数学建模雪堆融化时间

半球体雪堆融化时间系别：土木建筑工程学院专业：土木（1）班姓名：何泽波学号：201140610161一、摘要：一个半球体状的雪堆，在阳光下慢慢融化，过程中雪堆始终保持着半球体状，利用微分知识来解决雪堆融化的时间问题，并展开假设，当雪堆融化时保持锥形等其它形状，再次求解。关键词半径，半圆面积，半圆体积，常数，常微分二、提出问题：一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数K0。假设在融化过程中雪堆始终保持着半球体状，已知半径为0r的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的78，问雪堆全部融化需要多少小时？三、问题分析：在融化过程，根据“一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数K0”的条件，我们可以列得方程()()dVtKStdt，显然这里为常微分方程。即可得到基本思路就是：先找到()Vt与()St的关系，将()St替换()Vt的代数式，再利用已知条件“半径为0r的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的78，则302(0)3Vr，301(3)12Vr”解出()Vt的具体表达式，而雪堆全部融化所用的时间，为满足()0Vn的n值，解出n即为所求。四、建模过程1、模型假设：在融化过程中雪堆始终保持着半球体状；外界因素基本保持不变，即不影响计算结果。2、符号说明：tt小时，t0()St——t时刻半球状球体表面面积()Vt——t时刻半球状球体体积()rt——t时刻半球状球体半径C——常数C3、模型的建立：（1）.一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数K0.即()()dVtKStdt。（2）.雪堆始终保持着半球体状，则有32()()3Vtrt，2()2()Strt。（3）.半径为0r的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的78，则302(0)3Vr，301(3)12Vr。（4）.雪堆全部融化所用的时间，为满足()0Vn的n值。4、模型的求解：因为有2()2()Strt32()()3Vtrt解出关系:1123()3()()22StVtrt233()()22VtSt22333232()2Vt213318()Vt23()NVt(其中令1318N)由()()dVtKStdt得：23()()()dVtKStKNVtdt求解常微分方程：23()()VtdVtKNdt（方程左右两边求积）1313()VtCKNt解出()Vt：3()3KNVtCt······················○1因为又有302(0)3Vr代入○1：3302(0)3VCr解出常数C：13023Cr常数C代入○1得：31302()33KNVtrt······················○2因为又有301(3)12Vr，代入○2解出K值：016Kr代回○2解得()Vt：311330021()18318Vtrrt················○3最后将()0Vn代入○3则：311330021180318rrn11331218183n所以13118627n（小时）答：雪堆全部融化需要6小时.参考文献:《大学数学实验》清华出版社姜启源邢文训谢金星杨顶辉编著总结：雪堆融化过程中，无论是保持半球型或圆锥等其它形状，根据计算，所用的融化时间都一样。所以，在日常生活中，在细心观察问题的同时，还要经过运算才能得到真理。