2012年实验中学省重点中学推荐生第一次选拔考试数学试卷(含答案)-

-1-ACBDPO1O22012实验中学省重点中学推荐生第一次选拔考试数学试卷一、选择题(每题4分，共24分)1．已知P是半径为15的⊙O内一点，过点P的所有弦中，长为整数的弦有24条，则OP为()A．10B．12C．15D．182．如图，反比例函数y＝－3x(x＞0)图象经过矩形OABC边AB的中点E，交边BC于F点，连接EF、OE、OF，则△OEF的面积是()A.32B.94C.73D.523．已知a为非负整数，关于x的方程2x－a1－x－a＋4＝0至少有一个整数根，则a可能取值的个数为()A．1B．2C．3D．44．给出一列数11,12,21,13,22,31,14,23,32,41....1k,,2k-1,3k-2….k1,….在这列数中，第50个值等于1的项的序号．．是:（）A．4900B．4901C．5000D．50015．如图：⊙O1与⊙O2外切于P，⊙O1，⊙O2的半径分别为2,1.O1A为⊙O2的切线，AB为⊙O2的直径，O1B分别交⊙O1，⊙O2于C,D，则CD+3PD的值为（）A．73B．523C．2113D．4336．若实数a、b满足12a－ab＋b2＋2＝0，则a的取值范围是()A．a≤－2B．a≥4C．a≤－2或a≥4D．－2≤a≤4二、填空题（每小题5分,共30分）7．现有一副三角板如图，中间各有一个直径为4cm的圆洞，现将三角形a的30°角的那一头插入三角板b的圆洞内，则三角形a通过三角板b的圆洞的那一部分的最大面积为________cm2.(不计三角板的厚度，精确到0.1cm2)8．已知函数S＝|x－2|＋|x－4|.若对任何实数x、y都有S≥m(－y2＋2y)成立，则实数m的最大值为_______.9．直线l：m(2x－y－5)＋(3x－8y－14)＝0被以A(1,0)为圆心，2为半径的⊙A所截得的最短弦的长为________．10．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切，如果球的半径为4，则三棱柱的体积为。11．如图，AB为⊙O的直径，C在⊙O上，并且OC⊥AB，P为⊙O上的一点，位于B、C之间，直线CP与AB的延长线交于点Q，过点Q作直线与AB垂直，交直线AP于R，BQ＝6，则QR=。12．如图，双曲线y＝33x(x＞0)的图象上，△OA1B1，△A1A2B2，…，△An－1AnBn均为正三角形，则点An的坐标为________．三、解答题（共26分）13．(14分)如图，已知在平面直角坐标系xoy中，过点P(0,2)任作一条与抛物线y＝ax2(a＞0)交于两点的直线，设交点分别为A、B，若∠AOB＝90°，(1)判断A、B两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值，并说明理由；(2)确定抛物线y＝ax2(a＞0)的解析式；(3)当△AOB的面积为42时，求直线AB的解析式．-2-14．(12分)直角坐标系中，⊙O1经过坐标原点，分别与x轴，y轴正半轴交于A、B，(1)如图①若点O到AB的距离为125，过点A的切线与y轴交点C，过点O的切线交AC于点D，过点B的切线交OD于E，求1CD＋1BE的值。(2)如图②，若⊙O1经过M(2,2)，作△BOA的内切圆直径为d，求d＋AB的值。-3-参考答案一、选择题（将正确选项的序号填在相应的表格中，每小题4分，共24分）题号123456答案BBCBDC二、填空题（每小题5分，共30分）7.8+4√38.29.2√210.384√311.612.（2√3n,0）三、解答题（共26分）13．(14分)如图，已知在平面直角坐标系xOy中，过点P(0,2)任作一条与抛物线y＝ax2(a＞0)交于两点的直线，设交点分别为A、B，若∠AOB＝90°，(1)判断A、B两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值，并说明理由；(2)确定抛物线y＝ax2(a＞0)的解析式；(3)当△AOB的面积为42时，求直线AB的解析式．解：(1)A、B两点纵坐标的乘积是一确定值．理由：设直线AB的解析式为y＝kx＋2，由y＝kx＋2，y＝ax2，得ax2－kx－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2，则x1＋x2＝ka，x1x2＝－2a.所以y1y2＝ax21·ax22＝a2(x1x2)2＝a2－2a2＝4……..5分(2)过点A作AM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，∵∠AOB＝90°，所以∠AOM＋∠BON＝90°，∴∠AOM＝∠OBN.∴Rt△AOM∽Rt△OBN，∴AMON＝MONB，即y1x2＝－x1y2，∴－x1x2＝y1y2，由－－2a＝4，得a＝12，∴y＝12x2……………10分(3)S△AOB＝x2－x1＝x2＋x12－4x1x2＝4k2＋16＝42，∴k＝±2，∴直线AB的解析式为y＝±2x＋2…………………14分14．(12分)直角坐标系中，⊙O1经过坐标原点，分别与x轴，y轴正半轴交于A、B，(1)如图①若点O到AB的距离为125，过点A的切线与y轴交点C，过点O的切线交AC于点D，过点B的切线交OD于E，求1CD＋1BE的值。(2)如图②，若⊙O1经过M(2,2)，作△BOA的内切圆直径为d，求d＋AB的值。解：(1)延长BE交x轴于点F，作OM⊥AB交AB于点M，∵∠OMA＝∠CAB＝∠FBA＝90°，∴BF∥OM∥AC.又∵B、O、A为切点，△BOF、△AOC为直角三角形，∴∠EBO＝∠EOB，∴∠EFO＝∠EOF，∴OE＝EB＝EF.同理OD＝AD＝CD.∵△AOM∽△AFB，△BOM∽△BCA，∴AMAB＝OMBF＝OM2BE，BMAB＝OMAC＝OM2CD，∴OM2BE＋OM2CD＝AMAB＋BMAB＝1＝OM2()1BE＋1CD，∴1BE＋1CD＝2OM＝56.……….7分(2)设△AOB的内切圆分别切OA、OB、AB于点P、Q、T，如图2所示．∴BQ=BT，AP=AT，OQ=OP=．∴BQ=BT=OB-，AP=AT=OA-．∴AB=BT+AT=OB-+OA-=OA+OB-d．则d+AB=d+OA+OB-d=OA+OB．在x轴上取一点N，使AN=OB，连接OM、BM、AM、MN．∵M（2，2），∴OM平分∠AOB，∴OM=2，∴∠BOM=∠MON=45°，∴AM=BM，又∵∠MAN=∠OBM，OB=AN，∴△BOM≌△ANM，-4-∴∠BOM=∠ANM=45°，∠ANM=∠MON，∴OM=NM∠OMN=90°，∴OA+OB=OA+AN=ON=×OM=×2=4．∴d+AB=4．………..12分