2020年山西省高考数学(理科)模拟试卷(1)

第1页（共27页）2020年山西省高考数学（理科）模拟试卷（1）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3}，集合B＝{x||x|≤2}，则A∩B＝（）A．{0，3}B．{0，1，2}C．{1，2}D．{0，1，2，3}2．（5分）若复数z满足z（1﹣i）2＝i（i是虚数单位），则|z|为（）A．B．C．D．3．（5分）如图，在圆心角为直角半径为2的扇形OAB区域中，M，N分别为OA，OB的中点，在M，N两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以OA，OB为直径的圆，在扇形OAB内随机取一点，则能够同时收到两个基站信号的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）“三个实数a，b，c成等差数列”是“2b＝a+c“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）函数的图象大致为（）A．B．第2页（共27页）C．D．6．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n＝（）A．5B．4C．3D．27．（5分）（2﹣）8展开式中x3的系数为（）A．﹣122B．28C．56D．1128．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）第3页（共27页）A．36+12πB．36+16πC．40+12πD．40+16π9．（5分）已知点M的坐标（x，y）满足不等式组，N为直线y＝﹣2x+2上任一点，则|MN|的最小值是（）A．B．C．1D．10．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的左顶点、上顶点和左焦点分别为A，B，F，中心为O，其离心率为，则S△ABF：S△BFO＝（）A．1：1B．1：2C．D．11．（5分）已知向量＝（x2，1﹣2ax），＝（a，1），函数g（x）＝•在区间[2，3]上有最大值为4，f（x）＝，不等式f（2x﹣k•2x≥0在x∈[2，3]上恒成立，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，]C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，]12．（5分）设奇函数f（x）的定义域为（﹣，），且f（x）的图象是连续不间断，∀x∈（﹣，0），有f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，若f（m）＜f（）cos（﹣m），则m的取值范围是（）第4页（共27页）A．（﹣，﹣）B．（0，）C．（﹣，）D．（，）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的焦距为2c，F为右焦点，O为坐标原点，P是双曲线上一点，|PO|＝c，△POF的面积为，则该双曲线的离心率为．14．（5分）若函数f（x）＝2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则ω＝；φ＝．15．（5分）已知等边△ABC的边长为，M，N分别为AB，AC的中点，将△AMN沿MN折起得到四棱锥A﹣MNCB．点P为四棱锥A﹣MNCB的外接球球面上任意一点，当四棱锥A﹣MNCB的体积最大时，P到平面MNCB距离的最大值为16．（5分）《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”，，，则按照以上规律，若具有穿墙术，则n＝三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．（1）若b2＝ac，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若，求△ABC周长l的取值范围．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝BC＝2，PB⊥AC．（1）证明：平面PAB⊥平面ABCD；（2）若PA＝4，PB＝2，求二面B﹣PC﹣D的余弦值．第5页（共27页）19．（12分）对同学们而言，冬日的早晨离开暖融融的被窝，总是一个巨大的挑战，而咬牙起床的唯一动力，就是上学能够不迟到．已知学校要求每天早晨7：15之前到校，7：15之后到校记为迟到．小明每天6：15会被妈妈叫醒起味，吃早餐、洗漱等晨间活动需要半个小时，故每天6：45小明就可以出门去上学．从家到学校的路上，若小明选择步行到校，则路上所花费的时间相对准确，若以随机变量X（分钟）表示步行到校的时间，可以认为X～N（22，4）．若小明选择骑共享单车上学，虽然骑行速度快于步行，不过由于车况、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性增加，若以随机变量Y（分钟）描述骑车到校的时间，可以认为Y～N（16，16）．若小明选择坐公交车上学，速度很快，但是由于等车时间、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性进一步增加，若以随机变量Z（分钟）描述坐公交车到校所需的时间，则可以认为Z～N（10，64）．（1）若某天小明妈妈出差没在家，小明一觉醒来已经是6：40了，他抓紧时间洗漱更衣，没吃早饭就出发了，出门时候是6：50．请问，小明是否有某种出行方案，能够保证上学不迟到？小明此时的最优选择是什么？（2）已知共享单车每20分钟收费一元，若小明本周五天都骑共享单车上学，以随机变量ξ表示这五天小明上学骑车的费用，求ξ的期望与方差（此小题结果均保留三位有效数字）已知若随机变量η～N（0，1），则P（﹣1＜η＜1）＝68.26%，P（﹣2＜η＜2）＝95.44%，P（﹣3＜η＜3）＝99.74%．20．（12分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的右焦点F的坐标为（1，0），离心率e＝．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P、Q为椭圆上位于第一象限的两个动点，满足PF⊥QF，C为PQ的中点，线段PQ的垂直平分线分别交x轴、y轴于A、B两点．（i）求证：A为BC的中点；（ii）若＝（S为三角形的面积），求直线PQ的方程．第6页（共27页）21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣aex﹣1．（1）若f（x）有两个不同的极值点x1，x2，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：+＞．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）直角坐标系xOy中直线l：y＝﹣x，圆C的参数方程为（θ为参数）．（Ⅰ）求C的普通方程，写出l的极坐标方程；（Ⅱ）直线l与圆C交于A，B，O为坐标原点，求．五．解答题（共1小题）23．已知函数f（x）＝4x﹣a•2x+1+a+1（1）若a＝2，求不等式f（x）＜0的解集；（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值h（a）．第7页（共27页）2020年山西省高考数学（理科）模拟试卷（1）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3}，集合B＝{x||x|≤2}，则A∩B＝（）A．{0，3}B．{0，1，2}C．{1，2}D．{0，1，2，3}【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A＝{0，1，2，3}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B＝{0，1，2}．故选：B．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）若复数z满足z（1﹣i）2＝i（i是虚数单位），则|z|为（）A．B．C．D．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：由z（1﹣i）2＝i，得z＝，∴|z|＝．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．（5分）如图，在圆心角为直角半径为2的扇形OAB区域中，M，N分别为OA，OB的中点，在M，N两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以OA，OB为直径的圆，在扇形OAB内随机取一点，则能够同时收到两个基站信号的概率是（）A．B．C．D．第8页（共27页）【分析】根据图形的对称性分别求出扇形的面积及两半圆重合的部分面积，最后根据几何概型的概率公式解之即可．【解答】解：OA的中点是M，则∠CMO＝90°，半径r＝2，则扇形OAB的面积S＝＝π，半圆OAC的面积s1＝，S△OAC＝＝1S弓形OC＝，两个圆的弧OC围成的阴影部分的面积为π﹣1，能够同时收到两个基站信号的概率P＝＝．故选：B．【点评】本题主要考查了几何概型，解题的关键是求重叠部分的面积，不规则图形的面积可以转化为几个不规则的图形的面积的和或差的计算，属于中档题4．（5分）“三个实数a，b，c成等差数列”是“2b＝a+c“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充要条件及等差数列的定义判断即可．【解答】解：若“a，b，c成等差数列”，则“2b＝a+c”，即“a，b，c成等差数列”是“2b＝a+c”的充分条件；若“2b＝a+c”，则“a，b，c成等差数列”，即“a，b，c成等差数列”是“2b＝a+c”的必要条件，综上可得：“a，b，c成等差数列”是“2b＝a+c”的充要条件，故选：C．【点评】本题考查的知识是充要条件的判断，正确理解并熟练掌握充要条件的定义，是第9页（共27页）解答的关键．5．（5分）函数的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】先判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想以及当x＝2时的函数值是否对应进行排除即可．【解答】解：f（﹣x）＝＝＝f（x），则函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，当x→+∞，f（x）→0，排除C，当x＝2时，f（2）＝＝＜2，排除D，故选：A．【点评】本题主要考查函数与图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和极限思想，利用排除法是解决本题的关键．第10页（共27页）6．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n＝（）A．5B．4C．3D．2【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当n＝1时，a＝，b＝4，满足进行循环的条件，当n＝2时，a＝，b＝8满足进行循环的条件，当n＝3时，a＝，b＝16满足进行循环的条件，当n＝4时，a＝，b＝32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选：B．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7．（5分）（2﹣）8展开式中x3的系数为（）A．﹣122B．28C．56D．112第11页（共27页）【分析】写出二项展开式的通项，令x的指数为3求得r值，则答案可求．【解答】解：由＝．取，得r＝6．∴（2﹣）8展开式中x3的系数为．故选：D．【点评】本题考查二项式定理，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．36+12πB．36+16πC．40+12πD．40+16π【分析】几何体为棱柱与半圆柱的组合体，作出直观图，代入数据计算．【解答】解：由三视图可知几何体为长方体与半圆柱的组合体，作出几何体的直观图如图所示：其中半圆柱的底面半径为2，高为4，长方体的棱长分别为4，2，2，∴几何体的表面积S＝π×22×2++2×4+2×4×2+2×4+2×2×2＝12π+40．故选：C．第12页（共27页）【点评】本题考查了几何体的常见几何体的三视图，几何体表面积计算，属于中档题．9．（5分）已知点M的坐标（x，y）满足不等式组，N为直线y＝﹣2x+2上任一点，则|MN|的最小值是（）A．B．C．1D．【分析】画出约束条件的可行域，利用已知条件，转化求解距离的最小值即可．【解答】解：点M的坐标（x，y）满足不等式组的可行域如图：点M的坐标（x，y）满足不等式组，N为直线y＝﹣2x+2上任一点，则|MN|的最小值，就是两条平行线y＝﹣2x+2与2x+y﹣4＝0之间的距离：d＝＝．故选：B．第13页（共27页）【点评】本题考查线性规划的应用，平行线之间的距离的求法，考查转化思想以及计算能力．10．（5