必修五第三章不等式小结

第三章不等式小结知识结构一元二次不等式及其解法二元一次不等式(组)与平面区域基本不等式简单线性规划问题最大(小)值问题不等式关系与不等式的性质.0;0;0babababababa从上面的性质可知，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，这也是我们研究不等关系的一个出发点.基本事实作差比较法一、不等式的基本性质不等式的性质性质1如果ab,那么ba;如果ba,那么ab性质2如果ab,bc,那么ac.性质3如果ab,那么a+cb+c性质4如果ab,c0,那么acbc;如果ab,c0,那么acbc.性质5如果ab,cd,那么a+cb+d;性质6如果ab0,cd0,那么acbd;性质7如果ab0,那么anbn(nN,n2);性质8如果ab0,那么(nN,n2);nnba性质9如果ab0,那么ba11如果ba0,那么ba11如果b0a,那么ab11二、一元二次不等式及其解法一元一次不等式的解法ax+b0当a=0,b0时，不等式的解集为R当a=0,b0时，不等式的解集为φ当a0时，不等式的解集为{x|x}ab当a0时，不等式的解集为{x|x}ab(其中a，b为常数，x为未知数）一元二次不等式解法小结),(),(21xx}2|{abxx),(21xxφφR解一元二次不等式的步骤：•1、一元二次不等式化为标准的不等式；•2、求标准的不等式的判别式；•3、解标准的不等式对应的二次方程的根；•4、想象三个二次关系草图写出标准不等式的解集。例1.解下列一元二次不等式1）x2-3x+203）-2x2+3x+202）x2-x-104）x(1-x)x(2x-3)+1三、简单线性规划问题在平面直角坐标系中，x-y=6表示一条直线，平面内的所有的点被直线x-y=6分成三部分：1)在直线x-y=6上的点；2)在直线x-y=6左上方的区域内的点；3)在直线x-y=6右下方的区域内的点.Oxy66x-y=61、二元一次不等式表示的区域二元一次不等式ax+by+c0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域，为表示区域不包括边界，我们把直线画成虚线；平面区域的一般结论：二元一次不等式ax+by+c≥0在平面直角坐标系中表示的平面区域包括边界，把边界画成实线.ax+by+c0Oxyax+by+c≥0判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法对于直线ax+by+c=0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入ax+by+c，所得的符号都相同，故只需在直线ax+by+c=0的某一侧取一特殊点(x0，y0)以ax0+by0+c的正负的情况便可判断ax+by+c0表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当c≠0时常把原点作为此特殊点.方法一、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法对于直线ax+by+c=0，当a0时，ax+by+c0表示这一直线右侧的平面区域，ax+by+c0表示这一直线左侧的平面区域，当b0时，ax+by+c0表示这一直线上方的平面区域，ax+by+c0表示这一直线下方的平面区域，当a0时，(当b0时)结果反之.（不用死记硬背）方法二、二元一次不等式组表示的平面区域例2画出不等式组表示的平面区域.3005xyxyxOxy35x-y+5=0x+y=0x=3二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的公共部分.2、线性规划问题某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？分析:设甲乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组：0,012416482yxyxyx将上述不等式组表示成平面上的区域，图中阴影部分的坐标为整数的点的集合就代表所有可能的日生产安排，即当点P(x,y)在上述平面区域中时，所有安排的生产任务x、y才有意义.48403yx=4x+2y=8y=3如（0，0）（0，1）（0，2）（0，3）（1，0）（1，1）（1，2）（1，3）（2，0）（2，1）（2，2）（2，3）（3，0）（3，1）（3，2）（4，0）（4，1）（4，2）x若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？分析：设工厂获得的利润为z，则z=2x+3y上述问题转化为当x,y满足条件0,012416482yxyxyx并且为非负整数时，z的最大值是多少？如（0，0）（0，1）（0，2）（0，3）（1，0）（1，1）（1，2）（1，3）（2，0）（2，1）（2，2）（2，3）（3，0）（3，1）（3，2）（4，0）（4，1）（4，2）把约束条件的整数点坐标全部列举出来代入z=2x+3y可比较算得当x=4,y=2时利润z最大，最大值为z=24+32=14（万元）4840x=4x+2y=8y=3x当z变化时，可以得到一组互相平行的直线.考虑z=2x+3y可变形为332zxy32可以看成x、y的直线方程，斜率为，在y轴上的截距为3y3z截距可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.同时坐标x，y应在约束条件所表示的平面区域内.3z3z向上平移直线可以容易得到最大截距及相应的x，y值.当x=4，y=2时，得到最大值，z也达到最大值为14万元.（目标函数的平移必须要体现）3z例子中，利润函数z=2x+3y是关于x，y的目标函数，其中x，y满足的平面区域的条件常称为约束条件，由于都是由二元一次不等式组构成的,所以又称为线性约束条件；如：0,012416482yxyxyx在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．线性规划的相关概念可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解；如（1，2）、（4，2）等.可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域；如图中阴影部分中的整数点坐标的集合最优解：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.如点（4，2）或x=4,y=2使得z=2x+3y取得最大值，（4，2）是最优解.线性规划48403yx=4x+2y=8y=3x说明：1）约束条件的平面区域就是可行域，可以是封闭多边形，也可以是不封闭的.2）最优解可以只有一个，也可以多个，是有限多的，也可以无限多的.即最优解可以是不唯一.但最大值或最小值只有一个.3）在平移目标函数变形得到直线时，最优解往往在区域的边界（或附近）).,(2,,22”成立“时当且仅当则若baabbaRba四、基本不等式基本不等式1.,2,0,0”成立时“当且仅当则若babaabba基本不等式2如果把看作是正数a、b的等差中项，把看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：2baab两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.基本不等式2abab为a、b的算术平均数，为几何平均数，那么2baab两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.基本不等式的推广：若则叫做n个正数的算术平均数，叫做n个正数的几何平均数.,,,,Raaan21naaan21nnaaa21naaan21nnaaa21n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.的最小值时，求当1141xxx利用基本不等式求函数的最值例1、解：∵x1，∴x-10411)1(4211)1(4114xxxxxx11)1(4xx当且仅当，即23x211x时4114xx114xx的最小值是4。的最大值时，求当)32(320xxx利用基本不等式求函数的最值例2、解：∵0x，∴x0，2-3x0)32(331)32(xxxx当且仅当，即31x3231]2)32(3[312xxxx323时31)32(xx.31)32(320的最大值是时，xxx求最值的三个条件：相等定正；)3(;)2()1(利用基本不等式求函数的最值之要领在有些问题中,有时也会遇到相等不成立的情况例如：已知0x1，求函数xxysin2sin在有些问题中,有时也会遇到相等不成立的情况例如：已知0x，求函数xxysin2sin2对此,我们可利用函数的性质解决xbaxy函数的性质xbaxy1、函数是奇函数；xbaxy2、当a0，b0时函数在(0，+∞)上是增函数；xbaxy3、当a0，b0时函数在(0，+∞)上是减函数；xbaxy4、当a0，b0时函数在(0，上是减函数；在，+∞)上是增函数；xbaxy]abab[作业：103页•A组1、2、3、4；B组1、2、3.•A组5、6.、；B组4、5.