三角恒等变换知识点及题型归纳总结

三角恒等变换知识点及题型归纳总结知识点精讲常用三角恒等变形公式和角公式sin()sincossincoscos()coscossinsintantantan()1tantan差角公式sin()sincossincoscos()coscossinsintantantan()1tantan倍角公式sin22sincos2222cos2cossin2cos112sin22tantan21tan降次（幂）公式2211cos21cos2sincossin2;sin;cos;222半角公式1cos1cossin;cos;2222sin1costan.21cossina辅助角公式22sincossin(),tan(0),babababa角的终边过点(,)ab，特殊地，若22sincosabab或22ab，则tan.ba常用的几个公式sincos2sin();4sin32cos2sin();33sincos2sin();6题型归纳总结题型1两角和与差公式的证明题型归纳及思路提示思路提示推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路.例4.33证明(1):cos()coscossinsin;C(2)用C证明:sin()sincossinScos(3)用(1)(2)证明tantan:tan().1tantanT解析(1)证法一：如图4－32（a）所示，设角,的终边交单位圆于12(cos.sin),(cos(),sin()),PP,由余弦定理得2221212122()PPOPOPOPOPcos22[coscos()][sinsin()]22cos()22(coscossinsin)22cos():cos()coscossinsin.C证法二：利用两点间的距离公式.如图4－32（b）所示12(1,0),(cos,sin),(cos(),sin(),APP3(cos(),sin()),P由231;OAPOPP得，213.APPP故2222(1cos())(0sin())[cos()cos][sin()sin],即222222[1cos()]sin()coscos2coscossinsin2sinsin化简得cos()coscossinsin(2)sin()[()][()]22coscoscos()sinsin()22cossinsincoscos:sin()sincossinScossin(sincoscossin(3)tan()cos()coscossinsinsincoscossincoscoscoscoscoscossinsincoscoscoscostantan:tan().1tantanT变式１证明：(1):cos()coscossinsin;C(2):sin()sincossinScostantan(3):tan().1tantanT题型2化简求值思路提示三角函数的求值问题常见的题型有：给式求值、给值求值、给值求角等.(1)给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式.(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式.(3)给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角.一、化同角同函例4.34已知3cos()45x则2sin22sin()1tanxxx7.25A12.25B11.25C18.25D解析解法一：化简所求式22sin22sin2sincos2sinsin1tan1cosxxxxxxxxcos2sin(cossin)2sincos.cossinxxxxxxxx由3cos()45x得223cossin,225xx即32cossin,5xx两边平方得2218cossin2sincos,25xxxx即1812sincos.25xx所以72sincos.25xx故选Ａ.解法二：化简所求式2sin22sin2sincossin21tanxxxxxx27sin[2()]cos2()12cos().424425xxx故选Ａ.评注解法一运用了由未知到已知，单方向的转化化归思想求解；解法二运用了化未知为已知，目标意识强烈的构造法求解，从复杂度来讲，一般情况下采用构造法较为简单.变式1若13cos(),cos(),55则tantan_______.变式2若4cos5，是第三象限角，则1tan2()1tan21.2A1.2B.2C.2D变式3（2012江西理４）若1tan4tan，则sin2().1.5A1.4B1.3C1.2D二、建立已知角与未知角的联系（通过凑配角建立）将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角的相互关系，并根据这种关系来选择公式.常见的角的变换有：和、差角，辅助角，倍角，降幂，诱导等.1.和、差角变换如可变为()；2可变为()()；2可变为()例4.35若330,cos,sin(),255则cos的值为（）..1A.1B或72524.25C24.25D分析建立未知角与已知角的联系，().解析解法一：coscos[()]cos()cossin()sin.因为3(,)22所以，则4cos(),(0,),sin0,524sin5,433424cos()().555525解法二：因为(,)2，所示cos(1,0).故选Ｃ.评注利用和、差角公式来建立已知角与未知角的联系，常利用以下技巧：();();()()等.解题时，要注意根据已知角的范围来确定未知角的范围，从而确定所求三角式的符号.变式1已知510sin,sin(),,(0,)5102则()..3B.4C.6D变式2若3335(,),(0,),cos(),sin()44445413，则sin()______.二、辅助角公式变换例4.36已知43cos()sin65，则7sin()6的值为（）.25.5A25.5B4.5C4.5D分析将已知式化简，找到与未知式的联系.解析由题意，43coscossinsinsin6653343cossin3sin()2265，得4sin().65所以74sin()sin[()]sin().6665故选Ｃ.变式1设6sin14cos14,sin16cos16,,2bc则a,b,c的大小关系为（）.A.abcB.bcaC.acbD.bac变式2设sin15cos15,sin17cos17,b则下列各式中正确的是（）.22.2abAab22.2abBab22.2abCba22.2abDba3.倍角，降幂（次）变换例4.37（2012大纲全国理7）已知为第二象限角，3sincos3则cos2().5.12A5.3A5.9B5.9C5.3D分析利用同角三角函数的基本关系式及二倍角公式求解.解析解法一：；因为3sincos3所以21(sincos)3得22sincos3，即2sin23.又因为为第二象限角且3sincos03，则3(2,2)().24kkkZ所以32(4,4)().2kkkZ故2为第三象限角，225cos21()33.故选Ａ.解法二：由为第二象限角，得cos0,sin0，cossin0,且2(cossin)12sincos，又3sincos3，则21(sincos)12sincos322sincos3，得25(cossin)3，所以15cossin3，22cos2cossin(cossin)(cossin)3155().333故选Ａ.变式1若1sin()63则2cos()().37.9A1.3B1.3C7.9D变式2设为锐角，若4cos()65，则7sin(2)12的值省为.变式3已知312sin(2),sin513且(,),(,0),22求sin值.变式4若31sin,(,),tan()522，则tan(2)().24.7A7.24B24.7C7.24D变式5已知1sincos2，且(0.)2，则cos2_____.sin()44.诱导变换例4.38若(sin)3cos2fxx，则(cos)().fx.3cos2Ax.3sin2Bx.3cos2Cx.3sin2Dx分析化同函(cos)(sin())fxf以便利用已知条件.解析解法一：(cos)[sin()]3cos2()3cos(2)3cos2.22fxfxxxx故选Ｃ.解法二：22(sin)3cos23(12sin)2sin2fxxxx则2()22,[1,1]fxxx故22(cos)2cos22cos13cos23.fxxxx故选Ｃ.变式1是第二象限角，4tan(2)3，则tan_______.变式2若5sin(),(0,)4132，则cos2_____.cos()4最有效训练题1.已知函数()sin3cos,fxxx设(),(),()763afbfcf，则,,abc的大小关系为（）.A.abcB.cabC.bacD.bca2.若1sin()34，则cos(2)().31.4B7.8C7.8D3.若1tan2，则cos(2)().24.5A4.5B1.2C1.2D4.已知11tan(),