初中数学锐角三角函数-教学设计

《锐角三角函数》教学设计威海市文登区文昌中学邢妍妍【教学目标】结合课程标准，围绕“目标—--过程—--评价”一致性原则，确定本课教学目标如下：1.通过探索梯子坡度的问题，了解三角函数定义的合理性，掌握正切的概念。2.能够用正切进行简单的计算并会用正切表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，并会解决有关问题。3．通过参与三角函数概念的形成过程，丰富数学活动经验。在探索活动中，学会用数学的方法分析问题，学会运用从特殊到一般、转化等数学思想方法解决问题。【教学重点】探索直角三角形的边角关系，理解正切的意义，并会用正切解决相关问题。【教学难点】对正切函数的理解。【教学过程】一、创设情境，提出问题出示华罗庚名言：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。——华罗庚引言：是啊，在我们生活的每一个角落，处处都充满着数学。大到神十飞天，小至淘宝购物，我们的生活越来越离不开数学。可是，你知道数学到底是从哪来的呢？今天我们就从生活中最常见的梯子陡缓的问题入手，一起认识一个很重要的数学概念，亲身感受数学的来历。大家有兴趣吗？来，让我们一起走进生活，用数学的慧眼看生活！【设计意图：引用用华罗庚的名言，揭示数学与生活的密切联系，激发学生的兴趣，调动学生的积极性，同时也为新授内容做好铺垫.】二、自主探究、合作交流（一）梯子AB和DE哪个更陡？你是怎样判断的?你的发现：_____________.理由：总结：要判断梯子陡缓，就要比较坡角的大小。BCA50°EFD4０°【设计意图：这一问题首先给出两个梯子与地平线的夹角，直观判断梯子陡缓。把梯子陡缓这个实际问题自然过渡到判断角度大小这一数学问题，引出第一个变量——角，这一环节目的在于让学生明确：要判断梯子陡缓，就要比较角度的大小。】（二）这两个梯子没有给出坡角的度数，如何判断它们的陡缓？你的发现：______________.理由：问题：你能发现这两个坡角的对边与邻边的比值与坡角之间有怎样的关系呢？学生先独立思考，小组讨论，展示交流后，总结得出结论：比值相等，坡角就相等。【设计意图：设计这一问题是判断没有角度的梯子陡缓问题。学生自然会想到利用已有知识判断两个坡角的大小。引导学生利用已有知识判断两个坡角的大小，从而引出正切概念中另一个关键量——比值。通过对这一问题的探索，让学生领悟这样一个事实：比值相等，坡角就相等。】（三）如果两个坡角的对边与邻边的比值不相等，坡角又将怎样变化，梯子是陡、是缓呢？我们通过比较下面这组梯子的陡缓来探索。问题1、怎样判断哪个梯子更陡？学生先独立完成，然后集体交流，小组代表发言。【预设：学生展示全等、平移等方法证明出∠E＞∠A。从而比较出梯子的倾斜程度。】问题2：坡角的对边与邻边的比值与坡角之间有怎样的关系呢？问题3：这一结论的获得是在特殊的直角三角形中，那么，对于任意直角三角形是否都存在这样的变化规律呢？学生直观观察，几何画板演示，体验上述结论的正确性。总结：比值改变，坡角改变。4.引导学生归纳坡角与比值之间的函数关系，引入课题——锐角三角函数。总结坡角与比值之间的函数关系。ABC2m4mDEF5m2.5mABC2m4mEDF2.5m4m【设计意图：当比值不相等时，如何判断两个梯子陡缓问题。学生一般会经历这样的过程，先是直观判断，比值大的梯子比较陡；然后是给直观判断寻找逻辑理由，这就需要利用已有旧知识比较两角大小；三是提出质疑：对任意三角形来说结论都成立吗？借助几何画板验证结论成立。通过这一环节，让学生领悟到坡角和比值之间存在比值改变，坡角随着改变的对应关系。《数学课程标准》指出：“数学教学，应从学生已有的知识经验出发，让学生亲身经历参与特定的教学活动，获得一些体验，并且通过自主探索，合作交流，将实际问题抽象成数学模型，并对此进行解释和应用。”本环节围绕教学目标设计以上三个活动，旨在给学生提供丰富的学习素材，通过自主探究、合作交流，引导学生把先后两个发现结合起来，容易发现坡角和比值之间存在函数关系。引出正切的概念，实现目标的达成。】三、反馈矫正，巩固提升（一）定义的直接应用1、自主学习：正切的定义及表示方法2、反馈检测(1)如图(1)tanACBBC()ABBCAtan（）（2）如图(1)，Rt△ABC中，∠C=90°，则tantan1AB()（3）在正方形网格中，∠MＡN位置如图(2),则2tanA（）（二）锐角的对边、邻边和正切三量，知二求一Ａ组：1、Rt△ABC中，∠C=90°BC=13，AC=12，求tanB2、Rt△ABC中，∠C=90°BC=1，AB=2，求tanA3、Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，43tanA，求AB求AB。4、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=26，tanA=125,求AC和BC.总结归纳题型：________________【设计意图：1,2小题已知两边长求正切，3,4小题已知正切和一边，求其余边。其目的在于让学生动手练习，明晰解题思路，规范解题步骤。】Ｂ组：已知等腰三角形的底边8cm，腰长5cm，求底角A的正切值。ＡMN(2)ABC(1)BCA5cm8cm【设计意图：重在强调非直角三角形中，求角的正切值的方法：构造直角三角形。关注学生对正切概念的理解，是否知道构建直角三角形。】C组如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，作CD⊥AB于D.(1)tanA=——=——=——(2)若BD=8，CD=6，求tanA【设计意图：这组问题的设计是为了强化模型“双垂三角形”中，利用角等则值等进行转化，教师要关注学生对转化思想的理解以及数学建模的能力的培养。】D组：学以致用阅读小知识，然后解答后面的问题反思：判断山坡陡缓的方法：用坡角的正切——坡度。问题1：如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为120m，求山的坡度。问题2：判断甲乙两山坡，哪个更陡？【设计意图：学生自学小知识，独立解决问题１、问题２，教师关注学生能否在实际问题中抽象出几何图形，能否运用正切解决实际问题。】四、回顾总结，盘点收获这节课你学会了哪些知识？掌握了哪些思想、方法？【设计意图：给学生一个反思的机会，教师引导学生对本节课从内容上和学习方法上去进行归纳ＡＤＢＣ正切也经常用来描述山坡的坡度。坡面与水平面夹角称为坡角.坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(坡比).如图，有一山坡在水平方向上每前进100m，就升高60m，那么山坡的坡度(即坡角α的正切tanα)就是ABC100米60米ABC100米60米60100总结，使学生对本节课的知识进行及时的巩固，条理化，清晰化。通过总结与反思教会学生整理知识的能力，形成系统的知识体系，养成良好的学习习惯和思考和表达的能力。】五、达标检测，自我评价如图，平面直角坐标系中，点P（3，-4），OP与x轴的夹角为∠1，求tan∠1的值。【设计意图：通过随堂检测，及时了解学生对本节课知识的理解掌握程度。】P（3,-4）xO1y