不同域上的不可约多项式

论文题目不同域上的不可约多项式学生承诺我承诺在毕业论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，本人毕业论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况。如有违规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理。学生（签名）：年月日指导教师承诺我承诺在指导学生毕业论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，经过本人核查，该生毕业论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的现象。指导教师（签名）：年月日目录1、前言..................................................................................................................................12、因式分解定理及唯一性定理....................................................................................13、复系数多项式................................................................................................................14、实系数多项式................................................................................................................25、有理系数多项式...........................................................................................................25.1艾森斯坦（Eisenstein）判别法............................25.2艾森斯坦因（Eisenstein）判别法的变式.....................35.3艾森斯坦因（Eisenstein）判别法的等价定理.................45.4多项式的复根与其不可约性.................................55.5n次整系数多项式在有理数域上的不可约的又一充分性.......................76、有限域上的不可约多项式.........................................................................................76.1判断有限域上一元多项式是否可约进而得到分解式的方法.......86.2q阶有限域上的不可约多项式...............................9致谢.......................................................................................................................................10参考文献..............................................................................................................................112011届数学系学士学位论文不同域上的不可约多项式摘要：判断一个多项式是否可约是很困难的，在前人的基础上，采用了类比分析的方法，讨论了复数域、实数域、有理数域、有限域上的不可约多项式的状况，对不可约多项式进行了比较完善的总结归纳。关键字：复数域实数域有理数域有限域不可约多项式中图分类号：O151IrreduciblepolynomialsinthedifferentfieldsAbstract:Itisdifficulttojudgeapolynomialirreducible.Inthispaper,wediscusstheirreduciblepolynomialsintherealnumberfield,complexfield,rationalnumberfieldandfinitefield.Thisisamoreperfectsummaryaboutirreduciblepolynomials.Whatismore,thisisasimplyanalysisaboutirreduciblepolynomials.KeyWords:ComplexfieldRealnumberfieldRationalnumberfieldFinitefieldIrreduciblepolynomials2011届数学系学士学位论文1不同域上的不可约多项式1、前言一个多项式是否不可约是依赖于系数域的，虽然因式分解定理在理论上有其基本重要性，但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的，即使只是判别一个多项式是否可约都很困难。所以我们只能在不同的域上讨论多项式是否不可约。本文主要在前人研究的基础上，将复数域、实数域、有理数域、有限数域上的多项式是否可约的问题进行归纳，采用类比分析的方法进行总结。2、因式分解定理及唯一性定理定理[]11数域P上每个次数1的多项式()fx都可以唯一地分解成域P上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说,如果有两个分解式1212()()()()()()()stfxpxpxpxqxqxqx那么必有st，并且适当排列因式的次序后有()(),1,2,,iiipxcqxis，其中(1,2,,)icis是一些非零常数.因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性，但是它并没有给出一些具体的分解多项式的方法。实际上，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的。接下来将讨论复数域、实数域、有理数域、有限域上的多项式的是否可约。3、复系数多项式定理[]12（代数基本定理）每个次数1的复系数多项式在复数域中至少有一根。定理[]13（复系数多项式因式分解定理）每个次数1的复系数多项式在2011届数学系学士学位论文2复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.由此可知，在复数域上所有次数大于1的多项式全是可约的。4、实系数多项式定理[]14（实系数多项式因式分解定理）每个次数1的实系数多项式在实数域上都可以唯一的分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.由此可知，实数域上的不可约多项式有一次多项式和某些二次多项式（判别式小于0）。5、有理系数多项式每个次数1的有理系数多项式都能唯一的分解成不可约的有理系数多项式的乘积。但是对于任意一个给定的多项式，要具体地作出它的分解式却是一个很复杂的问题，即使要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个容易解决的问题，这一点是有理数域与实数域、复数域不同的。5.1艾森斯坦（Eisenstein）判别法定理[]15（Eisenstein判别法）设1011()nnnnfxaaxaxax是一个整系数多项式，如果存在素数p使得011(1),,,;npapapa(2)p|na；2)3(p|0a那么()fx在Q上不可约证明：若()fx在有理数域上可约，则()fx在Z上可约，即存在整系数多项式2011届数学系学士学位论文301(),kkgxbbxbx01(),llhxccxcx使得()()(),fxgxhx其中,,.klnknln因为200000,|,|,abcpapa所以0b与0c不能同时被p整除不妨设00|,|.pbpc因为,|nklnabcpa，所以|kpb.设011|,|,,|,|(1).sspbpbpbpbsk考察等式011110.sssssabcbcbcbc由于01111|,|()sssspapbcbcbc，所以0|spbc，这与0|,|spbpc矛盾，故()fx在()Zx中不可约，因而在[]Qx中不可约（证毕）对任意正整数,2nnx都是Z上不可约多项式，从而[]Zx（及[]Qx）中存在任意次数的不可约多项式.5．2艾森斯坦因（Eisenstein）判别法的变式一般地对()()fxZx，常作变换xayb,则()()()fxfaybfy,很显然()fx与()gy在[]Qx上具有相同的可约性.有时候对于某个多项式不能直接应用Eisenstein判别法，可以把它进行如上适当变形后，再应用这个判别法。例如：设P是一个素数，多项式12()1ppfxxxx叫做一个分圆多项式，证明()fx在[]Qx中不可约。2011届数学系学士学位论文4证明：因为011naaa，所以不存在这样的素数P满足Eisenstein判别法的条件，但是如果我们令1xy，则由于(1)()1nxfxx111(1)(1)1ppppppyfyyyCyCy令()(1)gyfy，于是1121()pppppgyyCyC由Eisenstein判别法，()gy在有理数域上不可约，所以()fx也在有理数域上不可约。5．3艾森斯坦因（Eisenstein）判别法的等价定理定理[]26假如2012()[]nnfxaaxaxaxZx是整系数多项式，如果存在一个素数P，使得；2011)|;2),|,,|;3)|nnpapRpapapa，则()fx在Qx上不可约。定理[]37设2012()[]nnfxaaxaxaxZx为次数大于3的整系数多项式，且()fx无有理根存在，如有整数P使得1）200||Paa，P；2）122||,,|nPapapa，；3）1|npa则()fx在整数环上一定不可约证明：这里仅考虑()fx为本原多项式的情形反设()fx在整数环上可约，其分解式为：110101()()()llmmmmllfxbxbxbcxcxc2011届数学系学士学位论文5其中110()llllgxbxbxb110()mmmmhxcxcxc均为本原多项式，且,,lmnmln，从而111nlmlmabcbc，000abc由已知000|pabc，而20|pa，所以不妨设：0|pb，而0|pc，又因为1|npa，所以p不能同时整除lb及1lb，不妨设01,,,lbbb中第一个不能被p整除的数是kb，即011|,,,kpbbb，而|kpb其中1kln下面分两种情况讨论：1）当1kln时可证1m从而1212010()()()nnnnfxbxbxbcxc可得()fx有有理根，此题与题设矛盾，同理可证1k2）当11kn时考虑()fx中kx的系数：0110kkkkabcbcbc由设011|,|,,,kkpapbbb及，所以0|kpbc，而0|,|kpcpb，所以0|kpbc，这是一个矛盾！另当00|,|pcpb时，同理可证矛盾！所以()fx在整数环上不可约，证毕。5.4多项式的复根与其不可约性由代数基本定理，[]Zx中n次多项式在复数域中有n个根，通过系数多项式在复数域上的分解的信息也能帮助判断其在整数多项式上的不可约性。2011届数学系学士学位论文6定理[]48设1110()...[]nnnnfxaxaxaxaZx满足10...21,nnnaaaaa（1）则()fx在Z上不可约(从而在Q上不可约)．证明：()fx的复根的模均大于1。实际上，设()fx有根满足1，则011