集合各考点讲义

-1-集合各考点讲义一、集合与元素1.集合是由元素组成的集合通常用大写字母A、B、C，…表示，元素常用小写字母a、b、c，…表示。2.集合中元素的属性（1）确定性：一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，绝无模棱两可的情况。（2）互异性：集合中的元素是互不相同的个体，相同的元素只能出现一次。（3）无序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。3.元素与集合的关系（1）元素a是集合A中的元素，记做a∈A，读作“a属于集合A”；（2）元素a不是集合A中的元素，记做a∉A，读作“a不属于集合A”。4.集合相等如果构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关。二、集合的分类1.有限集：集合中元素的个数是可数的，只含有一个元素的集合叫单元素集合；2.无限集：集合中元素的个数是不可数的；3.空集：不含有任何元素的集合，记做∅.三、集合的表示方法1.常用数集（1）自然数集：又称为非负整数集，记做N；（2）正整数集：自然数集内排除0的集合，记做N+或N※；（3）整数集：全体整数的集合，记做Z（4）有理数集：全体有理数的集合，记做Q（5）实数集：全体实数的集合，记做R3.集合的表示方法（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。如大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合。（2）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法，一般适用于元素个数不多的有限集，简单、明了，能够一目了然地知道集合中的元素是什么。注意事项：①元素间用逗号隔开；②元素不能重复；③元素之间不用考虑先后顺序；④元素较多且有规律的集合的表示：｛0,1,2,3，…，100｝表示不大于100的自然数构成的集合。（3）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式是｛x∈I|p(x)｝.-2-注意事项：①写清楚该集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”、“或”；⑤所有描述的内容都要写在集合符号内；⑥语句力求简明、准确。（4）图示法：主要包括Venn图（韦恩图）、数轴上的区间等。韦恩图法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合的方法，常用于直观表示集合间的关系。4.列举法和描述法之间的相互转换（1）列举法转换为描述法：找出集合中元素的共同特征，用描述法来表示。（2）描述法转换为列举法：一般为方程的解集、特殊不等式的解集等。考点：题型1：集合的概念例1．设集合P={m|－1＜m≤0}，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列关系中成立的是（）A．PQB．QPC．P=QD．P∩Q=Q对应练习：1.下列每组对象可构成一个集合的是（）（A）中国漂亮的工艺品（B）与1非常接近的数（C）高一数学第一张的所有难题（D）不等式2x+3＞1的解2.下列说法正确的是（）（A）｛1,2｝，｛2,1｝是两个不同的集合（B）0与｛0｝表示同一个集合（C）{xQ|是有限集（D）{x|xQ且是空集3.已知集合S中含有三个元素且为△ABC的三边长，那么△ABC一定不是（）（A）锐角三角形（B）直角三角形（C）钝角三角形（D）等腰三角形4.下列各组集合中，表示同一集合的是（）（A）M{(3,2)},N{(2,3)}（B）M{2,3},N{3,2}（C）M{(x,y)|x},N{y|}（D）M{(3,2)},N{(2,4)}5.用列举法表示集合为（）（A）{(1,2)}（B）{(2,1)}（C）{1,2}（D）{}题型2：集合的性质例2．（2000广东，1）已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的个数是（）A．15B．16C．3D．4例3．已知全集32{1,3,2}Sxxx，A={1,21x}如果}0{ACS，则这样的实数x是否存在？若存在，求出x，若不存在，说明理由。-3-变式题：已知集合2{,,2},{,,}AmmdmdBmmqmq，0m其中,AB且,求q的值。题型3：集合的运算例4．（06全国Ⅱ理，2）已知集合M＝｛x|x＜3}，N＝｛x|log2x＞1｝，则M∩N＝（）A．B．｛x|0＜x＜3}C．｛x|1＜x＜3}D．｛x|2＜x＜3}例5．（06安徽理，1）设集合22,AxxxR，2|,12Byyxx，则RCAB等于（）A．RB．,0xxRxC．0D．题型4：图解法解集合问题例6．（2003上海春，5）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且AB，则实数a的取值范围是_____。例7．（1996全国理，1）已知全集I＝N*，集合A＝｛x｜x＝2n，n∈N*｝，B＝｛x｜x＝4n，n∈N｝，则（）A．I＝A∪BB．I＝（ICA）∪BC．I＝A∪（ICB）D．I＝（ICA）∪（ICB）对应练习：1.集合M{1,2,3}的真子集的个数是（）（A）6（B）7（C）8（D）92.已知{1,2}M{1,2,3,4}，则符合条件的集合M的个数是（）（A）3（B）4（C）6（D）8题型5：集合的应用例8．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？图-4-题型6：集合综合题例9．（1999上海，17）设集合A={x||x－a|2}，B={x|212xx1}，若AB，求实数a的取值范围。思维总结集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如、、、、=、SCA、∪，∩等等；2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。①区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；②AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ。③若集合A中有n)(Nn个元素，则集合A的所有不同的子集个数为n2，所有真子集的个数是n2－1,所有非空真子集的个数是22n。④区分集合中元素的形式：如}12|{2xxyxA；}12|{2xxyyB；}12|),{(2xxyyxC；}12|{2xxxxD；},,12|),{(2ZyZxxxyyxE；}12|)',{(2xxyyxF；},12|{2xyzxxyzG。⑤空集是指不含任何元素的集合。}0{、和}{的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。条件为BA，在讨论的时候不要遗忘了A的情况。⑥符号“,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系；符号“,Ø”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力。-5-提高题：一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求)1．下列选项中元素的全体可以组成集合的是（）A.学校篮球水平较高的学生B.校园中长的高大的树木C.2007年所有的欧盟国家D.中国经济发达的城市2．方程组20{yxyx的解构成的集合是（）A．)}1,1{(B．}1,1{C．（1，1）D．}1{3．已知集合A={a，b，c},下列可以作为集合A的子集的是（）A.aB.{a，c}C.{a，e}D.{a，b，c，d}4．下列图形中，表示NM的是（）5．下列表述正确的是（）A.}0{B.}0{C.}0{D.}0{6、设集合A＝{x|x参加自由泳的运动员}，B＝{x|x参加蛙泳的运动员}，对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为()A.A∩BB.ABC.A∪BD.AB7.集合A={1，2，x}，集合B={2，4，5}，若BA={1，2，3，4，5}，则x=（）A.1B.3C.4D.58.满足条件{1,2,3}M{1,2,3,4,5,6}的集合M的个数是（）A.8B.7C.6D.59.全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={3，4，5}，B={1，3，6}，那么集合{2，7，8}是（）A.ABB.BAC.BCACUUD.BCACUU10.设集合{|32}MmmZ，{|13}NnnMNZ则，≤≤()A．01，B．101，，C．012，，D．1012，，，11.如果集合A={x|ax2＋2x＋1=0}中只有一个元素，则a的值是（）A．0B．0或1C．1D．不能确定二、填空题(共4小题，每题4分，把答案填在题中横线上)1．用描述法表示被3除余1的集合．-6-2．用适当的符号填空：（1）}01{2xx；（2）{1，2，3}N；（3）{1}}{2xxx；（4）0}2{2xxx．3.已知集合}33|{xxU，}11|{xxM，}20|{xxNCU那么集合N，)(NCMU，NM.三、解答题(共4小题，共44分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）1.已知集合}04{2xxA，集合}02{axxB，若AB，求实数a的取值集合．2.已知集合}71{xxA，集合}521{axaxB，若满足}73{xxBA，求实数a的值．3.已知方程02baxx．（1）若方程的解集只有一个元素，求实数a，b满足的关系式；（2）若方程的解集有两个元素分别为1，3，求实数a，b的值4.已知集合}31{xxA，},{2AxyxyB，},2{AxaxyyC，若满足BC，求实数a的取值范围．-7-课后练习：1．设A={x|x≤4}，a=17，则下列结论中正确的是（）（A）{a}A（B）aA（C）{a}∈A（D）aA2．若{1，2}A{1，2，3，4，5}，则集合A的个数是（）（A）8（B）7（C）4（D）33．下面表示同一集合的是（）（A）M={（1，2）}，N={（2，1）}（B）M={1，2}，N={（1，2）}（C）M=，N={}（D）M={x|2210}xx,N={1}4．若MU，NU，且MN，则（）（A）M∩N=N（B）M∪N=M（C）CUNCUM（D）CUMCUN5．50名学生参加跳远和铅球两项测试,跳远和铅球测试成绩分别及格40人和31人,两项测试均不及格的有4人,则两项测试成绩都及格的人数是()（A）35（B）25（C）28（D）156．设x,yR,A=(,)xyyx,B=(,)1yxyx,则A、B间的关系为（）（A）AB（B）BA（C）A=B（D）A∩B=7．设全集为R，若M=1xx，N=05xx，则（CUM）∪（CUN）是（）（A）0xx（B）15xxx或（C）15xxx或（D）05xxx或8．集合U，M，N，P如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（）（A）M∩（N∪P）（B）