冰山运输数学模型

冰山运输数学模型摘要当今社会，水资源短缺已成为世界性问题，水资源紧张地区正不断扩大，除淡化海水的方法外，专家提出从相距9600千米以外的南极托运冰山到波斯湾，将其化成冰水从而取代淡化海水作为国民用水。本文所要解决的是选择合适的拖船与船速使得冰山到达目的地后得到每立方米水所花的费用最低的问题，由此建立了一个关于费用y的数学模型。首先，根据表3中的拖船速率v和拖船与南极的距离可知冰山融化速率，从而确定剩余的冰山体积。然后，根据表2中的船速v和运输过程中剩余冰山的体积N可知每千米燃料消耗量0q，从而可以求出所需燃料总消耗量Q，再分别选取小、中、大三种船型确定拖船的租金总费用M,则运输总费用YQM，运输每立方米水所花费用即为0.06260.85YyN。根据运输每立方米水所花的费用最低，将该问题归结为优化问题，运用积分方法，通过Matlab计算，得到最优解确定船型和船速,再与海水淡化的费用相比较，确定其可行性。关键字：冰山体积融化速率燃料消耗量最优化1.问题重述在以石油著称的波斯湾地区，浩瀚的沙漠覆盖着大地，水资源十分缺乏，不得不采用淡化海水的办法为国民提供用水。成本大约是每立方米0.1英镑。有些专家提出从相距9600km外的南极用拖船运送冰山到波斯湾，以取代淡化海水的办法。在运送冰山的过程中，拖船的租金、运量、燃料消耗以及冰山运送过程中融化速率等方面的数据如下：（1）三种拖船的日租金和最大运量如表1.所示。表1.船型小中大日租金/(英镑)4.06.28.0最大运量/3m5510610710（2）燃料消耗（英镑/km），主要依赖于船速和所运冰山的体积，船型的影响可以忽略，如表2.所示。表2.Bin冰山体积/3m船速/km/h5106107101358.410.813.210.513.516.512.616.219.8（3）冰山运输过程中的融化速率（m/d）,指在冰山与海水接触处每天融化的深度。融化速率除与船速有关，还与运输过程中冰山到达与南极的距离有关，这是由于冰山要从南极运往赤道附近的缘故。如表3.所示。表3.与南极的距离/km船速/km/h010004000100.10.3300.150.45500.20.6本文所要解决的问题是：选择拖船的船型与船速，使冰山到达目的地后，可以得到的每立方米水所花的费用最低，并与海水淡化的费用相比较。拖船在拖运冰山的过程中，有以下假设：（1）拖船航行过程中船速不变，航行不考虑天气等任何因素的影响，总航行距离9600km；（2）冰山形状为球形，球面各点的融化速率相同；（3）冰山到达目的地后，13m的冰可以融化成0.853m的水。2.问题分析为更好地计算冰山运输的费用，我们对问题进行了分析。根据题目已给的资料和数据，我们发现：冰山的运输主要和拖船的租金、运量、燃料消耗及冰山运输过程中融化速率有关，因此，我们可以把问题分成以下五步来分析解决：1、冰山的融化规律。冰山融化是冰山体积的变化，而冰山体积的变化N实质上是冰山半径的变化。由表3中数据可发现，冰山运输过程中的融化速率S与船速v和拖船距离南极d呈线性关系，因此，根据数据拟合公式可以得出三者的函数关系式，然后联系拖船航行的天数t，就得到冰山的融化规律。2、燃料消耗费用Q。由表二数据可发现，燃料消耗q与船速v和冰山体积N呈线性关系，但考虑到N的值比较大，我们可以取体积N的对数lgN，再根据数据拟合公式可以得出三者的函数关系式，然后联系拖船航行的天数t，就得到燃料消耗费用。3、冰山运输的总费用。冰山运输的总费用由拖船的租金和燃料消耗两部分组成，燃料消耗费用上面已经分析解决，拖船的租金则由表1的数据可确定，进而得到冰山运输的总费用。4、冰山到达目的地可获得的水体积。最终获得的水体积是冰山到达目的地所需天数T与冰山融化规律得到。5、每立方米水的费用。上面得到的冰山运输费用的函数与得到的冰山到达目的地后可获得水的体积的函数相除，即可得到每立方米水的费用。3.模型假设与符号说明3.1模型假设：假设一：拖船航行过程中船速不变，航行不考虑天气等任何因素的影响，总航行距离9600km；假设二：冰山形状为球形，球面各点的融化速率相同；假设三：冰山到达目的地后，13m的冰可以融化成0.853m的水。假设四：冰山运输距离南极4000m之后忽略温度对冰山融化的影响。3.2符号说明：符号符号说明im拖船的日租金（小、中、大）1,2,3iv拖船的速度T拖船到达波斯湾所用的总时间t距离南极为d时所需的时间S冰山融化速率d拖船与南极的距离D南极到波斯湾的总距离0q每千米燃料消耗费用q每天燃料消耗费用Q燃料消耗的总费用M拖船到达波斯湾所用租金0R冰山原来的半径tR冰山融化后的半径4.模型建立本文的目的是选择出拖船的最适船型与船速，使冰山到达目的地后，可以得到的每立方米水所花的费用最低，通过问题分析可以分别从冰山的融化规律、燃料消耗费用、冰山运输的总费用、冰山到达目的地可获得的水体积和每立方米水的费用建立数学模型。4.1冰山的融化规律假设运输过程中距离南极的距离为dkm，拖船的船速为kmhv，融化速率为S，由表三可以得到如图1。图1通过图1，很明显看出：当距离04000dkm时，融化速率S不仅与船速v成线性关系，而且也与距离d呈线性关系，也就是说，船速越快，距离越远，0N冰山开始的体积N变化后冰山体积y每立方水所需费用Y拖船到达波斯湾时所需的总费用冰山接触的温度越高，导致它融化越快；当4000dkm时，距离对融化速率的影响忽略，没有影响，所以这时融化速率S只与船速v呈线性关系。那么通过数据拟合公式可设融化速率S的函数关系式为：122040004000kdkvbdSkvbd（1）然后将表2相关数据代入可得到：121,0.075,0.2253000kkb当拖船从南极出发行走t天时，与南极距离为24dvt（2）由（1）、（2）及12,,kkb的值得：15000.0750.225012535000.0750.2253400vtvtvSvvtv（3）接下来求变化后冰山体积设第t天冰山半径为tR，体积为N，则00ttRRSdt（4）330044,33tNRNR（5）其中00,RV为从南极启运时冰山的开始半径和体积。由（4）、（5）得冰山体积为：303340()43NtNSdt（6）4.2燃料消耗费用由表2中的数据，通过Matlab拟合可得图形如图2所示：图2由图可知每千米燃料消耗量0q与船速v和冰山体积N的对数呈线性关系，则可设其函数关系式为：0123lgqcvcNc（7）其中123,,ccc为待定参数，根据表2中数据可求得1230.3,6,1ccc所以00.36lg1qvN（8）则每天燃料消耗量为024qvq（9）把（2）式代入（3）式，再根据（6）式得3030347.26lg()134tNqvvSdt（10）所以，总燃料消耗量为冰山体积10x303000347.26lg()134TTtNQqdtvvSdtdt（11）4.3冰山运输总费用冰山运输的总费用是由租金的总费用和燃料消耗总费用相加。由表1知船的日租金取决于船型，船型又由冰山的初始体积0N决定，记日租金为0()mN，则有5065006705104.06.2()105108.01010NmNNN（12）又冰山运输总时间为：96004002424DTvvv（13）所以租金总费用为：00400()()MmNTmNv（14）由（11）、（8）式可得冰山运输总费用为030300400()347.26lg()134TtYMQmNvNvvSdtdt（15）4.4冰山运到目的地后化成水的体积为：3030340.850.85()34tNWNSdt（16）4.5每立方米水所需费用为：303000303034004()7.26lg()134340.85()34TttNmNvvSdtdtvYyWNSdt（17）5.模型求解首先，对（3）式进行积分运算，有500400350000310.0750.2250.0750.225125tvvvSdtvtvdtvdt（18）进而求出不同的船速下冰山到达目的地之后总的融化深度，如表4所示：表4船速v1233.544.550tSdt103.333364.583351.666747.976245.208343.055641.3333其次，由（17）式可以发现，这个模型最终由船速v和冰山体积0N决定。由（12）、（13）、（17）式以及表2、表4，通过Matlab计算可以得到每立方米水所需费用，结果如表5所示：表5v0N1233.544.55510负值负值负值负值负值负值负值610负值负值16.947012.37497.80275.86423.59627100.85870.07280.07140.06660.06420.06300.0626由表5数据可知，当船速603,10vkmhN时，不符合实际，所得结果为负值，所以，应选择大型拖船7010N，速度5vkmh，则每立方米水所需费用为0.0626y英镑。因为淡化海水每立方米约为0.1英镑，所以，冰山运输比淡化海水的成本更低。6.模型评价优点：模型中运用图表分析数据，使各因素间的关系明朗化，运输费用只考虑租费和燃料消耗费，并将冰山体积看成球形，简化了计算，思路清晰简单。缺点：模型中只考虑了拖船的租费和燃料消耗费用，没有考虑到影响航行的天气因素和社会因素（如人工费和税收等），所以冰山运输方法是否可行还得取决于综合考虑因素。7.参考文献[1]姜启源.数学模型（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.[2]王文波.数学建模及其基础知识详解（第一版）[M].武汉大学出版社，2006.[3]刘玉琏.数学分析（上、下）[M].北京：高等教育出版社，1988.8.附录附录一：a=[135];b=[0.10.150.2];%融化速率与船速、与南极距离的关系图x0=1:0.1:5;y0=interp1(a,b,x0,'linear');c=[0145];d=[00.10.30.3];x1=0:0.1:5;y1=interp1(c,d,x1,'linear');gtext('船速')gtext('与南极距离×1000')a=[135];b=[8.410.813.2];%燃料消耗与船速、冰山体积的关系图x0=1:0.1:5;y0=interp1(a,b,x0,'linear');c=[567];d=[8.410.512.6];x1=10^5:1:10^7;y1=interp1(c,d,x1,'linear');plot(a,b,'r',c,d,'--')gtext('船速')gtext('冰山体积10i')symsk2b;[k2,b]=solve('0.3=k2*1+b','0.45=k2*3+b',k2,b)%冰山融化速率的表达式k2=0.0750b=0.2250symsk1;k1=solve('0.1=k1*1000*(0.075*1+0.225)',k1)k1=0.00033333333333333333333333333333333symst,s=int('0.0024*t',t,0,500/3)+int('0.3',500/3,400)%当v为1时冰山的融化速率s=103.33333333333333333333333333333symst,s=int('0.375*2/125*t',t,0,250/3)