(完整版)高考试题-一题多解.

12015年新课标卷一20题(辽宁盘锦刘扬)在直角坐标系xOy中，曲线2:4xCy与直线:0lykxaa交于M，N两点.（Ⅰ）当0k时，分别求C在点M和N处的切线方程；（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由.试题解析：（Ⅰ）由题设可得(2,)Maa，(22,)Na，或(22,)Ma，(2,)Naa.∵12yx，故24xy在x=22a处的到数值为a，C在(22,)aa处的切线方程为(2)yaaxa，即0axya.故24xy在x=-22a处的到数值为-a，C在(22,)aa处的切线方程为(2)yaaxa，即0axya.故所求切线方程为0axya或0axya.第一问比较基础，考察导数的几何意义，这里就不再阐述其他方法，主要研究第二问的解法（Ⅱ）解法1存在符合题意的点，证明如下：设P（0，b）为复合题意得点，11(,)Mxy，22(,)Nxy，直线PM，PN的斜率分别为12,kk.将ykxa代入C得方程整理得xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234NMPO22440xkxa.∴12124,4xxkxxa.由题意得021kk.21211221221111)(xxxxbxyxyxbyxbykk211121))((2xxxxbaxkx=04))4(221xxkbaak（,所以ab.所以(0,)Pa符合题意.解法二设点M），（4211xxN（），（4222xxP（0，b），由题意可知：044222121xbxxbx，所以0)4)4122221xbxxbx（（，即0)4-2121bxxxx）（（，所以0)4-21bxx（，由解法一a421xx，所以ab，所以(0,)Pa符合题意.解法一和解法二是常规思路，主要从斜率互为相反数，列出条件求解，只是解法二用抛物线的参数方程设点可以减少计算量，避免联立方程组，提高解题效率，可以尝试.解法三如图：由对称性可知点M关于y轴的对称点Q直线NP和抛物线的交点.设），），，），，（112211-((yxQyxNyxMP（0，b），PQN三点共线，1122xbyxby,以下同解法一.xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234QNMPO3解法四：），），，），，（112211-((yxQyxNyxM过点NQ的直线方程可以设为212212xxxxyyyy，令0x，解得211221211121)()xxxakxxakxxxxyxyy（=axxxkx21212=-a.即直线和y轴交于点P(0,b).解法三，四从对称性出发，利用整体代换的思想，简化运算，解法四利用直线过定点问题求出点P.本题可以推广一般结论：抛物线C:pxy22，点A(-m,0)，设不垂直于x轴的直线和C交于PQ两点，如果x轴是PAQ的平分线，则直线PQ过定点（m,0）.