cosB＝，求DE的长．【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的切线，∴∠BAC＝90°．∵点E是BC边的中点，∴AE＝EC．∴∠C＝∠EAC，∵∠AEB＝∠C+∠EAC，∴∠AEB＝2∠C．（2）连结AD．∵AB为直径作⊙O，∴∠ABD＝90°．∵AB＝6，，∴BD＝．在Rt△ABC中，AB＝6，，∴BC＝10．第10页（共43页）∵点E是BC边的中点，∴BE＝5．∴．13．（2018•西城区一模）如图，⊙O的半径为r，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝15°，∠ACB＝30°，D为CB延长线上一点，AD与⊙O相切，切点为A．（1）求点B到半径OC的距离（用含r的式子表示）．（2）作DH⊥OC于点H，求∠ADH的度数及的值．【解答】解：（1）如图，作BE⊥OC于点E．∵在⊙O的内接△ABC中，∠BAC＝15°，∴∠BOC＝2∠BAC＝30°．在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，∠BOE＝30°，OB＝r，∴，∴点B到半径OC的距离为．（2）连接OA．由BE⊥OC，DH⊥OC，可得BE∥DH．∵AD于⊙O相切，切点为A，∴AD⊥OA，∴∠OAD＝90°．∵DH⊥OC于点H，∴∠OHD＝90°．第11页（共43页）∵在△OBC中，OB＝OC，∠BOC＝30°，∴．∵∠ACB＝30°，∴∠OCA＝∠OCB﹣∠ACB＝45°．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∴∠AOC＝180°﹣2∠OCA＝90°，∴四边形AOHD为矩形，∠ADH＝90°，∴DH＝AO＝r．∵，∴．∵BE∥DH，∴△CBE∽△CDH，∴．14．（2018•周村区二模）如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，点E是的中点，过点A作⊙O的切线交BD的延长线于点F．连接AE并延长交BF于点C．（1）求证：AB＝BC；（2）如果AB＝5，tan∠FAC＝，求FC的长．第12页（共43页）【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC，而点E为AD弧的中点，∴∠ABE＝∠CBE，∴BA＝BC；（2）解：∵AF为切线，∴AF⊥AB，∵∠FAC+∠CAB＝90°，∠CAB+∠ABE＝90°，∴∠FAC＝∠ABE，∴tan∠ABE＝∠FAC＝，在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝，设AE＝x，则BE＝2x，∴AB＝x，即x＝5，解得x＝，∴AC＝2AE＝2，BE＝2作CH⊥AF于H，如图，∵∠HAC＝∠ABE，∴Rt△ACH∽Rt△BAC，∴＝＝，即＝＝，∴HC＝2，AH＝4，∵HC∥AB，∴＝，即＝，解得FH＝第13页（共43页）在Rt△FHC中，FC＝＝．15．（2018•威海模拟）如图，AB、BF分别是⊙O的直径和弦，弦CD与AB、BF分别相交于点E、G，过点F的切线HF与DC的延长线相交于点H，且HF＝HG．（1）求证：AB⊥CD；（2）若sin∠HGF＝，BF＝3，求⊙O的半径长．【解答】（1）证明：如图，连接OF，∵HF是⊙O的切线，∴∠OFH＝90°．即∠1+∠2＝90°．∵HF＝HG，∴∠1＝∠HGF．∵∠HGF＝∠3，∴∠3＝∠1．∵OF＝OB，∴∠B＝∠2．∴∠B+∠3＝90°．∴∠BEG＝90°．∴AB⊥CD．（2）解：如图，连接AF，∵AB、BF分别是⊙O的直径和弦，第14页（共43页）∴∠AFB＝90°．即∠2+∠4＝90°．∴∠HGF＝∠1＝∠4＝∠A．在Rt△AFB中，AB＝＝＝4．∴⊙O的半径长为2．16．（2018•西城区二模）如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，弦CD⊥AB于点E，且DC＝AD．过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线交AB的延长线于点G．（1）求证：FG与⊙O相切；（2）连接EF，求tan∠EFC的值．【解答】解：（1）连接OC，AC．∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴CE＝DE，AD＝AC．∵DC＝AD，∴DC＝AD＝AC．∴△ACD为等边三角形．∴∠D＝∠DCA＝∠DAC＝60°．∴∠1＝∠DCA＝30°∵FG∥DA，∴∠DCF+∠D＝180°．第15页（共43页）∴∠DCF＝180°﹣∠D＝120°．∴∠OCF＝∠DCF﹣∠1＝90°∴FG⊥OC．∴FG与⊙O相切（2）作EH⊥FG于点H．设CE＝a，则DE＝a，AD＝2a．∵AF与⊙O相切，∴AF⊥AG．又∵DC⊥AG，可得AF∥DC．又∵FG∥DA，∴四边形AFCD为平行四边形．∵DC＝AD，AD＝2a，∴四边形AFCD为菱形．∴AF＝FC＝AD＝2a，∠AFC＝∠D＝60°．由（1）得∠DCG＝60°，，．∴．∵在Rt△EFH中，∠EHF＝90，∴17．（2018•顺义区一模）如图，等腰△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，过点A作BC的平行线AD交BO的延长线于点D．（1）求证：AD是⊙O的切线；第16页（共43页）（2）若⊙O的半径为15，sin∠D＝，求AB的长．【解答】解：（1）连接OA并延长，交BC于点E，∵AB＝AC，∴，∴AE⊥BC，∵AD∥BC，∴AD⊥OA，则AD是⊙O的切线；（2）Rt△AOD中，OA＝15，sin∠D＝，∴，∴OD＝25，∵AD∥BC，∴△AOD∽△EOB，∴，∴，∴EO＝9，根据勾股定理得：BE＝＝＝12，Rt△ABE中，AE＝9+15＝24，BE＝12，∴AB＝＝＝12．18．（2018•海淀区二模）如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．（1）连接AD，则∠OAD＝60°；第17页（共43页）（2）求证：DE与⊙O相切；（3）点F在上，∠CDF＝45°，DF交AB于点N．若DE＝3，求FN的长．【解答】解：（1）如图1，连接OD，AD∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB∴AB垂直平分CD∵M是OA的中点，∴OM＝OA＝OD∴cos∠DOM＝＝∴∠DOM＝60°又：OA＝OD∴△OAD是等边三角形∴∠OAD＝60°故答案为：60°（2）∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径，∴CM＝MD．∵M是OA的中点，第18页（共43页）∴AM＝MO．又∵∠AMC＝∠DMO，∴△AMC≌△OMD．∴∠ACM＝∠ODM．∴CA∥OD．∵DE⊥CA，∴∠E＝90°．∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°．∴DE⊥OD．∴DE与⊙O相切．（3）如图2，连接CF，CN，∵OA⊥CD于M，∴M是CD中点．∴NC＝ND．∵∠CDF＝45°，∴∠NCD＝∠NDC＝45°．∴∠CND＝90°．∴∠CNF＝90°．由（1）可知∠AOD＝60°．∴．在Rt△CDE中，∠E＝90°，∠ECD＝30°，DE＝3，∴．第19页（共43页）在Rt△CND中，∠CND＝90°，∠CDN＝45°，CD＝6，∴．由（1）知∠CAD＝2∠OAD＝120°，∴∠CFD