(完整版)常微分方程试题库.

1常微分方程一、填空题1．微分方程0)(22xydxdydxdyn的阶数是____________答：12．若),(yxM和),(yxN在矩形区域R内是),(yx的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程0),(),(dyyxNdxyxM有只与y有关的积分因子的充要条件是_________________________答：)()1)((yMxNyM3．_________________________________________称为齐次方程.答：形如)(xygdxdy的方程4．如果),(yxf___________________________________________,则),(yxfdxdy存在唯一的解)(xy,定义于区间hxx0上,连续且满足初始条件)(00xy,其中h_______________________.答：在R上连续且关于y满足利普希兹条件),min(mbah5．对于任意的),(1yx,),(2yxR(R为某一矩形区域),若存在常数)0(NN使______________________,则称),(yxf在R上关于y满足利普希兹条件.答：2121),(),(yyNyxfyxf6．方程22yxdxdy定义在矩形区域R:22,22yx上,则经过点)0,0(的解的存在区间是___________________答：4141x7．若),.....2,1)((nitxi是齐次线性方程的n个解,)(tw为其伏朗斯基行列式,则)(tw满足一阶线性方程___________________________________2答：0)(1'wtaw8．若),.....2,1)((nitxi为齐次线性方程的一个基本解组，)(tx为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_____________________答：xxcxniii19．若)(x为毕卡逼近序列)(xn的极限，则有)()(xxn__________________答：1)!1(nnhnML10．______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解)(xy，则经过变换___________________，可化为伯努利方程．答：形如)()()(2xryxqyxpdxdy的方程yzy11．一个不可延展解的存在区间一定是区间．答：开12．方程1ddyxy满足解的存在唯一性定理条件的区域是．答：}0),{(2yRyxD，（或不含x轴的上半平面）13．方程yxxysindd2的所有常数解是．答：,2,1,0,kky14．函数组)(,),(),(21xxxn在区间I上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不恒等于零．答：充分15．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21xyxy为方程的基本解组充分必要条件是．答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）16．方程02yyy的基本解组是．答：xxxe,e317．若)(xy在),(上连续，则方程yxxy)(dd的任一非零解与x轴相交．答：不能18．在方程0)()(yxqyxpy中，如果)(xp，)(xq在),(上连续，那么它的任一非零解在xoy平面上与x轴相切．答：不能19．若)(),(21xyxy是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们共同零点．答：没有20．方程21ddyxy的常数解是．答：1y21．向量函数组)(,),(),(21xxxnYYY在其定义区间I上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式0)(xW，Ix．答：必要22．方程22ddyxxy满足解的存在唯一性定理条件的区域是．答：xoy平面23．方程0d)1(1)d(22yxyxyx所有常数解是．答：1,1xy24．方程04yy的基本解组是．答：xx2cos,2sin25．一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线．答：2二、单项选择题1．n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（A）个．4（A）n（B）n-1（C）n+1（D）n+22．如果),(yxf，yyxf),(都在xoy平面上连续，那么方程),(ddyxfxy的任一解的存在区间（D）．（A）必为),(（B）必为),0(（C）必为)0,(（D）将因解而定3．方程yxxy31dd满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（D）．（A）上半平面（B）xoy平面（C）下半平面（D）除y轴外的全平面4．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（C）．（A）不是其对应齐次微分方程组的解（B）是非齐次微分方程组的解（C）是其对应齐次微分方程组的解（D）是非齐次微分方程组的通解5.方程21ddyxy过点)1,2(共有（B）个解．（A）一（B）无数（C）两（D）三6.方程2ddyxxy（B）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个7．n阶线性齐次方程的所有解构成一个（A）线性空间．（A）n维（B）1n维（C）1n维（D）2n维8．方程323ddyxy过点（A）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解0y（D）只有两个解9.),(yxfy连续是保证),(yxf对y满足李普希兹条件的（B）条件．（A）充分（B）充分必要（C）必要（D）必要非充分10．二阶线性非齐次微分方程的所有解（C）．（A）构成一个2维线性空间（B）构成一个3维线性空间（C）不能构成一个线性空间（D）构成一个无限维线性空间511．方程yxydd的奇解是（D）．（A）xy（B）1y（C）1y（D）0y12．若)(1xy，)(2xy是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（C）．（A）)()(21xx（B）)()(21xx（C）)())()((121xxxC（D）)()(21xxC13．),(yxfy连续是方程),(ddyxfxy初值解唯一的（D）条件．（A）必要（B）必要非充分（C）充分必要（D）充分14.方程1ddyxy（C）奇解．（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个15．方程323ddyxy过点(0,0)有（A）．(A)无数个解(B)只有一个解(C)只有两个解(D)只有三个解三、求下列方程的通解或通积分1．3yxydxdy解：23yyxyyxdydx，则)(121cdyeyexdyydyy所以cyyx23另外0y也是方程的解2．求方程2yxdxdy经过)0,0(的第三次近似解解：0)(0x2020121)()(xdxxxxx52021220121)()(xxdxxxxx681152022316014400120121)()(xxxxdxxxxx3．讨论方程2ydxdy，1)1(y的解的存在区间解：dxydy2两边积分cxy1所以方程的通解为cxy1故过1)1(y的解为21xy通过点)1,1(的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到２，所以解的存在区间为)2,(4．求方程01)(22ydxdy的奇解解:利用p判别曲线得020122pyp消去p得12y即1y所以方程的通解为)sin(cxy,所以1y是方程的奇解5．0)1()1(cos2dyyxydxyx解:yM=2y,xN=2y,yM=xN,所以方程是恰当方程.211cosyxyyvyxxu得)(sinyyxxu)('2yxyyu所以yyln)(故原方程的解为cyyxxlnsin76．xxxyyy22'sincossin2解:xxxyyy22'sincossin2故方程为黎卡提方程.它的一个特解为xysin,令xzysin,则方程可化为2zdxdz,cxz1即cxxy1sin,故cxxy1sin7．0)37()32(232dyxydxyxy解:两边同除以2y得037322xdydyyydxxdx0732ydxyddx所以cyxyx732,另外0y也是方程的解8．21ddxxyxy解当0y时，分离变量得xxxyyd1d2等式两端积分得Cxyln)1ln(21ln2即通解为21xCy9.xyxy2e3dd解齐次方程的通解为xCy3e令非齐次方程的特解为xxCy3e)(8代入原方程，确定出CxCx5e51)(原方程的通解为xCy3e+x2e5110.5ddxyyxy解方程两端同乘以5y，得xyxyy45dd令zy4，则xzxyydddd45，代入上式，得xzxzdd41通解为41e4xCzx原方程通解为41e44xCyx11．0)d(d222yyxxxy解因为xNxyM2，所以原方程是全微分方程．取)0,0(),(00yx，原方程的通积分为Cyyxxyyx020dd2即Cyyx323112．yyxylndd解：当0y，1y时，分离变量取不定积分，得Cxyyydlnd通积分为xCyeln13．03)(22xyyy9解原方程可化为0)(2xyy于是12ddCxxyy积分得通积分为23123121CxxCy14．xyxyxy2)(1dd解：令xuy，则xuxuxydddd，代入原方程，得21dduxux分离变量，取不定积分，得Cxxuulnd1d2（0C）通积分为：Cxxylnarcsin15．xyxyxytandd解令uxy，则xuxuxydddd，代入原方程，得uuxuxutandd，uxuxtandd当0tanu时，分离变量，再积分，得CxxuulndtandCxulnlnsinln即通积分为：Cxxysin16．1ddxyxy解：齐次方程的通解为Cxy令非齐次方程的特解为10xxCy)(代入原方程，确定出CxxCln)(原方程的通解为Cxy+xxln17.0dd)e(2yxxyxy解积分因子为21)(xx原方程的通积分为1012dd)(eCyxxyyxx即1e,eCCCxyx18．0)(2yyy解：原方程为恰当导数方程，可改写为0)(yy即1Cyy分离变量得xCyydd1积分得通积分21221CxCy19．1)ln(yxy解令py，则原方程的参数形式为pyppxln1由基本关系式yxydd，有11ppppxyy)d11(dd2pp)d11(积分得Cppyln得原方程参数形式通解为Cppyppxlnln120．022xyyy解原方程可化为0)(2xyy于是12ddCxxyy积分得通积分为23123121CxxCy21．0)d(d)(3223yyyxxxyx解：由于xNxyyM2，所以原方程是全微分方程．取)0,0(),(00yx，原方程的通积分为103023dd)(Cyyxxyxyx即Cyyxx42242四、计算题1．求方程xyye21的通解．解对应的齐次方程的特征方程为：01212特征根为：1,121故齐次方程的通解为：xxCCyee21因为1是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为xAxxye)(1代入原方程，有xxxxAxAxAe21e