双参数、存在性与任意性问题

主页山东省临沂第一中学Shandonglinyidiyizhongxue函数中的双参数问题主页【01】设函数)0(ln)(2xbxxaxf.（1）若函数)(xf在1x处的切线方程为12y,求函数)(xf在),0(上的最大值；（2）当0b时,不等式()fxmx≥对所有的3[0,]2a,2(1,e]x恒成立，求实数m的取值范围.2012.10.8主页解：(1)()2(0),afxbxxx由已知(1)20,1(1),2fabfb∴1,1.2ab解：(1)()2(0),afxbxxx由已知(1)20,1(1),2fabfb∴1,1.2ab主页（2）0b时，xaxfln)(，∴()fxmx≥，即为lnaxmx≥，∴lnmaxx≤对3[0,]2a恒成立.令xaxah)(ln)(∵21ex≤,∴0lnx,∴)(ah的最小值为xh)0(.（2）0b时，xaxfln)(，∴()fxmx≥，即为lnaxmx≥，∴lnmaxx≤对3[0,]2a恒成立.令xaxah)(ln)(∵21ex≤,∴0lnx,∴)(ah的最小值为xh)0(.（2）0b时，xaxfln)(，∴()fxmx≥，即为lnaxmx≥，∴lnmaxx≤对3[0,]2a恒成立.令xaxah)(ln)(∵21ex≤,∴0lnx,∴)(ah的最小值为xh)0(.（2）0b时，xaxfln)(，∴()fxmx≥，即为lnaxmx≥，∴lnmaxx≤对3[0,]2a恒成立.令xaxah)(ln)(∵21ex≤,∴0lnx,∴)(ah的最小值为xh)0(.（2）0b时，xaxfln)(，∴()fxmx≥，即为lnaxmx≥，∴lnmaxx≤对3[0,]2a恒成立.令xaxah)(ln)(∵21ex≤,∴0lnx,∴)(ah的最小值为xh)0(.（2）0b时，xaxfln)(，∴()fxmx≥，即为lnaxmx≥，∴lnmaxx≤对3[0,]2a恒成立.令xaxah)(ln)(∵21ex≤,∴0lnx,∴)(ah的最小值为xh)0(.∴mx≤对2(1,e]x恒成立.∵2e1x≤,∴2e.m≤所以实数m的取值范围是2(,e].∴mx≤对2(1,e]x恒成立.∵2e1x≤,∴2e.m≤所以实数m的取值范围是2(,e].∴mx≤对2(1,e]x恒成立.∵2e1x≤,∴2e.m≤所以实数m的取值范围是2(,e].∴mx≤对2(1,e]x恒成立.∵2e1x≤,∴2e.m≤所以实数m的取值范围是2(,e].主页（2）另解：0b时，xaxfln)(，∴()fxmx≥，即为lnaxmx≥，∴lnmaxx≤对2(1,e]x恒成立.令()ln,hxxax则min().mhx≤()1.axahxxx①当312a≤≤时,()hx在(1,)a上单调递增,在2(,e)a上单调递减，22(1)1,(e)e21,hha22min()(e)e2;hxha（2）另解：0b时，xaxfln)(，∴()fxmx≥，即为lnaxmx≥，∴lnmaxx≤对2(1,e]x恒成立.令()ln,hxxax则min().mhx≤()1.axahxxx①当312a≤≤时,()hx在(1,)a上单调递增,在2(,e)a上单调递减，22(1)1,(e)e21,hha22min()(e)e2;hxha（2）另解：0b时，xaxfln)(，∴()fxmx≥，即为lnaxmx≥，∴lnmaxx≤对2(1,e]x恒成立.令()ln,hxxax则min().mhx≤()1.axahxxx①当312a≤≤时,()hx在(1,)a上单调递增,在2(,e)a上单调递减，22(1)1,(e)e21,hha22min()(e)e2;hxha（2）另解：0b时，xaxfln)(，∴()fxmx≥，即为lnaxmx≥，∴lnmaxx≤对2(1,e]x恒成立.令()ln,hxxax则min().mhx≤()1.axahxxx①当312a≤≤时,()hx在(1,)a上单调递增,在2(,e)a上单调递减，22(1)1,(e)e21,hha22min()(e)e2;hxha①当312a≤≤时,()hx在(1,)a上单调递增,在2(,e)a上单调递减，22(1)1,(e)e21,hha22min()(e)e2;hxha①当312a≤≤时,()hx在(1,)a上单调递增,在2(,e)a上单调递减，22(1)1,(e)e21,hha22min()(e)e2;hxha①当312a≤≤时,()hx在(1,)a上单调递增,在2(,e)a上单调递减，22(1)1,(e)e21,hha22min()(e)e2;hxha①当312a≤≤时,()hx在(1,)a上单调递增,在2(,e)a上单调递减，22(1)1,(e)e21,hha22min()(e)e2;hxha主页②当01a≤≤时，()hx在2(1,e)上单调递减，22min()(e)e2hxha．2e2ma≤在3[0,]2a上恒成立，222ee2e3,a≤≤∴2e.m≤所以实数m的取值范围是2(,e].②当01a≤≤时，()hx在2(1,e)上单调递减，22min()(e)e2hxha．2e2ma≤在3[0,]2a上恒成立，222ee2e3,a≤≤∴2e.m≤所以实数m的取值范围是2(,e].②当01a≤≤时，()hx在2(1,e)上单调递减，22min()(e)e2hxha．2e2ma≤在3[0,]2a上恒成立，222ee2e3,a≤≤∴2e.m≤所以实数m的取值范围是2(,e].②当01a≤≤时，()hx在2(1,e)上单调递减，22min()(e)e2hxha．2e2ma≤在3[0,]2a上恒成立，222ee2e3,a≤≤∴2e.m≤所以实数m的取值范围是2(,e].②当01a≤≤时，()hx在2(1,e)上单调递减，22min()(e)e2hxha．2e2ma≤在3[0,]2a上恒成立，222ee2e3,a≤≤∴2e.m≤所以实数m的取值范围是2(,e].②当01a≤≤时，()hx在2(1,e)上单调递减，22min()(e)e2hxha．2e2ma≤在3[0,]2a上恒成立，222ee2e3,a≤≤∴2e.m≤所以实数m的取值范围是2(,e].主页lnaxmx≥lnmxax≤0lnmxx≤0mx≤()mx≤2e.m≤（2）另解：0b时，xaxfln)(，∴()fxmx≥，即为lnaxmx≥，∴lnmaxx≤对2(1,e]x恒成立.令()ln,hxxax则min().mhx≤()1.axahxxx①当312a≤≤时,()hx在(1,)a上单调递增,在2(,e)a上单调递减，22(1)1,(e)e21,hha22min()(e)e2;hxha主页山东省临沂第一中学Shandonglinyidiyizhongxue函数中的存在性与任意性问题主页【2】已知函数14341ln)(xxxxf．（Ⅰ）求函数)(xf的单调区间；（Ⅱ）设42)(2bxxxg，若对任意)2,0(1x，2,12x，不等式)()(21xgxf恒成立，求实数b的取值范围．2012.10.8主页解:(1)14341ln)(xxxxf的定义域是(0,),22243443411)(xxxxxxf由0x及0)(xf得31x；由0x及0)(xf得310xx或，故函数)(xf的单调递增区间是)3,1(；单调递减区间是),3(,)1,0(.解:(1)14341ln)(xxxxf的定义域是(0,),22243443411)(xxxxxxf由0x及0)(xf得31x；由0x及0)(xf得310xx或，故函数)(xf的单调递增区间是)3,1(；单调递减区间是),3(,)1,0(.解:(1)14341ln)(xxxxf的定义域是(0,),22243443411)(xxxxxxf由0x及0)(xf得31x；由0x及0)(xf得310xx或，故函数)(xf的单调递增区间是)3,1(；单调递减区间是),3(,)1,0(.解:(1)14341ln)(xxxxf的定义域是(0,),22243443411)(xxxxxxf由0x及0)(xf得31x；由0x及0)(xf得310xx或，故函数)(xf的单调递增区间是)3,1(；单调递减区间是),3(,)1,0(.解:(1)14341ln)(xxxxf的定义域是(0,),22243443411)(xxxxxxf由0x及0)(xf得31x；由0x及0)(xf得310xx或，故函数)(xf的单调递增区间是)3,1(；单调递减区间是),3(,)1,0(.解:(1)14341ln)(xxxxf的定义域是(0,),22243443411)(xxxxxxf由0x及0)(xf得31x；由0x及0)(xf得310xx或，故函数)(xf的单调递增区间是)3,1(；单调递减区间是),3(,)1,0(.主页（II）若对任意)2,0(1x,2,12x,不等式)()(21xgxf恒成立，问题等价于maxmin)()(xgxf，由（I）可知，在(0,2)上，1x是函数极小值点，也是最小值点，所以min1()(1)2fxf；2()24,1,2gxxbxx当1b时，max()(1)25gxgb；当12b时，2max()()4gxgbb；当2b时，max()(2)48gxgb；问题等价于11252bb或212142bb或21482bb解得1b或1412b或b即142b，所以实数b的取值范围是14,2（II）若对任意)2,0(1x,2,12x,不等式)()(21xgxf恒成立，问题等价于maxmin)()(xgxf，由（I）可知，在(0,2)上，1x是函数极小值点，也是最小值点，所以min1()(1)2fxf；2()24,1,2gxxbxx当1b时，max()(1)25gxgb；当12b时，2max()()4gxgbb；当2b时，max()(2)48gxgb；问题等价于11252bb或212142bb或21482bb解得1b或1412b或b即142b，所以实数b的取值范围是14,2（II）若对任意)2,0(1x,2,12x,不等式)()(21xgxf恒成立，问题等价于maxmin)()(xgxf，由（I）可