数列题型分类

一、知识点梳理（一）数列的概念与简单表示法一、数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{an}的第n项an叫做数列的通项通项公式数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表达，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和二、数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an＋1an其中n∈N*递减数列an＋1an常数列an＋1＝an判断数列递增(减)的方法(1)作差比较法：①若an＋1－an＞0，则数列{an}为递增数列．②若an＋1－an＝0，则数列{an}为常数列．③若an＋1－an＜0，则数列{an}为递减数列．(2)作商比较法：不妨设an＞0.①若an＋1an＞1，则数列{an}为递增数列．②若an＋1an＝1，则数列{an}为常数列．③若an＋1an＜1，则数列{an}为递减数列．三、数列的表示方法数列有三种表示方法，它们分别是列表法、图象法和解析法．四、an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.已知Sn求an的注意点利用an＝Sn－Sn－1求通项时，注意n≥2这一前提条件，易忽略验证n＝1致误，当n＝1时，a1若适合通项，则n＝1的情况应并入n≥2时的通项；否则an应利用分段函数的形式表示．（二）等差数列一、等差数列1．定义：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．2．通项公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d.3．前n项和公式：Sn＝na1＋nn－1d2＝na1＋an2.4．a、b的等差中项A＝a＋b2.证明{an}为等差数列的方法：(1)用定义证明：an－an－1＝d(d为常数，n≥2)⇔{an}为等差数列；(2)用等差中项证明：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}为等差数列；(3)通项法：an为n的一次函数⇔{an}为等差数列；(4)前n项和法：Sn＝An2＋Bn或Sn＝na1＋an2.二、等差数列的性质已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．(1)若m、n、p、q、k是正整数，且m＋n＝p＋q＝2k，则am＋an＝ap＋aq＝2ak.(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，也是等差数列．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔am－anm－n＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)②S2n－1＝(2n－1)an.③n为偶数时，S偶－S奇＝n2d；n为奇数时，S奇－S偶＝a中．（三）等比数列一、等比数列证明{an}是等比数列的两种常用方法(1)定义法：若anan－1＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．二、等比数列的性质1．对任意的正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q＝2k，则am·an＝ap·aq＝a2k.2．通项公式的推广：an＝amqn－m(m，n∈N*)3．公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn；当公比为－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不一定构成等比数列．4．若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn(λ≠0)仍是等比数列．二、典型例题（一）数列的概念与简单表示法考向一[084]由递推关系求通项公式根据下列条件，求数列的通项公式an.(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n；(2)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an＋1规律方法2递推式的类型递推式方法示例an＋1＝an＋f(n)叠加法a1＝1，an＋1＝an＋2nan＋1an＝f(n)叠乘法a1＝1，an＋1an＝2nan＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)化为等比数列a1＝1，an＋1＝2an＋1an＋1＝pan＋q·pn＋1(p≠0,1，q≠0)化为等差数列a1＝1，an＋1＝3an＋3n＋1考向二[085]由an与Sn的关系求通项an已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.(b为常数)规律方法3已知Sn求an时的三个注意点,1重视分类讨论思想的应用，分n＝1和n≥2两种情况讨论；特别注意an＝Sn－Sn－1中需n≥2.2由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1也适合“an式”，则需统一“合写”.3由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1不适合“an式”，则数列的通项公式应分段表示“分写”，即an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.练习2、若Sn满足的条件变为如下形式，则又如何求an?(1)Sn＝n2＋n＋1；(2)log2(2＋Sn)＝n＋1.（二）等差数列考向一[086]等差数列的判定与证明在数列{an}中，a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)设bn＝an＋32n(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列．规律方法1用定义证明等差数列时，常采用的两个式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则n＝1时，a0无定义.练习1、(1)已知数列{an}中，a1＝1，1an＋1＝1an＋13，则a10＝________.(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝12.①求证：1Sn是等差数列；②求数列{an}的通项公式．考向二[087]等差数列的基本运算(1)(2013·课标全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝()A．3B．4C．5D．6(2)在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和．规律方法21.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知三求二，体现了方程思想的应用.2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法.练习2、已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．考向三[088]等差数列的性质及应用(1)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝()A．58B．88C．143D．176(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n＞6)，求数列{an}的项数及a9＋a10.规律方法31.在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k，则am＋an＝ap＋aq＝2ak是常用的性质，本例1、2都用到了这个性质.2.掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口.练习3、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.考向四[089]等差数列前n项和的最值在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．规律方法4求等差数列前n项和的最值常用的方法1先求an，再利用an≥0an＋1≤0或an≤0an＋1≥0求出其正负转折项，最后利用单调性确定最值.2①利用性质求出其正负转折项，便可求得前n项和的最值.②利用等差数列的前n项和Sn＝An2＋BnA，B为常数为二次函数，根据二次函数的性质求最值.练习4、已知{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.(1)求{an}的通项an；(2)求{an}前n项和Sn的最大值．（三）等比数列考向一[090]等比数列的基本运算(1)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝______；前n项和Sn＝________.(2)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．①求{an}的公比q；②若a1－a3＝3，求Sn.规律方法11.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用.2.在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，此外在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算.练习1、已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝2，且a2，a4，a8成等比数列．①求数列{an}的通项公式；②求数列{3an}的前n项和．考向二[091]等比数列的判定与证明成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列Sn＋54是等比数列．规律方法21.本题求解常见的错误：1计算失误，不注意对方程的根公差d的符号进行判断；2不能灵活运用数列的性质简化运算.2.要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比即可.练习2、数列{an}的前n项和为Sn，若an＋Sn＝n，cn＝an－1，求证：数列{cn}是等比数列，并求{an}的通项公式．考向三[092]等比数列的性质及应用设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3＝1∶2，则S9∶S3等于()A．1∶2B．2∶3C．3∶4D．1∶3规律方法3在解决等比数列的有关问题时，要充分挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.练习3、(2012·课标全国卷)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝()A．7B．5C．－5D．－7