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第1页(共17页)2020年天津市高考数学模拟试卷(4)一.选择题(共9小题,满分27分,每小题3分)1.(3分)已知集合A={x|x2﹣2x﹣3<0},集合B={x|x﹣1≥0},则∁R(A∩B)=()A.(﹣∞,1)∪[3,+∞)B.(﹣∞,1]∪[3,+∞)C.(﹣∞,1)∪(3,+∞)D.(1,3)2.(3分)设a∈R,b∈R.则“a>b”是“|a|>|b|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.(3分)某校数学兴趣小组对高二年级学生的期中考试数学成绩(满分100分)进行数据分析,将全部的分数按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成5组,得到如图所示的频率分布直方图.若成绩在80分及以上的学生人数为360,估计该校高二年级学生人数约为()A.1200B.1440C.7200D.120004.(3分)函数𝑓(𝑥)=(𝑥−1𝑥+1)𝑒𝑥的部分图象大致是()A.B.C.D.5.(3分)若直线x﹣y+1=0与圆(x﹣a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是()A.[﹣3,﹣1]B.[﹣1,3]第2页(共17页)C.[﹣3,1]D.(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞)6.(3分)已知函数f(x)=12(𝑒−𝑥−𝑒𝑥),设𝑎=𝑓(0.312),𝑏=−𝑓(𝑙𝑜𝑔120.31),𝑐=𝑓(2𝑙𝑛2),则a,b,c的大小关系是()A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c7.(3分)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(ω>0,﹣π<φ<0)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式为()A.𝑓(𝑥)=2𝑐𝑜𝑠(𝑥−5𝜋12)B.𝑓(𝑥)=2𝑐𝑜𝑠(2𝑥−𝜋3)C.𝑓(𝑥)=2𝑐𝑜𝑠(2𝑥−5𝜋6)D.𝑓(𝑥)=2𝑐𝑜𝑠(3𝑥−5𝜋6)8.(3分)已知点A是抛物线y2=4x与双曲线𝑥23−𝑦2𝑏2=1(b>0)的一个交点,若抛物线的焦点为F,且|AF|=4,则点A到双曲线两条渐近线的距离之和为()A.2√6B.4C.2√3D.29.(3分)对任意实数k∈(0,116),曲线y=1+√𝑥与曲线y=kx+lnx的交点共有()A.0个B.1个C.2个D.3个二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)10.(3分)设a∈R,a2﹣a﹣2+(a+1)i为纯虚数(i为虚数单位),则a=.11.(3分)(1+ax2)(x﹣3)5的展开式中x7系数为2,则a的值为.12.(3分)在四面体ABCD中,△ABC和△ABD都是边长为2√2的等边三角形,该四面体的外接球表面积为12π,则该四面体ABCD的体积为.13.(3分)甲、乙两名枪手进行射击比赛,每人各射击三次,甲三次射击命中率均为45;乙第一次射击的命中率为78,若第一次未射中,则乙进行第二次射击,射击的命中率为34,如果又未中,则乙进行第三次射击,射击的命中率为12.乙若射中,则不再继续射击.则甲三次射击命中次数5的期望为,乙射中的概率为.第3页(共17页)14.(3分)已知存在正数a,b使不等式√4𝑎𝑏+2𝑏22𝑎+3𝑏>𝑙𝑜𝑔2(1−𝑥)成立,则x的取值范围.15.(3分)若△ABC中,AB=√2,BC=8,∠B=45°,D为△ABC所在平面内一点且满足(𝐴𝐵→⋅𝐴𝐷→)⋅(𝐴𝐶→⋅𝐴𝐷→)=4,则AD长度的最小值为.三.解答题(共5小题,满分75分)16.(14分)已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且𝑠𝑖𝑛𝐶−𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵−𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑏𝑎+𝑐,(1)求角C的大小;(2)若c=3,求a+b的取值范围.17.(15分)已知ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体.(1)求异面直线BC1与B1D1所成的角.(2)求直线BC1与平面ABCD所成的角.(3)求二面角C1﹣BD﹣A的正切值.18.(15分)已知数列{an}的前n项和Sn=𝑛2+𝑛2.数列{bn}满足:b1=b2=2,bn+1bn=2n+1(n∈N*)(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;(Ⅱ)求∑𝑛𝑖=1𝑎𝑖(𝑏2𝑖−1−1𝑏2𝑖)(𝑛∈𝑁∗).19.(15分)如图,在平面直角坐标系xOy中,圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏3=1(a>b>0)过点(2√2,13),离心率为2√23.(1)求椭圆C的方程;(2)设D为x轴上一点,过点D作x轴的垂线与椭圆C交于不同的两点M,N,再过点D作AM的垂线交BN于点E,求△BDE与△BDN的面积之比.第4页(共17页)20.(16分)已知函数G(x)=ln(1+mx)﹣mx,g(x)=ax2,其中0<m≤1.(Ⅰ)当m=1时,设f(x)=G(x)﹣g(x),存在区间[𝑡1,𝑡2]⊆(0,13],使得∀x1,x2∈[t1,t2],都有𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2>0,求实数a的取值范围;(Ⅱ)若函数g(x)=ax2的图象在(1,g(1))处的切线与直线x+y﹣1=0平行,试讨论函数f(x)=G(x)﹣g(x)的零点个数.第5页(共17页)2020年天津市高考数学模拟试卷(4)参考答案与试题解析一.选择题(共9小题,满分27分,每小题3分)1.(3分)已知集合A={x|x2﹣2x﹣3<0},集合B={x|x﹣1≥0},则∁R(A∩B)=()A.(﹣∞,1)∪[3,+∞)B.(﹣∞,1]∪[3,+∞)C.(﹣∞,1)∪(3,+∞)D.(1,3)【解答】解:∵A=(﹣1,3),B=[1,+∞),∴A∩B=[1,3),∴∁R(A∩B)=(﹣∞,1)∪[3,+∞),故选:A.2.(3分)设a∈R,b∈R.则“a>b”是“|a|>|b|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解答】解:若a>b,取a=1,b=﹣2,则|a|<|b|,则“a>b”是“|a|>|b|”不充分条件;若|a|>|b|,取a=﹣2,b=1,则a<b,则“|a|>|b|”是‘a>b”不必要条件;则a∈R,b∈R.“a>b”是“|a|>|b|”的既不充分也不必要条件,故选:D.3.(3分)某校数学兴趣小组对高二年级学生的期中考试数学成绩(满分100分)进行数据分析,将全部的分数按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成5组,得到如图所示的频率分布直方图.若成绩在80分及以上的学生人数为360,估计该校高二年级学生人数约为()A.1200B.1440C.7200D.12000第6页(共17页)【解答】解:由频率分布直方图得成绩在80分以上的频率为:1﹣(0.01+0.02+0.04)×10=0.3,∴根据统计学的知识估计成绩在80分以上的人数约为:0.3×n=360⇒n=1200.故选:A.4.(3分)函数𝑓(𝑥)=(𝑥−1𝑥+1)𝑒𝑥的部分图象大致是()A.B.C.D.【解答】解:当x→﹣∞时,𝑒𝑥→0+,𝑥−1𝑥+1=1−2𝑥+1→1+,所以f(x)→0+,排除C,D;因为x→+∞时,𝑒𝑥→+∞,𝑥−1𝑥+1=1−2𝑥+1→1+,所以f(x)→+∞,因此排除B,故选:A.5.(3分)若直线x﹣y+1=0与圆(x﹣a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是()A.[﹣3,﹣1]B.[﹣1,3]C.[﹣3,1]D.(﹣∞,﹣1]∪[1,+∞)【解答】解:根据题意,圆(x﹣a)2+y2=2的圆心为(a,0),半径r=√2,圆心到直线x﹣y+1=0的距离d=|𝑎+1|√2,若直线x﹣y+1=0与圆(x﹣a)2+y2=2有公共点,则必有d≤√2,即|𝑎+1|√2≤√2,变形可得:|a+1|≤2,解可得:﹣3≤x≤1,即a的取值范围为[﹣3,1];故选:C.6.(3分)已知函数f(x)=12(𝑒−𝑥−𝑒𝑥),设𝑎=𝑓(0.312),𝑏=−𝑓(𝑙𝑜𝑔120.31),𝑐=𝑓(2𝑙𝑛2),则a,b,c的大小关系是()A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c第7页(共17页)【解答】解:函数f(x)=12(𝑒−𝑥−𝑒𝑥),f(﹣x)=12(𝑒𝑥−𝑒−𝑥)=−f(x),∴f(x)为奇函数.∵y=ex在R上为增函数,∴f(x)在R上为减函数.a=f(0.312),𝑏=−𝑓(𝑙𝑜𝑔120.31)=𝑓(𝑙𝑜𝑔20.31),c=f(2ln2)=f(ln4).∵𝑙𝑜𝑔20.31<0<0.312<1<𝑙𝑛4,∴b>a>c.故选:D.7.(3分)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(ω>0,﹣π<φ<0)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式为()A.𝑓(𝑥)=2𝑐𝑜𝑠(𝑥−5𝜋12)B.𝑓(𝑥)=2𝑐𝑜𝑠(2𝑥−𝜋3)C.𝑓(𝑥)=2𝑐𝑜𝑠(2𝑥−5𝜋6)D.𝑓(𝑥)=2𝑐𝑜𝑠(3𝑥−5𝜋6)【解答】解:易知A=2.34𝑇=5𝜋12−(−𝜋3)=3𝜋4,T=π,∴𝜔=2𝜋𝜋=2.∴𝑐𝑜𝑠(2×512𝜋+𝜑)=1,∴56𝜋+𝜑=2𝑘𝜋,𝑘∈𝑍,又﹣π<φ<0,k=0时,φ=−5𝜋6符合题意.故f(x)=2cos(2x−5𝜋6).故选:C.8.(3分)已知点A是抛物线y2=4x与双曲线𝑥23−𝑦2𝑏2=1(b>0)的一个交点,若抛物线的焦点为F,且|AF|=4,则点A到双曲线两条渐近线的距离之和为()A.2√6B.4C.2√3D.2【解答】解:抛物线y2=4x的焦点为F,且FA=4,可得F(1,0),则A(3,±2√3),第8页(共17页)点A是抛物线y2=4x与双曲线𝑥23−𝑦2𝑏2=1(b>0)一个交点,a=√3,可得93−12𝑏2=1,解得b=√6,则渐近线方程为y=±√2x,不妨令A(3,2√3),则点A到这两条渐近线的距离之和d=|3√2−2√3|√3+|3√2+2√3|√3=2√6,故选:A.9.(3分)对任意实数k∈(0,116),曲线y=1+√𝑥与曲线y=kx+lnx的交点共有()A.0个B.1个C.2个D.3个【解答】解:y=1+√𝑥与曲线y=kx+lnx的交点即为:1+√𝑥=𝑘𝑥+𝑙𝑛𝑥根,即为𝑙𝑛𝑥=−𝑘𝑥+√𝑥+1的根,令m=√𝑥,则x=m2,问题即转化为研究f(m)=2lnm与g(m)=﹣km2+m+1,(m>0)的交点个数问题.g(m)的对称轴为𝑚=12𝑘>8,开口向下,在(0,12𝑘)递增,在(12𝑘,+∞)上递减,且图象向右向下无限延伸.∴𝑔(𝑚)𝑚𝑎𝑥=𝑔(12𝑘)=1+14𝑘,𝑓(12𝑘)=2𝑙𝑛12𝑘,令t=12𝑘>8,所以𝑔(12𝑘)−𝑓(12𝑘)=1+12𝑡−2𝑙𝑛𝑡,(𝑡>8)令h(t)=1+12𝑡−2𝑙𝑛𝑡,t>8.∵ℎ′(𝑡)=12−2𝑡=𝑡−42𝑡>0,∴h(t)在(8,+∞)是增函数,∴h(t)>h(8)=5﹣2ln8>0.∴𝑔(12𝑘)>𝑓(12𝑘),因此同一坐标系做出函数f(m),g(m)图象如下:所以两函数图象只有一个交点,即曲线y=1+√𝑥与曲线y=kx+lnx的交点共有1个.故选:B.第9页(共17页)二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)10.(3分)设a∈R,a2﹣a﹣2+(a+1)i为纯虚数(i为虚数单位),则a=2.【解答】解:∵a2﹣a﹣2+(a+1)i为纯虚数,∴{𝑎2−𝑎−2=0𝑎+1≠0,解得a=2.故答案为:2.11.(3分)(1+ax2)(x﹣3)5的展开式中x7系数为2,则a的值为2.【解答】解:∵(1+ax2)(x﹣3)5=(1+ax2)(x5﹣15x4+90x3﹣
本文标题:2020年天津市高考数学模拟试卷(4)
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