两角和与差的正切公式

(1)如何利用两角差(和)的正、余弦公式导出两角差(和)的正切公式？(2)公式Tα±β的应用条件是什么？第二课时两角和与差的正切公式[新知初探]两角和与差的正切公式名称公式简记符号使用条件两角和的正切tan(α＋β)＝____________T(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)两角差的正切tan(α－β)＝_____________T(α－β)α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)[点睛]当tanα，tanβ，tan(α＋β)(或tan(α－β))中任一个的值不存在时，不能使用两角和(或差)的正切公式解决问题，应改用诱导公式或其他方法解题．tanα＋tanβ1－tanαtanβtanα－tanβ1＋tanαtanβ[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立．()(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ都成立．()√×2．已知tanα＝－34，则tan(π4－α)等于()A．－17B．－7C.17D．7答案：D3．若tanπ4－α＝3，则tanα的值为()A．－2B．－12C.12D．2答案：B4.tan17°＋tan43°1－tan17°tan43°＝________.答案：3[典例]求值：(1)tan(－15°)；(2)tan74°＋tan76°1－tan74°tan76°；(3)tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°.给角求值问题[解](1)tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝1－331＋33＝3－33＋3＝12－636＝2－3，tan(－15°)＝－tan15°＝3－2.(2)原式＝tan(74°＋76°)＝tan150°＝－33.(3)∵tan60＝3＝tan23°＋tan37°1－tan23°tan37°，∴tan23°＋tan37°＝3－3tan23°tan37°，∴tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°＝3.利用公式T(α±β)化简求值的两点说明(1)分析式子结构，正确选用公式形式：Tα±β是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“3”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tanπ4”，“3＝tanπ3”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．[活学活用]求值：(1)tan75°；(2)3－tan15°1＋3tan15°.解：(1)tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝1＋331－33＝3＋33－3＝12＋636＝2＋3.(2)原式＝tan60°－tan15°1＋tan60°tan15°＝tan(60°－15°)＝tan45°＝1.给值求值问题[典例]已知cosα＝45，α∈(0，π)，tan(α－β)＝12，求tanβ及tan(2α－β)．[解]∵cosα＝450，α∈(0，π)，∴sinα0.∴sinα＝1－cos2α＝1－452＝35，∴tanα＝sinαcosα＝3545＝34.∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tanα－β1＋tanα·tanα－β＝34－121＋34×12＝211，tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα＋tanα－β1－tanα·tanα－β＝34＋121－34×12＝2.给值求值问题的两种变换(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系实现求值．(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．[活学活用]1．设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为()A．－3B．－1C．1D．3解析：选A∵tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，∴tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝2，∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝31－2＝－3.2．已知sinα＋cosαsinα－cosα＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.解析：由条件知sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝3，则tanα＝2.因为tan(α－β)＝2，所以tan(β－α)＝－2，故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tanβ－α－tanα1＋tanβ－αtanα＝－2－21＋－2×2＝43.答案：43给值求角问题[典例]已知tanα＝2，tanβ＝－13，其中0απ2，π2βπ.(1)求tan(α－β)；(2)求α＋β的值．[解](1)因为tanα＝2，tanβ＝－13，所以tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝2＋131－23＝7.[解](2)因为tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝2－131＋23＝1，又因为0απ2，π2βπ，所以π2α＋β3π2，所以α＋β＝5π4.[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求tan(2α－β)的值．解：因为tan(α－β)＝7，tanα＝2，所以tan(2α－β)＝tanα－β＋tanα1－tanα－βtanα＝7＋21－7×2＝－913.2．[变条件，变设问]若本例条件变为：tanα＝13，tanβ＝17且α，β∈0，π2，求2α＋β的值．解：因为tanα＝13，tanβ＝17且α，β∈0，π2，∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝13＋171－13×17＝120，∴α＋β∈0，π2，2α＋β∈(0，π)，∴tan(2α＋β)＝tanα＋β＋tanα1－tanα＋βtanα＝12＋131－12×13＝1，∴2α＋β＝π4.解决给值求角问题的步骤(1)根据题设条件求角的某一三角函数值；(2)讨论角的范围，必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围，从而确定角的大小．