数学模型之SIR数学模型

动态模型•描述对象特征随时间(空间)的演变过程•分析对象特征的变化规律•预报对象特征的未来性态•研究控制对象特征的手段•根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分方程建模•根据建模目的和问题分析作出简化假设•按照内在规律或用类比法建立微分方程数学模型传染病模型问题•描述传染病的传播过程•分析受感染人数的变化规律•预报传染病高潮到来的时刻•预防传染病蔓延的手段•按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型数学模型已感染人数(病人)i(t)•每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为模型1【模型假设】ttititti)()()(若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)【模型构成】0)0(iiidtdiitteiti0)(?数学模型sidtdi1)()(tits模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为)(),(tsti2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病ttNitstittiN)()]([)]()([0)0()1(iiiidtdi~日接触率SI模型数学模型【模型假设】【模型构成】teiti1111)(00)0()1(iiiidtdi模型21/2tmii010t11ln01itmtm~传染病高潮到来时刻(日接触率)tm1itLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大数学模型模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS模型3）病人每天治愈的比例为~日治愈率ttNittitNstittiN)()()()]()([/~日接触率1/~感染期~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。0)0()1(iiiiidtdi数学模型【模型构成】1,01,11)(i)]11([iidtdi模型3i0i0接触数=1~阈值/1)(ti形曲线增长按Sti)(感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数小01i1-1/i0iiidtdi)1(模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt0110ti11-1/i0t1di/dt0数学模型模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者SIR模型1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为)(),(),(trtsti2）病人的日接触率,日治愈率,接触数=/1)()()(trtits需建立的两个方程)(),(),(trtsti数学模型【模型假设】【模型构成】ttNittitNstittiN)()()()]()([模型4SIR模型很小）通常000)0((1rrsi无法求出的解析解)(),(tsti在相平面上研究解的性质is~ttitNststtsN)()()]()([00)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi数学模型0011iisdsdiss000ln1)()(sssissi00)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi/消去dtSIR模型}1,0,0),{(isisisD相轨线的定义域)(si相轨线11si0D在D内作相轨线的图形，进行分析)(si数学模型si101D模型4SIR模型相轨线及其分析)(si00)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi0011iisdsdiss000ln1)()(sssissi0ln1000sssiss满足miis,/1传染病蔓延传染病不蔓延s(t)单调减相轨线的方向0,itP1s0/1imsP1:s01/i(t)先升后降至0P2:s01/i(t)单调降至01/~阈值P3P4P2S0数学模型ssss00lnln模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段(日接触率)卫生水平(日治愈率)医疗水平传染病不蔓延的条件——s01/的估计0ln1000sssis0i忽略•降低s0提高r01000ris•提高阈值1/降低(=/),群体免疫数学模型模型4SIR模型被传染人数的估计0ln1000sssis记被传染人数比例ssx00)211(200sxsx0)1ln(10sxx)1(200ssxxs0i0s/1P10ssi00,s01小,s012x提高阈值1/降低被传染人数比例xs0-1/=数学模型