离心率的值和范围(答案-)

圆锥曲线的离心率的求值或取值范围(答案)【高考地位】圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点,有关离心率的试题,究其原因,一是贯彻高考命题“以能力立意”的指导思想,离心率问题综合性较强,灵活多变,能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力,能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容,具有数学的实用性和美学价值,也是以后进一步学习的基础.【方法点评】方法1定义法解题模板：第一步根据题目条件求出,ac的值第二步代入公式cea，求出离心率e.例1.若椭圆经过原点，且焦点为0,11F、0,32F，则其离心率为（）A.43B.32C.21D.41【答案】C设椭圆E：22221(0)xyabab的右顶点为A、右焦点为F，B为椭圆E在第二象限上的点，直线BO交椭圆E于点C，若直线BF平分线段AC，则椭圆E的离心率是【答案】13【解析】试题分析：如图3，设AC中点为M，连接OM，则OM为ABC△的中位线，于是OFM△AFB∽△，且||1||2OFFA，即1123ccaca．【变式1】已知1F和2F分别是双曲线22221xyab(0a,0b)的两个焦点,A和B是以O为圆心,以1||OF为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且2FAB是等边三角形,则该双曲线的离心率为().A.312B.31C.31D.2【答案】C考点：双曲线的简单性质【变式2】双曲线12222byax（0a，0b）的左右焦点分别为1F、2F，过2F的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若ABF1是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则2e（）A.221B.224C.225D.223【答案】C考点：双曲线的定义.【变式3】已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左，右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若双曲线上存在点P使asin∠PF1F2＝csin∠PF2F1，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．(1，2＋1)B．(1，3)C．(3，＋∞)D．(2＋1，＋∞)【答案】A【变式4】若双曲线22221xyab(0,0)ab上存在一点P满足以||OP为边长的正方形的面积等于2ab（其中O为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（）A．5(1,]2B．7(1,]2C．5[,)2D．7[,)2【答案】C【变式5】如图，1F、2F是双曲线)0,0(12222babyax的左、右焦点，过1F的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B.若2ABF为等边三角形，则双曲线的离心率为A.4B.7C.332D.3【答案】B【变式6】若椭圆经过点2,3，且焦点为），（），，（020221FF，则这个椭圆的离心率等于________．【答案】21【解析】试题分析：aPFPF2821，所以4a，2c，离心率21ace.考点：椭圆的定义和性质【变式7】如图,等腰梯形ABCD中,2ABDC,32AEEC.一双曲线经过C,D,E三点,且以A,B为焦点,则该双曲线离心率是________.【答案】7【变式8】过双曲线22221(0)xybaab的左焦点(,0)(0)Fcc作圆222xya的切线，切点为E，延长FE交抛物线24ycx于点P，O为坐标原点，若1()2OEOFOP，则双曲线的离心率为.【答案】152方法2方程法解题模板：第一步设出相关未知量；第二步根据题目条件列出关于,,abc的方程；第三步化简，求解方程，得到离心率.例2.已知双曲线22221(00)xyabab，的左、右焦点分别为1F，2F，P是准线上一点，且12PFPF，124PFPFab，则双曲线的离心率是（）Ａ．2Ｂ．3Ｃ．2Ｄ．3【变式1】已知双曲线22221xyab的渐近线方程为3yx，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于（）A.12B.22C.32D.1【答案】A考点：求椭圆的离心率【变式2】设双曲线222200xyabab－＝1＞，＞的渐近线与抛物线21y＝x＋相切，则该双曲线的离心率等于（）（A）3（B）2（C）5（D）6【答案】C【变式3】已知0ba，椭圆1C的方程为12222byax，双曲线2C的方程为22221xyab，1C与2C的离心率之积为23，则2C的渐近线方程为（）A.02yxB.02yxC.02yxD.02yx【变式4】已知双曲线22221(0,0)xyabab与函数(0)yxx的图象交于点P.若函数yx在点P处的切线过双曲线左焦点(1,0)F，则双曲线的离心率是（）A.512B.522C.312D.32【答案】A【变式5】已知双曲线22ax-22by=1(a0,b0)的左、右焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，若直线y=2x与双曲线的一个交点的横坐标为c，则双曲线的离心率为A.2+1B.3+1C.3+2D.2【答案】A考点：双曲线的离心率.【变式6】已知21,FF分别是双曲线C：22221(0,0)xyabab的左右焦点，以21FF为直径的圆与双曲线C在第二象限的交点为P，若双曲线的离心率为5，则21cosPFF等于().A．35B．34C．45D．56【变式7】设双曲线12222byax(a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若),(ROBOAOP，163，则该双曲线的离心率为（）A．332B．553C．223D．89【答案】A【解析】试题分析：试题分析：设双曲线右焦点坐标为)0,(c，由已知易得),(abccA，),(abccB，),(2abcP，由【变式8】过点(1,1)M作斜率为12的直线与椭圆C：22221(0)xyabab相交于A,B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为.[【变式9】如图，在平面直角坐标系xoy中，1212,,,AABB为椭圆22221(0)xyabab的四个顶点，F为其右焦点，直线12AB与直线1BF相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为▲.【答案】275e【变式10】已知双曲线)0,0(1:2222babyaxE的两条渐近线分别为xylxyl2:,2:21.（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线21,ll于BA,两点（BA,分别在第一，四象限），且OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由.[来源:学*科*网Z*X*X*K]若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为221416xy.以下证明:当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：221416xy也满足条件.]方法3借助平面几何图形中的不等关系解题模板：第一步根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，第二步将这些量结合曲线的几何性质用,,abc进行表示，进而得到不等式，第三步解不等式，确定离心率的范围.例3.已知椭圆的中心在O,右焦点为F，右准线为l，若在l上存在点M，使线段OM的垂直平分线经过点F，则椭圆的离心率的取值范围是（）A.1,22B.23,0C.1,23D.22,0[来源:学科网ZXXK]【答案】A【解析】如果注意到形助数的特点，借助平面几何知识的最值构建使问题简单化.【点评】离心率的范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系？可以利用方程和垂直平分线性质构建.利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化.【变式1】已知12,FF分别为双曲线)0,0(12222babyax的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若212PFPF的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A.1,3B.1,3C.3,3D.3,【答案】A考点：双曲线离心率。[来源:学§科§网Z§X§X§K]【变式2】已知椭圆22122:1(0)xyCabab与圆2222:Cxyb，若在椭圆1C上存在点P，使得由点P所作的圆2C的两条切线互相垂直，则椭圆1C的离心率的取值范围是（）A．1[,1)2B．23[,]22C．2[,1)2D．3[,1)2xyMFOl方法4借助题目中给出的不等信息解题模板：第一步找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等；[来源:Zxxk.Com]第二步列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.例4.已知椭圆22221(0)xyabab上一点A关于原点O的对称点为,BF为其右焦点，若,AFBF设,ABF且,,124则椭圆离心率的取值范围是.BoF1FAxy【答案】26[,]23【解析】左焦点为1F.连结11,AFBF可得四边形1AFBF是矩形，所以AOOFOBc.所以2ABc又,AFBF所以.2sin,2cosAFcBFc.又因为1AFBF，12AFAFa.所以【变式1】设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，焦点F到一条渐近线的距离为d，若||3FBd，则双曲线离心率的取值范围是（）A．(1,2]B．[2,)C．(1,3]D．[3,)【答案】A考点：双曲线的简单性质．]【变式2】已知椭圆221:12xyCmn与双曲线222:1xyCmn有相同的焦点，则椭圆1C的离心率e的取值范围为（）[来源:学科网ZXXK]A．2(,1)2B．2(0,)2C．(0,1)D．1(0,)2【答案】A【变式3】已知两定点(2,0)A和(2,0)B，动点(,)Pxy在直线:3lyx上移动，椭圆C以,AB为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A.226B.426C.213D.413【变式4】将离心率为1e的双曲线1C的实半轴长a和虚半轴长()bab同时增加(0)mm个单位长度，得到离心率为2e的双曲线2C，则（）A．对任意的,ab，12eeB．当ab时，12ee；当ab时，12eeC．对任意的,ab，12eeD．当ab时，12ee；当ab时，12ee【答案】D所以当ab时，12ee；当ab时，12ee.【考点定位】双曲线的性质，离心率.【名师点睛】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．分类讨论的时应做到：分类不重不漏；标准要统一，层次要分明；能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．【变式5】过椭圆C：)0(12222babyax的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若31＜k＜21,则椭圆的离心率的取值范围是.【变式6】已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为21,FF，且两条曲线在第一象限的交点为P，21FPF是以1PF为底边的等腰三角形，若12||1PF，椭圆与双曲线的离心率分别为21,ee，则121ee的取值范围是；【答案】),34(