数学分析9.2牛顿—莱布尼茨公式

第九章定积分2牛顿—莱布尼茨公式定理9.1：若函数f在[a,b]上连续，且存在原函数F，即F’(x)=f(x)，x∈[a,b]，则f在[a,b]上可积，且baf(x)dx=F(a)-F(b)，称为牛顿—莱布尼茨公式，常写成：baf(x)dx=F(x)ba.证：对[a,b]上的任一分割T={a=x0,x1,…,xn=b}，在每个小区间[xi-1,xi]上对F(x)应用拉格朗日中值定理，则分别存在ηi∈(xi-1,xi)，i=1,2,…,n，使得F(b)-F(a)=n1i1-ii)]x(F)x([F=in1iix△)η(F=in1iix△)η(f.∵f在[a,b]上连续，从而一致连续，∴对任给的ε0，存在δ0，使当x’,x”∈[a,b]且|x’-x”|δ时，|f(x’)-f(x”)|abε.于是，当△xi≤║T║δ时，任取ξi∈(xi-1,xi)，便有|ξi-ηi|δ，∴|in1iix△)ξ(f-[F(a)-F(b)]|=|in1iiix△])η(f)ξ([f|≤in1iiix△)η(f)ξ(fabε·n1iix△=ε.由定积分定义，得baf(x)dx=F(a)-F(b).例1：利用牛顿—莱布尼茨公式计算下列定积分：(1)banxdx(n为正整数)；(2)baxedx；(3)ba2xdx(0ab)；(4)0sinxdx；(5)202x-4xdx.解：(1)∵∫xndx=1nx1n+C，∴banxdx=ba1n1nx=1nab1n1n.(2)∵∫exdx=ex+C，∴baxedx=exba=eb-ea.(3)∵∫2xdx=-x1+C，∴ba2xdx=-bax1=-b1-(-a1)=a1-b1.(4)∵∫sinxdx=-cosx+C，∴0sinxdx=-cosxba=-cosπ-(-cos0)=2.(5)∵∫2x-4xdx=-32)x-(431+C，∴202x-4xdx=-2032)x-(431=38.例2：利用定积分求极限：2n12n11n1lim∞n.解：原式=n1ni11limn1i∞n=10x1dx=ln(1+x)10=ln2.注：和式n1ni11n1i是函数f(x)=x11在[0,1]上的一个积分和，这里所取的是等分分割，△xi=n1，ξi=ni∈nin1-i,i=1,2,…,n.习题1、计算下列定积分：(1)103)(2xdx；(2)1022x1x-1dx；(3)2eexlnxdx；(4)10-xx2e-edx；(5)302xtandx；(6)94x1xdx；(7)40x1dx；(8)ee12x)(lnx1dx.解：(1)103)(2xdx=(x2+3x)10=4.(2)1022x1x-1dx=(2arctanx-x)10=2-1.(3)2eexlnxdx=lnlnx2ee=ln2-ln1=ln2.(4)10-xx2e-edx=21(ex+e-x)10=21(e+e-1-2).(5)302xtandx=(tanx-x)|30=3-3.(6)94x1xdx=|943x2x32=(18+6)-(316+4)=344.(7)令t=x，则40x1dx=40t12tdt=2(t-ln|1+t|)|20=4-2ln3.(8)ee12x)(lnx1dx=31(lnx)3|ee1=32.2、利用定积分求极限：(1))n21(n1lim334∞n；(2)222∞nn)n(12)n(11)n(1nlim；(3)2222∞n2n12n11n1nlim；(4)n)1(nsinn2sinnsinn1lim∞n.解：(1)原式=n1nilimn1i3∞n=103xdx=4x410=41.(2)原式=n1ni11limn1i2∞n=102)x1(1dx=-x1110=21.(3)原式=n1ni11limn1i2∞n=102x11dx=arcttan10=4.(4)原式=nn1)-(isinlim1n1i∞n=0xsin1dx=-cosx10=2.3、证明：若f在[a,b]上可积，F在[a,b]上连续，且除有限个点外有F’(x)=f(x)，则有：baf(x)dx=F(a)-F(b).证：设除有限个点：y1,y2,…,ym外有F’(x)=f(x).对[a,b]上的任一分割T’，T={a=x0,x1,…,xn=b}是分割T’添加分点y1,y2,…,ym后所得到的分割.在每个小区间[xi-1,xi]上对F(x)应用拉格朗日中值定理，则分别存在ηi∈(xi-1,xi)，i=1,2,…,n，使得F(b)-F(a)=n1i1-ii)]x(F)x([F=in1iix△)η(F=in1iix△)η(f.∵f在[a,b]上可积，∴f在[a,b]上连续，从而一致连续，∴对任给的ε0，存在δ0，使当x’,x”∈[a,b]且|x’-x”|δ时，|f(x’)-f(x”)|abε.于是，当△xi≤║T║δ时，任取ξi∈(xi-1,xi)，便有|ξi-ηi|δ，∴|in1iix△)ξ(f-[F(a)-F(b)]|=|in1iiix△])η(f)ξ([f|≤in1iiix△)η(f)ξ(fabε·n1iix△=ε.由定积分定义，得baf(x)dx=F(a)-F(b).