管理运筹学线性规划

经济管理学院1第一讲线性规划第一章线性规划的数学模型第一节线性规划一般模型第二节线性规划的图解法第三节线性规划的标准型第四节线性规划解的概念第二章线性规划的单纯形法第一节单纯形法原理第二节表格单纯形法第三节人工变量问题第四节单纯形法补遗第三章线性规划的对偶理论第四章线性规划灵敏性分析经济管理学院2第一章线性规划的数学模型•线性规划LinearProgrammingLP•规划论中的静态规划•解决有限资源的最佳分配问题•求解方法：图解法单纯形解法经济管理学院3第一章线性规划的数学模型第一节线性规划一般模型第二节线性规划的图解法第三节线性规划的标准型第四节线性规划解的概念经济管理学院4第一节线性规划一般模型一、线性规划问题的三个要素•决策问题待定的量值称为决策变量。决策变量的取值要求非负。•约束条件任何问题都是限定在一定的条件下求解，把各种限制条件表示为一组等式或不等式，称之为约束条件。约束条件是决策方案可行的保障。LP的约束条件，都是决策变量的线性函数。•目标函数衡量决策方案优劣的准则，如时间最省、利润最大、成本最低。目标函数是决策变量的线性函数。有的目标要实现极大，有的则要求极小。经济管理学院5第一节线性规划一般模型•例1.生产计划问题某厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，以及资源的限制，相关数据如表所示：问如何安排Ⅰ、Ⅱ两产品的产量，使利润为最大。二、线性规划模型的构建产品资源工时单耗ⅠⅡ资源限制设备原料A原料B112101300台时400千克250千克单位产品获利50元100元经济管理学院6第一节线性规划一般模型(1)决策变量。要决策的问题是Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量，因此有两个决策变量：设x1为Ⅰ产品产量，x2为Ⅱ产品产量。(2)约束条件。生产这两种产品受到现有生产能力的制约，原料用量也受限制。设备的生产能力总量为300台时，则约束条件表述为x1+x2≤300A、B两种原材料约束条件为2x1+x2≤400x2≤250•建立模型经济管理学院7第一节线性规划一般模型(3)目标函数。目标是利润最大化，用Z表示利润，则maxZ=50x1+100x2(4)非负约束。Ⅰ、Ⅱ产品的产量不应是负数，否则没有实际意义，这个要求表述为x1≥0，x2≥0•综上所述，该问题的数学模型表示为maxZ=50x1+100x2x1+x2≤3002x1+x2≤400x2≤250x1≥0,x2≥0S.t.经济管理学院8第一节线性规划一般模型某名牌饮料在国内有三个生产厂，分布在城市A1、A2、A3,其一级承销商有4个，分布在城市B1、B2、B3、B4，已知各厂的产量、各承销商的销售量及从Ai到Bj的每吨饮料运费为Cij，为发挥集团优势，公司要统一筹划运销问题，求运费最小的调运方案。•例2.运输问题销地产地B1B2B3B4产量A1A2A3632575843297523销量2314经济管理学院9第一节线性规划一般模型(1)决策变量。设从Ai到Bj的运输量为xij，(2)目标函数。运费最小的目标函数为minZ=6x11+3x12+2x13+5x14+7x21+5x22+8x23+4x24+3x31+2x32+9x33+7x34(3)约束条件。产量之和等于销量之和,故要满足：供应平衡条件x11+x12+x13+x14=5x21+x22+x23+x24=2x31+x32+x33+x34=3销售平衡条件x11+x21+x31=2x12+x22+x32=3x13+x23+x33=1x14+x24+x34=4非负性约束xij≥0(i=1,2,3；j=1,2,3,4)经济管理学院10第一节线性规划一般模型•用一组非负决策变量表示一个决策问题，•存在一定的等式或不等式的线性约束条件，•有一个希望达到的目标，可表示成决策变量的线性函数。可能是最大化，也可能是最小化。•线性规划一般模型的代数式为：三、线性规划的一般模型max(min)Z=c1x1+c2x2+…+cnxna11x1+a12x2+…+a1nxn≤(≥,＝)b1a21x1+a22x2+…+a2nxn≤(≥,＝)b2……………am1x1+am2x2+…+amnxn≤(≥,＝)bmx1,x2,…,xn≥(≤)0经济管理学院11第二节线性规划的图解法•图解法即是用图示的方法来求解线性规划问题。•一个二维的线性规划问题，可以在平面图上求解，三维的线性规划则要在立体图上求解，这就比较麻烦，而维数再高以后就不能图示了。一、图解法的基本步骤经济管理学院12第二节线性规划的图解法1.可行域的确定•例1的数学模型为maxZ=50x1+100x2x1+x2≤3002x1+x2≤400x2≤250x1≥0,x2≥0x2=2502x1+x2=400x1x2100200300100200300•五边形ABCDO内(含边界)的任意一点(x1，x2)都是满足所有约束条件的一个解，称之可行解。•满足所有约束条件的解的集合，称之为可行域。即所有约束条件共同围城的区域。400400x1+x2=300ABCDOz=0=50x1+100x2Z=27500=50x1+100x2经济管理学院13第二节线性规划的图解法2.最优解的确定•目标函数Z=50x1+100x2代表以Z为参数的一族平行线。•等值线：位于同一直线上的点的目标函数值相同。•最优解：可行解中使目标函数最优(极大或极小)的解。•最优值:取最优解时对应的目标函数值经济管理学院14第二节线性规划的图解法•由线性不等式组成的可行域是凸集(凸集的定义是：集合内部任意两点连线上的点都属于这个集合)。•可行域有有限个顶点。设规划问题有n个变量，m个约束，则顶点的个数不多于Cnm个。•目标函数最优值一定在可行域的边界达到，而不可能在其内部。二、几点说明经济管理学院15第二节线性规划的图解法三、解的可能性x1=82x2=123x1+4x2=36x1x248123690ABC(4,6)D例maxZ=3x1+4x2x1≤82x2≤123x1+4x2≤36x1≥0,x2≥0S.t.Z=24Z=36Z=12•唯一最优解：只有一个最优点。•多重最优解：无穷多个最优解。若在两个顶点同时得到最优解，则它们连线上的每一点都是最优解。经济管理学院16第二节线性规划的图解法•无界解：线性规划问题的可行域无界，使目标函数无限增大而无界。（缺乏必要的约束条件）三、解的可能性（续）例如maxZ=3x1+2x2-2x1+x2≤2x1-3x2≤3x1≥0,x2≥0-2x1+x2=2x1-3x2=3x2123-1x1123-1Z=6Z=12S.t.经济管理学院17第二节线性规划的图解法•无可行解：若约束条件相互矛盾，则可行域为空集三、解的可能性（续）例如maxZ=3x1+2x2-2x1+x2≥2x1-3x2≥3x1≥0,x2≥0-2x1+x2=2x1-3x2=3x2123-1x1123-1S.t.经济管理学院18第三节线性规划的标准型•线性规划问题的数学模型有各种不同的形式，如目标函数有极大化和极小化；约束条件有“≤”、“≥”和“＝”三种情况；决策变量一般有非负性要求，有的则没有。•为了求解方便，特规定一种线性规划的标准形式，非标准型可以转化为标准型。标准形式为：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项bi≥0，决策变量非负。一、标准型经济管理学院19第三节线性规划的标准型1.代数式二、标准型的表达方式有代数式、矩阵式：maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxna11x1+a12x2+…+a1nxn＝b1a21x1+a22x2+…+a2nxn＝b2……………am1x1+am2x2+…+amnxn＝bmx1,x2,…,xn≥0maxZ=cjxjaijxj＝bi(i=1,2,…,m)xj≥0(j=1,2,…,n)nj1nj1简记经济管理学院20第三节线性规划的标准型2.矩阵式0..maxXbAXtsXCZ),,,(21ncccC价值向量mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211技术矩阵mbbbb21资源向量nxxxX21决策向量经济管理学院21第三节线性规划的标准型•目标函数极小化问题minZ=CTX，只需将等式两端乘以-1即变为极大化问题。因为minZ=-max(-Z)=CTX，令Z′=-Z，则maxZ′=-CX•右端常数项非正两端同乘以-1•约束条件为不等式当约束方程为“≤”时，左端加入一个非负的松弛变量，就把不等式变成了等式；当约束条件为“≥”时，不等式左端减去一个非负的剩余变量(也可称松弛变量)即可。•决策变量xk没有非负性要求令xk=xk′-xk〃，xk=xk′，xk〃≥0，用xk′、xk〃取代模型中xk三、非标准型向标准型转化经济管理学院22第三节线性规划的标准型•例1的标准型•例1maxZ=3x1+5x2x1≤82x2≤123x1+4x2≤36x1≥0,x2≥0S.t.x1+x3=82x2+x4=123x1+4x2+x5=36x1,x2,x3,x4,x5≥0maxZ=3x1+5x2+0x3+0x4+0x5经济管理学院23minZ=x1+2x2+3x3′x1+2x2+x3′≤52x1+3x2+x3′≥6-x1-x2-x3′≥-2x1≥0,x3′≥0第三节线性规划的标准型•例minZ=x1+2x2-3x3x1+2x2-x3≤52x1+3x2-x3≥6-x1-x2+x3≥-2x1≥0,x3≤0标准化1S.t.经济管理学院24第三节线性规划的标准型标准化2minZ=x1+2(x2′-x2〃)+3x3′x1+2(x2′-x2〃)+x3′≤52x1+3(x2′-x2〃)+x3′≥6-x1-(x2′-x2〃)-x3′≥-2x1,x2′,x2〃,x3′≥0标准化3minZ=x1+2(x2′-x2〃)+3x3′x1+2(x2′-x2〃)+x3′≤52x1+3(x2′-x2〃)+x3′≥6x1+(x2′-x2〃)+x3′≤2x1,x2′,x2〃,x3′≥0经济管理学院25第三节线性规划的标准型标准化4minZ=x1+2(x2′-x2〃)+3x3′x1+2(x2′-x2〃)+x3′+x4=52x1+3(x2′-x2〃)+x3′≥6x1+(x2′-x2〃)+x3′≤2x1,x2′,x2〃,x3′,x4≥0标准化5minZ=x1+2(x2′-x2〃)+3x3′x1+2(x2′-x2〃)+x3′+x4=52x1+3(x2′-x2〃)+x3′-x5=6x1+(x2′-x2〃)+x3′≤2x1,x2′,x2〃,x3′,x4,x5≥0经济管理学院26第三节线性规划的标准型标准化6minZ=x1+2(x2′-x2〃)+3x3′x1+2(x2′-x2〃)+x3′+x4=52x1+3(x2′-x2〃)+x3′-x5=6x1+(x2′-x2〃)-x3′+x6=2x1,x2′,x2〃,x3′,x4,x5,x6≥0标准化7maxZ=-x1-2(x2′-x2〃)-3x3′+0x4+0x5+0x6x1+2(x2′-x2〃)+x3′+x4=52x1+3(x2′-x2〃)+x3′-x5=6x1+(x2′-x2〃)-x3′+x6=2x1,x2′,x2〃,x3′,x4,x5,x6≥0经济管理学院27第四节线性规划解的概念•可行解：满足约束条件AX=b,X≥0的解。•最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。•基m＜n，且m个方程线性无关，即矩阵A的秩为m；根据线性代数定理可知，n＞m，则方程组有多个解，这也正是线性规划寻求最优解的余地所在。一、线性规划解的概念经济管理学院28第四节线性规划解的概念•线性方程组的增广矩阵•例1的标准型maxZ=50x1+100x2+0x3+0x4+0x5x1+x2+x3=3002x1+2x2+x4=400x2+x5=250x1,x2,x3,x4,x5≥0250104000130000010