初值问题的Euler方法和梯形法

学生实验报告实验课程名称偏微分方程数值解开课实验室数统学院学院数统年级2013专业班信计02学生姓名学号开课时间2015至2016学年第2学期总成绩教师签名数学与统计学院制开课学院、实验室：数统学院实验时间：2016年月日实验项目名称初值问题的Euler方法和梯形法实验项目类型验证演示综合设计其他指导教师曾芳成绩是一．实验目的通过该实验，要求学生掌握求解初值问题的欧拉法和梯形法，并能通过计算机语言编程实现这两种算法。二．实验内容考虑如下的初值问题：2,0,101duutdtu该问题有解析解2tut=e。1.用欧拉法求解该问题，取步长0.2,0.1,0.05h=，将3种步长的计算结果（,1,2,...,1/nt=nhnh时刻的计算结果），解析结果和相应的绝对误差列表显示。2.用梯形法求解该问题，取步长0.2,0.1,0.05h=，将3种步长的计算结果（,1,2,...,1/nt=nhnh时刻的计算结果），解析结果和相应的绝对误差列表显示。3.在同一种方法下，请说明哪种网格大小的计算结果更加精确，并说明理由。在相同的网格大小下，比较上述两种算法的计算结果，那种算法的结果要好一些，并说明理由。三．实验原理、方法（算法）、步骤欧拉法的迭代格式及误差估计：un+1=un+hf(tn,un).∣un-u(tn)∣=O(h)欧拉法：function[x,y]=euler(fun,x0,xfinal,y0,n)ifnargin5,n=50;endh=(xfinal-x0)/n;x(1)=x0;y(1)=y0;fori=1:nx(i+1)=x(i)+h;y(i+1)=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i));endx=x';y=y';x1=0:0.2:1y1=exp(2*x1)plot(x,y,x1,y1)functionf=doty(x,y);f=2*y[x,y]=euler('doty',0,1,1,10)梯形法：function[x,y]=tixing(fun,x0,xfinal,y0,n)ifnargin5,n=50;endh=(xfinal-x0)/n;x(1)=x0;y(1)=y0;fori=1:nx(i+1)=x(i)+h;y(i+1)=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i))y(i+1)=y(i)+h*(feval(fun,x(i),y(i))+feval(fun,x(i+1),y(i+1)))/2;endx=x';y=y';x1=0:0.2:1y1=exp(2*x1)plot(x,y,x1,y1)四．实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件Matlab五．实验结果及实例分析欧拉法输出分析：H=0.2计算值解析值误差1.00001.000001.40001.4918-0.09181.96002.2255-0.26552.74403.3201-0.57613.84164.9530-1.11145.37827.3891-2.0108H=0.11.00001.000001.20001.2214-0.02141.44001.4918-0.05181.72801.8221-0.09412.07362.2255-0.15192.48832.7183-0.23002.98603.3201-0.33413.58324.0552-0.47204.29984.9530-0.65325.15986.0496-0.88996.19177.3891-1.1973H=0.051.00001.000001.10001.1052-0.00521.21001.2214-0.01141.33101.3499-0.01891.46411.4918-0.02771.61051.6487-0.03821.77161.8221-0.05061.94872.0138-0.06502.14362.2255-0.08202.35792.4596-0.10172.59372.7183-0.12452.85313.0042-0.15103.13843.3201-0.18173.45233.6693-0.21703.79754.0552-0.25774.17724.4817-0.30444.59504.9530-0.35815.05455.4739-0.41955.55996.0496-0.48976.11596.6859-0.57006.72757.3891-0.6616梯形法输出分析：计算值解析值误差H=0.21.00001.000001.48001.4918-0.01182.16802.2255-0.05753.15043.3201-0.16974.54884.9530-0.40426.53427.3891-0.8548H=0.11.00001.000001.22001.2214-0.00141.48601.4918-0.00581.80741.8221-0.01472.19552.2255-0.03002.66392.7183-0.05443.22893.3201-0.09123.91014.0552-0.14514.73114.9530-0.22205.72016.0496-0.32956.91137.3891-0.4777H=0.051.00001.000001.10501.1052-0.00021.22081.2214-0.00071.34831.3499-0.00151.48901.4918-0.00291.64391.6487-0.00481.81471.8221-0.00742.00292.0138-0.01092.21022.2255-0.01532.43862.4596-0.02102.69022.7183-0.02812.96743.0042-0.03683.27273.3201-0.04743.60893.6693-0.06043.97934.0552-0.07594.38714.4817-0.09464.83624.9530-0.11685.33075.4739-0.14325.87526.0496-0.17446.47486.6859-0.21117.13497.3891-0.2541图像结果：其中绿线代表欧拉法，红线为梯度法，蓝线为解析解：H=0.2H=0.1H=0.05由图形结果易知梯形法的精度比欧拉法更高，更接近解析解。教师签名年月日