赛程的分析与评价数学建模

NBA赛程的分析与评价摘要本文首先综合考虑了NBA上个赛季的赛程、赛绩和本赛季的赛程确定出赛程对球队利弊的三个主要影响因素，并对其进行了定量分析。其次利用偏大型柯西分部隶属函数确定主要影响因素的权值，给出了一个利弊的评价指标——利弊指数，并计算了各球队的利弊指数值。从得到的结果看本次赛程对火箭队而言是比较有利的，其中最有利的球队是凯尔特人队，最不利的是快船队。对于问题三，基于公平性和观赏性考虑，同部不同区球队实力尽可能悬殊的队尽可能少赛（赛3场）。由此建立0-1规划模型，并利用LINDO软件求解出了赛3场球队的最优选取方案。关键词：隶属函数利弊指数0-1规划一.问题的重述NBA赛程的安排对球队实力的发挥和战绩存在着客观的影响，但编制一个完整的、对各球队尽可能公平的赛程是一件非常复杂的事情。为了更直观的体现出这些客观因素的存在，利用数学建模方法对2008～2009年的赛季安排表进行定量的分析与评价：1）确定出赛程对某一支球队的利弊的主要影响因素，根据所确定的因素将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，同时给出评价赛程利弊的数量指标。2）按照1）的结果计算、分析赛程对火箭队的利弊，并找出赛程对30支球队最有利和最不利的球队。3）对2008～2009年的赛季安排表进行分析可以发现，每支球队与同区的每一支球队赛4场（主客各2场），与不同部的每一球队赛2场（主客各1场），与同部不同区的每一球队有赛4场和赛3场（2主1客或2客1主）两种情况，每支球队的主客场数量相同且同部3个区的球队间保持均衡。试根据赛程找出与同部不同区球队比赛中，选取赛3场的球队的方法。这种方法如何实现，对该方法给予评价，也可以给出认为合适的方法。二.问题分析问题1首先应综合分析上一赛季的赛绩和本次赛季的赛程确定赛程对球队利弊的主要影响因素，其次要确定影响因素权值；根据本次赛场各球队的影响指标，对东西联盟的30支球队进行排序。问题2根据上一问所得的结果，重点分析赛程对火箭队的利弊及赛程对那个队是最有利的，对那个队是最不利的。问题3要对本季赛程进行分析，选取与同部不同区球队比赛中，赛3场的球队的方法，同时也可以给出认为合适的方法。通过对赛程安排的统计，发现赛3场的4个球队是平均分部在同部不同区的,根据对对手实力的分析发现差异较大,所以可以说是随机安排赛3场的球队双方。这在考虑每年球队实力有所变化的前提下也是合理的。而以一般规律赛3场对对手双方是最不公平的，若安排实力相当的球队打3场，则必对某一方不利，若安排实力相差较大的球队赛3场就可以把此不利因素降到最底，毕竟影响胜负的关键还是实力。因此，我们采用0-1规划法给出一种选取方法，重新安排赛3场的球队。最后对所得的结果进行评价。三.模型假设1）假设2008-2009赛季各队的实力不发生改变；2）假设两球队在比赛时，客队赶往赛场的这一过程对实力不产生影响；3）假设不考虑连续两场在客场比赛和连续两场同强队比赛对赛绩所产生的影响；4）假设东西部之间整体实力相等；5）假设赛程是在一些公平的约束下产生的，不存在人为偏袒因素。四.符号说明jA表示第j个球队连续两天内都有比赛的次数。jB表示第j个球队连续在客场比赛三场或三场以上的次数。jC表示第j个球队连续同三个或三个以上的强队比赛的次数。i表示第i个影响因素权重。S表示赛程对球队利弊的数量指标——利弊指数iS表示某球队第i个影响因素值。ijS表示第i个球队第j个影响因素值ia表示东南区第i个球队的胜率。jb表示大西洋区第i个球队的胜率。jc表示中部区第i个球队的胜率。ijx表示选取东南区球队i和大西洋区球队j比赛的场次。ijy表示选取东南区球队i和中部区球队j比赛的场次。55ijk表示东南区每个球员对大西洋区每个球员的实力差矩阵。55ijm表示东南区每个球员对中部区每个球员的实力差矩阵。z表示东南区的每个球队对大西洋区和中部区每个球队赛3场的实力差之和。五.模型的建立与求解5.1.1确定主要影响因素通过对NBA以往比赛的赛程和赛绩进行分析[1]，认为NBA赛程对30支球队的影响是客观存在的事实，通过对以往赛程和赛绩的分析确定主要的客观影响因素包括三个方面，即连续客场的次数、背靠背的次数及连续同强队比赛的次数。1、连续客场的次数客场指的是球队在其他球队场地上比赛考虑到天时地利及人和的关系，连续3场或3场以上在客场比赛必定对球队的利弊存在影响。2、背靠背的次数背靠背指的是连续两天都参加比赛，考虑到球员们的体质、体力的关系，背靠背的多少必定影响到球队最终的赛绩。3、连续同强队比赛的次数连续同强队比赛指的是连续3场或3场以上同强队比赛，考虑到队员们心理、体力等因素的关系，对手强弱对球队的实力发挥和今后的赛事存在客观的影响。5.1.2球队实力的确定根据各球队2007-2008的赛绩表中的胜率指标，对球队实力按从强到弱依次排列表1，为了使球队的强弱指标便于量化，将排列名次进行简化（前15只球队分为强队，后15个球队分为弱队），来做为连续同强队比赛的次数的衡量尺度。表1球队强弱排列表名次12345678球队凯尔特人活塞湖人马刺黄蜂火箭太阳爵士名次9101112131415球队魔术小牛掘金勇士骑士奇才开拓者名次1617181920212223球队猛龙76人国王老鹰步行者蓝网公牛山猫名次24252627282930球队雄鹿尼克斯快船灰熊森林狼超音速热火5.1.3赛程格式转换及球队各影响因素值确定为了把附录1（2008—2009）赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，首先把赛期进行数字替换再将球队进行编号（具体的编号按照表2），我们就可以将赛程进行数字转换，再利用EXCEL对影响因素值进行统计得到表2（各球队各影响因素值的统计表）；表2各球队各影响因素值的统计表编号影响因素队名背靠背的次数连续客场的次数连续同强队比赛的次数1魔术16442奇才18423老鹰22674山猫21555热火1943编号影响因素队名背靠背的次数连续客场的次数连续同强队比赛的次数6凯尔特人16337猛龙1564876人21459篮网203610尼克斯195511活塞165312骑士164313步行者204614公牛154615雄鹿215616黄峰177917马刺165718火箭154519小牛157620灰熊164821爵士215622掘金184423开拓者167424森林狼2251025超音速175626湖人195527太阳196828勇士147729国王226530快船2166为了便于表2中每一列数据做统一的比较，首先用极差规范化方法分别对相应的影响因素值作相应的规范化处理，背靠背的次数规范化后：130'130130min14maxmin2214jjjjjjjjjAAAAAA(1,2,..,30)j（1）其中jA表示第j个球队连续两天内都有比赛的次数。连续客场的次数规范化后：130'130130min12maxmin2312jjjjjjjjjBBBBBB(1,2,..,30)j（2）其中jB表示第j个球队连续在客场比赛三场或三场以上的次数。连续同强队比赛的次数规范化后：130'130130min3maxmin93jjjjjjjjjCCCCCC(1,2,..,30)j（3）其中Cj表示第j个球队连续同三个或三个以上的强队比赛的次数。（1）（2）（3）式经计算后可以得到规范化后各球队各影响因素的值,见表3;表3各球队各影响因素规范化后值表编号影响因素球队背靠背的次数规范化后的值连续客场的次数规范化后的值连续同强队比赛的次数规范后的值1魔术0.250.250.172奇才0.50.2503老鹰10.750.674山猫0.8750.50.335热火0.6250.2506凯尔特人0.25007猛龙0.1250.750.17876人0.8750.250.339篮网0.7500.510尼克斯0.6250.50.3311活塞0.250.5012骑士0.250.25012骑士0.250.25013步行者0.750.250.514公牛0.1250.250.515雄鹿0.8750.50.516黄峰0.3751117马刺0.250.50.6718火箭0.1250.250.3319小牛0.12510.520灰熊0.250.250.83321爵士0.8750.50.522掘金0.50.250.1723开拓者0.2510.1724森林狼10.5125超音速0.3750.50.526湖人0.6250.45450.3327太阳0.6250.45450.8328勇士00.27270.6729国王10.36360.33编号影响因素球队背靠背的次数规范化后的值连续客场的次数规范化后的值连续同强队比赛的次数规范后的值30快船0.8750.36360.55.1.4确定影响因素的权重首先对所确定的主要影响因素进行量化处理,从而给出影响因素的量化值,不妨设强度集为{很强,较强,强,稍强,不强},对应的数值为5,4,3,2,1。根据实际情况取偏大型柯西分布隶属函数[2]21[1()],13()ln,35axbxfxcxdx（4）其中,,,abcd为待定系数，实际上强度为“很强”时则隶属度为1，即(5)f=1；当强度为“强”时，则隶属度为0.8，即(3)0.8f；当强度为“没有”时，则认为隶属度为0.01，即(1)0.01f；于是可以确定出1.1086a，0.8942b，0.3915c，0.3699d。将其代入（6）式可得隶属函数；21[11.1086(0.8942)],13()0.3915ln0.3699,35xxfxxx（5）经计算(2)0.5245,(4)0.9126,ff则强度集{很强,强,较强,稍强,不强}的量化值为（1，0.9126，0.8，0.5245，0.01）。利用此量化值对影响因素进行赋权处理结果见表4；表4影响因素的权值表影响因素背靠背有比赛1连续3场及以上客场2连续3场及以上强队3赋予值很强强比较强隶属值10.80.9126归一后权值0.370.290.345.1.5建立利弊数量指标综合考虑以上影响因素，可以建立赛程对球队利弊的数量指标——利弊指数，记为S；31iiiss（6）其中is为某球队第i个影响因素值，i为第i个影响因素权重。利用表3，建立各球队各影响因素值矩阵：303ijS(1,2,..,30;1,2,3)ij其中ijS为第i个球队第j个影响因素值。取表4归一后的权向量：123T则赛程对每支球队利弊指数为：12331303.TijSS(7)则S的值越大表示赛程对球队越不利，反之则越有利。利用Matlab软件计算，将计算的结果进行从小到大排列，结果见表5；表5赛程对每支球队利弊指标组合权向量表名次球队S名次球队S1凯尔特人0.092516马刺0.46532骑士0.16517湖人0.47533魔术0.222818尼克斯0.48854火箭0.230919小牛0.50625活塞0.23752076人0.50846奇才0.257521步行者0.527公牛0.288822山猫0.58098热火0.303823国王0.58769勇士0.306924快船0.599210掘金0.315325雄鹿0.638811猛龙0.321626爵士0.638812开拓者0.440327太阳0.645313篮网0.447528黄峰0.768814灰熊0.448229老鹰0.815315超音速0.453730森林狼0.8555.2问题二赛程的编制是很难确保对每支球队都是公平的，因为在编制的过程只能考虑主要的影响因素，所以对于球队而言利弊是不可能完全一样，即球队与球队之间在利弊方面存在一个量化差值，表1.4.1（赛程对球队利弊主影响因素的组合权向量表）正是为了反映出这一量化差值，分析表中的数据可得：1)每支球队的S值都存在差异（量化