不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)课件

1不可约多项式的判定及应用摘要多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念.本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳,较为系统的给出不可约多项式的判定方法。对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein判别法、Kronecker判别法、Perron判别法、Browm判别法等。研究了各判定方法的等价和包含关系。此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。关键词不可约多项式；判定方法；应用2.不可约多项式的概念及性质2.1整除的概念设P是一个数域，对于Px中任意两个多项式()fx与()gx，其中()0gx，一定有Px中的多项式()qx，()rx存在，使得()()()()fxqxgxrx成立，其中(())(())rxgx或者()0rx，并且这样的()qx，()rx是唯一决定的。定义2.1数域P上的多项式()gx称为能整除()fx，如果有数域P上的多项式()hx使等式()fx=()()gxhx成立，我们用“()gx|()fx”表示()gx整除()fx，用“()gx|()fx”表示()gx不能整除()fx。定理2.1[1]对于数域P上的任意两个多项式()fx,()gx,其中()gx0,()gx|()fx的充分必要条件是()gx除()fx的余式为零。2证明:如果()rx=0那么()fx=()()qxgx,即()gx|()fx。反过来，如果()gx|()fx，那么()fx=()()qxgx=()()qxgx+0，即()rx=0。注1:带余除法中()gx必须不为零。下面介绍整除性的几个常用性质:（1）如果()fx|()gx,()gx|()fx,那么()()fxcgx，其中c为非零常数。（2）如果()fx|()gx,()gx|()hx，那么()fx|()hx（整除的传递性）。（3）()fx|()gx,()fx|()gx1,2,,ir，那么()fx|1122()()()()()()rruxgxuxgxuxgx，其中()iux是数域P上任意多项式。[1]2.2本原多项式若是一个整系数多项式()fx的系数互素，那么()fx叫做一个本原多项式。2.3有理数域上多项式的等价设()gx有理数域上的一个多项式，若()gx的系数不全是整数，那么以()gx系数分母的一个公倍数乘()gx就得到一个整系数多项式()fx。显然，多项式()gx与()fx在有理数域上同时可约或同时不可约。2.4多项式的不可约相关概念在中学我们学过一些具体方法，把一个多项式分解为不能再分的因式的乘积，但并没有深入探讨和讨论这个问题，并没有严格地论证它们是否真的不可再分，所谓不可再分的概念，其实不是绝对的，而是相对于系数的数域而言，有例如下把49x进行分解，可分解为49x2233xx3但这是相对于有理数域而言的，对于实数域来说还可分进一步为429333xxxx而在复数域上，还可以再进一步分解为493333xxixixx由此可见，必须明确系数域后，所谓的不可再分，才有确切的涵义。在下面的讨论中，仍然须选定一个数域P作为系数域，数域P上多项环P[]x中多项式的因式分解相关的不可约定义如下定义2.4.1数域P上的次数1的多项式()px称为域P上的不可约多项式，如果它不能表示成数域P上两个次数比()px的次数低的多项式的乘积。我们要谈的多项式的不可约性问题的相关事实如下（1）一次多项式总是不可约多项式;（2）一个多项式是否不可约是依赖于系数域的;（3）不可约多项式()px与任一多项式()fx之间只能是有两种关系，或者()px|()fx或者(),()1pxfx，事实上，如果(),()pxfx()dx，那么()dx或者是1，或者是()(0)cpxc，当()dx=()cpx时，就有()px|()fx。[1]2.5有理数域上不可约多项式的定义如果()fx是有理数域上次数大于零的多项式且不能表示成有理数域上两个次数比它低的多项式的乘积，则()fx称为有理数域上的不可约多项式。3.有理数域上不可约多项式的判定方法3.1Eisenstein判别法[1]在高等代数中，Eisenstein判别法是最为经典和著名的，也是现行有理数4域上不可约多项式判定判定方法中最为实用的。而人们长久以来的研究衍生出了许多不同的方法。3.1.1直接判别法[]2定理3.1.1设0()nnfxaxa是一个整系数多项式，其中1n，设存在一个素数p，使得p不整除na，p整除ia（in）但2p不整除0a，那么多项式()fx在有理数域上不可约。3.1.2间接判别法对于分圆多项式不能直接应用Eisenstein判别法，可以做适当的变形之后便可以应用了。在学习的过程中，面对此类问题，因为其系数较高，不能用定义法去判定。我们所学的也只有Eisenstein判别法，但不能直接运用。考虑到多项式的等价，对多项式我们可以做适当代换xayb，这样产生了Eisenstein判别法的间接判别法。定理3.1.2有理系数多项式()fx在有理数域上不可约的充分必要条件是:对于任意的有理数0a和b，多项式()faxb在有理数域上不可约。例1证明4()1fxx在Q上不可约。证明:4432(1)(1)14642fxxxxxx取2p，则p不整除1，p整除4,6,2，2p不整除2由Eisenstein判别法知(1)fx在Q上不可约，因此()fx在Q上不可约。3.1.3其他派生出的判别法这种由Eisenstein判别法派生出的方法与Eisenstein判别法相类似，能够用来判定Eisenstein判别法所不能判定的一类有理数域上的不可约多项式。定理3.1.3设1110()nnnnfxaxaxaxa是一个整系数多项式，如果存5在一个素数p，使p整除常数项0a但整除其他各项系数且2p不整除最高次数项系数，那么多项式在有理数上不可约。例2下列多项式在有理数域上是否可约？(1)21x；(2)4328122xxx；63(3)1xx(4)1pxpx，p为奇素数；4(5)41xkx，k为整数.解:(1)令1xy，则有22()(1)(1)122gyfyyyy取素数p=2，由于2|1,2|2,但是22|2故由Eisenstein判别法可知，()gy在有理数上不可约，从而()fx=21x在有理数域上也不可约。(2)取素数p=2,则2|1,2|-8,2|12，但是22|2故由Eisenstein判别法可知，该多项式在有理数域上也不可约。(3)令1xy，代入()fx=631xx,得65432()(1)615211893gyfyyyyyyy取素数p=3。由于3|1,3|6,3|15,3|21,3|18,3|9,3|3，但是23|3，故由Eisenstein判别法可知，()gy在有理数上不可约，从而()fx在有理数域上也不可约。(4)令1xy,代入()fx=1pxpx,得1122221()(1)pppppppppgyfyyCyCyCyCpyp由于p是素数，且|1,|ipppC,(1,2,,2)ip，1|+pppCp，2|pp，故由Eisenstein判别法可知，()gy在有理数上不可约，从而()fx在有理数域上也不可约。（5）令1xy，代入()fx=441,xkx得432()(1)46(44)42gyfyyyykyk6取素数p=2，由于2|1，又2|4,2|6,2|(4k+4)，2|(4k+2)，但22|(4k+2)，故由Eisenstein判别法可知，()gy在有理数上不可约，从而()fx在有理数域上也不可约。3.2Kronerker判别法[]2定理3.2.1设()fxQx，这里Q为有理数域。则在有限步下()fx能分解成不可约多项式的乘积。（只考虑整系数多项式的情形）例3证明5()1fxx在Q上不可约。证明：522s取0121,,0,1aaa，则(1)0,(0)1,(1)2fff(1)0,(0)1,(1)2fff从而(1)f的因子是0，(0)f的因子是1，(1)f的因子是1，故令(1)0,(0)1,(1)1;(1)0,(0)0,(1)2gggggg应用插值多项式：212(1)(1)(1)(0)1()0(2)(01)(01)(11)(10)2(1)(1)2(1)(0)()01(01)(01)(11)(10)xxxxgxxxxxxxgxx由带余除法可知，1()gx不整除()fx，2()gx不整除()fx，所以()fx在Q上不可约。3.3Perron判别法[]3定理3.3.1设12120(),0nnnnnfxxaxaxaa是多项式，如果712310||1||||||||nnnaaaaa，则()fx在Q上不可约。例4证明542()41fxxxx在Q上不可约证明：该题不满足艾森斯坦判别法，但其为整系数多项式，满足Perron判别法的条件，由题意可知411，所以据Perron判别法可知该多项式在Q上不可约。3.4Brown判别法[]3定理3.4.1设()fx是n次整系数多项式，令(){|(1)|,|(0)|,(1)}Sffff1N表示()Sf中1的个数，pN表示()Sf中的素数的个数，如果124pNNn，则()fx在Q上不可约。例5证明32()21fxxxx在Q上不可约证明：(0)1,(1)1,(1)5,(2)13,(2)23,(3)47ffffff14,2pNN故p12843NN所以多项式在Q上不可约。3.5多项式无有理因式判别法[]7定理3.5.1设01()nnfxaaxax是一个整系数多项式，若()fx没有次数小于和等于r的有理因式，并且存在素数p，使：（1）p至少不整除1,,,nnnraaa中的一个（2）|,0,1,2,,1ipainr（3）20|pa8那么，()fx在有理数域上不可约。定理3.5.2设01()nnfxaaxax是一个整系数多项式，若()fx没有次数小于和等于r的有理因式，并且存在素数p，使：（1）p至少不整除01,,,raaa中的一个（2）|,1,2,ipairrn（3）2|npa那么，()fx在有理数域上不可约。这种方法在应对没有不小于二次的有理因式的判定时，因为其需要计算机计算来得到，所以在此种情况下，没有克罗奈克的方法更加的简便。3.6模p约化处理判定法[]8定理3.6.101()[](0,2)nnnfxaaxaxZxan，p是素数，2101201|,|,,,,|,|nnnpapaaapapab，其中0|naabp，则()fx在[]Qx中不可约。定理3.6.201()[](0,2)nnnfxaaxaxZxan，p是素数，21231|,|,,,,|,|nnpapaaapapab，其中0|naabp，则()fx在[]Qx中不可约。定理3.6.301()[](0,2)nnnfxaaxaxZxan，p是素数，2011101|(0),|,,,,,,,|,,|jjjnnpajnpaaaaapaapab其中02|naabp，则()fx在[]Qx中不可约。定理3.6.401()[](0,3)nnnfxaaxaxZxan，p是素数，21011230112,|,,|,,,,,,,,|,,|,iiiiinniiinpaapaaaaaapaapabab