专题7：分式方程及其应用

数学电子教案考点课标要求难度分式方程的概念1．知道分式方程的概念，会识别分式方程；2．理解分式方程中产生增根（无解）的情况．较难分式方程的解法1．知道解分式方程的一般步骤；2．掌握应用“去分母”和“换元”将分式方程转化为整式方程，领会解分式方程“整式化”的化归思想；3．掌握分式方程的验根方法，注意解分式方程时可能会出现增根，解方程后一定要验根.中等考点课标要求难度分式方程的应用1．分式方程来解决简单的实际问题；2．在列分式方程应用题求解检验时，不仅要考虑是否产生了增根，还要考虑是否符合题意（实际情况）.中等题型预测分式方程考查内容相对比较集中，如分式方程的增根或无解问题、解分式方程问题和分式方程的应用问题，除了应用问题常出现在解答题中外，其余基本以填空、选择的形式出现，其中与增根有关的问题难度较大．1．_____里含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的增根必须满足两个条件：（1）使原分式方程的______________为零；（2）是原分式方程去分母后所得的___________．分母某一个分母整式方程的根3．解分式方程的基本思路：将分式方程化为______________方程．4．解分式方程的一般步骤是：（1）在方程的两边都乘____________，约去分母，化成____________；（2）解这个____________；（3）把解得的根代入____________，看结果是不是零，使____________为零的根是原方程的____________，必须舍去．整式最简公分母整式方程整式方程最简公分母增根最简公分母5．列分式方程解应用题的一般步骤：①审：审清题意；②设：设未知数；③找：找出__________；④列：列出__________；⑤解：解这个分式方程；⑥验：既要验证根是否为_____________，又要检验根_____________；⑦答：写出答案.等量关系分式方程原分式方程的根是否符合题意考点1分式方程的有关概念（考查频率：★☆☆☆☆）命题方向：（1）分式方程有增根、无解问题；（2）分式方程的解为正数或负数的讨论．－8考点2解分式方程（考查频率：★★★☆☆）命题方向：（1）注重对解分式方程过程的考查；（2）以计算题的形式考查分式方程解法．D解：去分母得：x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3，去括号得：x2＋2x－x2－x＋2＝3，解得：x＝1，经检验:x＝1是增根，原分式方程无解．考点3分式方程的应用（考查频率：★★★☆☆）命题方向：列分式方程解决应用问题。5．（2013山东泰安）某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入了该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件个数是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x个，根据题意可得方程为（）B6．（2013湖北十堰）甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字，问：甲、乙两人每分钟各打多少个字？思路1：方程两边同时乘以最简公分母x－2，转化为整式方程求解并检验．思路2：可看作分式的值为0解决．【思维模式】解决此类问题有两个途径，一是当作分式值为零来处理；二是当作分式方程来求解．A解：方程两边都乘以x－1，得2x＝x－1＋1，移项、合并，得x＝0，经检验，x＝0是原方程的解．【解题思路】方程两边都乘以x－1，将分式方程转化为整式方程来解即可．【思维模式】解分式方程的基本思路是通过去分母，将分式方程转化为整式方程来解．另外，解分式方程时，检验是必不可少的重要步骤之一，因为在方程两边都乘以最简公分母时，容易产生增根（是整式方程的根，但不是分式方程的根，也可以说是使最简公分母为0的根）．【必知点】解分式方程应按三步走：一去（利用等式的性质1，将方程两边都乘以最简公分母，将方程中的分母去掉）；二解（解整式方程）；三验（将解得的整式方程的根代入原方程检验或代入最简公分母时检验）．B【解题思路】先解分式方程，用含a的代数式表示x，再根据x是“非正数”建立不等式求出a的范围．解出a的取值范围要注意分式的分母不能为0．【思维模式】分式方程解是非正数问题，可考虑先求出这个方程的解，然后让这个解为非正数，且确保这个解不能是增根．D例4：（2013湖南娄底）为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4800元.已知甲、乙两车单独运完此垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元.（1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？【解题思路】（1）首先把总工作量看作单位“1”，设好甲车、乙车单独完成所需趟数，表示出甲车、乙车的工作效率，再表示出甲车、乙车12趟完成的工作量，根据等量关系“甲车的工作量＋乙车的工作量＝总工作量”列出方程．（2）根据“甲车12趟所需费用＋乙车12趟所需费用＝4800”求出甲车、乙车每趟所需费用，再计算单独租用一种车完成所需费用进行比较.【思维模式】1.在列方程解决实际问题时，一是要注意审题，找到题目中的相等关系；二是设未知数注意选择和题目中各个量关系都密切的量，注意根据问题情况灵活选择设法.如直接设、间接设，设多元等；三是求分式方程的解．2.验根应从两个方面出发：一方面是方程的本身，另一方面是实际问题，根既要使方程的本身有意义，又要符合实际意义.四是合算的问题就是方案选择问题，也就是比较谁少的问题，一定要把方案选择转化为求那几个量，再进行计算比较.【易错点睛】分式方程转化为整式方程，由于去分母使未知数的取值范围发生了变化，有可能产生增根，因此在解分式方程时一定要验根，如果不验根，极有可能误将x＝2当作方程的根．【解题思路】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行计算，注意最终结果一定要检验．【易错点睛】在去分母时，容易将1漏乘(x－3)，从而得到错误的整式方程2x＋1＝1－2．【解题思路】将k看作已知数，解分式方程，用含k的代数式表示出分式方程的解，然后根据方程的解是负数和方程根不能是增根确定k的取值范围．【易错点睛】在分式方程中，若未知数的取值使得原分式方程中的分式的分母为零，即为增根，因此，本题中要使方程的解为负数，除了k＜3外，还必须考虑原分式方程的分母不等于0.