证明点到直线距离的几种方法.doc

中小学教育资源交流中心证明点到直线距离的几种方法陈世玺作者简介：陈世玺，男。汉族，1974年5月生，大学本科文化，中教二级。现任教于巍山二中。曾有文章《一直线与两定点决定的函数图形》发表于当代云南教育大系（第四卷）。1998年参加全国中学生数理化教学素质教育论文大赛获二等奖。通迅地址：云南省大理州巍山二中邮政编码：672401在高中解析几何中的点到直线的距离公式的求解中，课本上提出了两种证明方法，给出了其中一种的证明过程。其实，该公式的证明方法有很多种，如果能在教学中适当的加以引导，对于培养学生数学的发散思维将起到积极的作用。下面从不同角度来看该公式的证明。已知：点P（x0,y0）和直线l：Ax+By+C=0，，求点P到直线l的距离。下面从不同角度来看其证明方法。一、两点间距离公式法证明：根据点到直线的定义，点P（x0,y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离d是点P到直线l的垂线段的长（如图一）。设点P到直线l的垂线为lˊ,垂足为Q，由lˊ⊥l可知直线lˊ方程的斜率为0AAB，根据直线的点斜式方程可求出直线lˊ的方程为y一y0=AB(x一x0)，并由直线l的方程与直线lˊ的方程列立的方程组可求出两直线l与lˊ的交点Q：Ax+By+C=0①图一y一y0=AB(x一x0)②解此方程组得Q的坐标为（,22002BAACAByxB22020BABCyAABx）；据两点间的距离公式可得：d2=(x0一22002BAACAByxB)2+(y0一22020BABCyAABx)2整理得：d2=2220020200202222BACBCyACxyByABxxA中小学教育资源交流中心=22200BACByAx∴d=2200BACByAx即：平面内一点P（x0,y0）到一条直线Ax+By+C=0的距离公式为.d=2200BACByAx说明：该方法是一常规方法，思路较简单，较容易想到，解法容易理解；但是其计算较繁，计算过程极易出错。此法在教材上有简单提及，但是未给出解答过程。二、三角函数定义法证明：设A≠0，B≠0，直线l的倾斜角为α过点P作PM∥Oy那么过PM与l相交于点M（x1，y1）（如图二）∵PM∥Oy∴x1=x0代入直线l的方程可得y1=BCAx0∴BCAxyyyPM0010=BCByAx00当α＜90°时（如图一），α1=α；图二当α＞90°时（如图二），α1=π－α；所以，在两种情况下都有tg22212BAtg∵α1＜90°，Cosα1=1211tg=2211BA中小学教育资源交流中心=22BAB1CosPMPQ=BCByAx0022BAB=2200BAcByAx即：平面内一点P（x0,y0）到一条直线Ax+By+C=0的距离公式为.d=2200BACByAx如果A=0或B=0，上面的公式仍成立，但这时不需要利用公式就可以求出距离。说明：该方法也是一常规方法，思路比上一种方法更复杂一些，但解题过程中涉及的知识较多，一般不容易想到。此法是教材上提供的解法，计算比上一种方法有所简化，但涉及内容较多，对初学者有一定难度。三、最小值法证明：在直线l：Ax+By+c=0上任取一点Q，设点Q的坐标为（x1，y1），则有y1=一BCAx1，根据两点间的距离公式有：210210yyxxPQ∴2102102yyxxPQ=(x0一1x)2+(y0+BCAx1)2图三=221001202101202222BCxBAxBACyBCyxBAyxxxx=)2(2)(202020100221222BCBCyyxxxBAyBACxBBA∴当2PQ取得最小值时，2PQ即所求点P到直线l的距离的平方（即d2）故有：中小学教育资源交流中心]2[)2(4BBAxBAyBACBCBCyyxBBAd=22200202020222BABxAyBACBCBCyyxBA=22200BAcByAx所以平面内一点P（x0,y0）到一条直线Ax+By+C=0的距离d的公式为.d=2200BACByAx说明：该方法不是一常规方法，虽在理解法上比较新颖，但计算过程稍繁。下面再来看其它的解法。四、对称法证明：根据点到直线的定义，点P（x0,y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离d是点P到直线l的垂线段的长,设P关于直线l的对称点是P’，且点P’的坐标为（x1，y1），则直线l与直线PP’的交点坐标Q为2,21010yyxx。根据两直线的垂直关系可得P（x0,y0）和P’（x1，y1）满足关系：0101xxyyAB①把Q点的坐标代入直线l的方程得：A210xx+B210yy+C=0②把①、②联立方程组可解出1x的值得：220022122BAACAByxABx③图四由于所求距离2d=PP，故有：d=2012012121yyxxPP④中小学教育资源交流中心由①可得：0101xxAByy⑤把③式和⑤式代入④式得：d=2022002222201222212112121xBAACAByxABABxxABPP=2022222200222222121xBABABAACAByxABAB=22200222222221BAACAByxAABA∴d=2200BACByAx即：平面内一点P（x0,y0）到一条直线Ax+By+C=0的距离公式为.d=2200BACByAx说明：该方法巧妙运用对称的性质，计算上有较大改进，但下一种方法则更为简明扼要，计算也有较大的简化，下面来看其证明。五、巧用斜率法证明：根据点到直线的定义，点P（x0,y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离d是点P到直线l的垂线段的长（如图五）。设点P到直线l的垂足为Q（x1，y1），则由PQ⊥l可得到PQ直线方程的斜率为0AAB，由此可求出直线PQ的方程为：y一y0=AB(x一x0)，把P，Q点的坐标分别代入其所在方程可得方程组：Ax1+By1+C=0①y1一y0=AB(x1一x0)②解之可得：220021BAACAByxBx③图五由两点间的距离公式得：d=201201yyxxPQ④中小学教育资源交流中心把②代入④可得到：d=201221xxABPP⑤再把③代入⑤可得：d=2022002221xBAACAByxBAB20222222002221xBABABAACAByxBAB222002222BAACAByxAABA∴2200BACByAxd即：平面内一点P（x0,y0）到一条直线Ax+By+C=0的距离公式为.d=2200BACByAx说明：该方法巧妙运用直线的斜率，大大简化了计算，也比较容易理解。当然，对该公式的证明方法还有好多，诸如勾股定理法、利用直线系方程法等。这里仅就一些较常用的方法作出证明。以供感兴趣的同行在教学时参考。欢迎访问