数模作业4(讨论题)

数学模型讨论作业第1页共5页姓名：晏福刚学号：20102183班级：数学一班一、问题描述某部门现有资金10万元，五年内有以下投资项目供选择：项目A：从第一年到第四年每年初投资，次年末收回本金且获利15%；项目B：第三年初投资，第五年末收回本金且获利25%，最大投资额为4万元；项目C：第二年初投资，第五年末收回本金且获利40%，最大投资额为3万元；项目D：每年初投资，年末收回本金且获利6%；问如何确定投资策略使第五年末本息总额最大？二、问题分析本题为投资组合问题，且属于数学规划问题。其中项目A前4年每年初都可以进行投资但只能在第二年末才能收回本利息。B、C在五年中只能进行投资一次，分别在第三年、第四年初进行投资均在第五年末收回且有金额限定。D项目每年初进行投资，每年末就能收回本利息。并且在本题中并没有涉及到风险的问题，所以不考虑有损失。在此题中首先目标是使第五年末的本息最大，约束条件为总的金额及个项目投资金额的限制。三、模型假设①假设每项投资不存在风险，不会出现损失。②在投资中一旦投资，就在上面题中所说的时间收回本利息，不考虑中途撤销资金投资的情况。四、符号假设x1i第i年用于A项目的投资金额x2第三年用于B项目的投资金额x3第二年用于C项目的投资金额x4j第j年用于D项目的投资金额五、模型建立1.约束条件和目标函数的建立首先假设第i年用于投资A项目的资金为x1i(i=1、2、3、4)。第三年投资B项目的资金为x2（由于B项目投资条件的限定在五年内只能进行一次投资）。第2年投资C项目的金额为x3。D项目第i年投资金额为x4j(j=1、2、3、4、5)。那么五年内的投资情况及收益情况将如下表所示：第一年第二年第三年第四年第五年收益Ax11x12x13x140x14(1+15%)B00x200x2(1+25%)C0x3000x3(1+15%)Dx41x42x43x44x45x45(1+6%)数学模型讨论作业第2页共5页下面对上述表格进行具体的表述：总的资金为10万。（以下单位均为：万元）第一年初：可投资金额：10万可投资项目：A、D项目A的投资金额：x11（将在第二年末收回）D的投资金额：x41则必有x11+x41=10第一年错误!未指定书签。末：收回D项目的本利息：x41*(1+6%)第二年初：可投资金额：x41*(1+6%)可投资项目：A、C、D项目A的投资金额：x12（将在第三年末收回）C的投资金额：x3（将在第五年末收回且x33）D的投资金额：x42则必有x12+x3+x42=x41(1+6%)第二年末：收回第一年A项目的本利息：x11(1+15%)第二年D的本利息：x42(1+6%)总的收回：x11(1+15%)+x42(1+6%)第三年初：可投资金额：x11(1+15%)+x42(1+6%)可投资项目：A、B、D项目A的投资金额：x13（将在第四年末收回）B的投资金额：x2（将在第五年末收回且x24）D的投资金额：x43则必有x13+x2+x43=x11(1+15%)+x42(1+6%)第三年末：收回第二年A项目的本利息：x12(1+15%)第三年D项目的本利息：x43(1+6%)总的收回x12(1+15%)+x43(1+6%)第四年初：可投资金额：x12(1+15%)+x43(1+6%)可投资项目：A、D项目A的投资金额：x14（第五年末收回）D的投资金额：x44则必有x14+x44=x12(1+15%)+x43(1+6%)第四年末：收回第三年A项目的本利息：x13(1+15%)第四年D项目的本利息：x44(1+6%)总的收回x13(1+15%)+x44(1+6%)第五年初：可投资金额：x13(1+15%)+x44(1+6%)可投资项目：D项目D的投资金额：x45=x13(1+15%)+x44(1+6%)第五年末：收回C项目的本利息:x3(1+40%)B项目本利息：x2(1+25%)第四年A项目的本利息：x14(1+15%)第五年D项目的本利息;[x13(1+15%)+x44(1+6%)]*(1+6%)则五年的本息总额为：y=x3(1+40%)+x2(1+25%)+x14(1+15%)+[x13(1+15%)+x44(1+6%)]*(1+6%)由以上分析整个模型的目标函数为：Maxy=x3(1+40%)+x2(1+25%)+x14(1+15%)+[x13(1+15%)+x44(1+6%)]*(1+6%)数学模型讨论作业第3页共5页整理得Maxy=1.4x3+1.25x2+1.15x14+1.219x13+1.1236x44约束条件整理为：x11+x41=10x12+x3+x42=x41(1+6%)x13+x2+x43=x11(1+15%)+x42(1+6%)x14+x44=x12(1+15%)+x43(1+6%)x33x24(所有变量均大于0)首先将上述约束条件转化为x11=10-x41①x3=1.06x41-x12-x423②x2=1.15x11+1.06x42-x13-x434③x14+x44-1.15x12-1.06x43=0④将①带入③得x2=1.06x42-1.15x41-x43-x13+11.54⑤将②⑤式带入目标函数得Maxy=0.0465x41-1.4x12-0.075x42-0.031x13-1.25x43+1.15x14+1.1236x44+14.3750;由以上转换整个模型变为以下线性规划模型：Maxy=0.0465x41-1.4x12-0.075x42-0.031x13-1.25x43+1.15x14+1.1236x44+14.3750;S.t.1.06x41-x12-x42-30;1.06x42-1.15x41-x43-x13+7.50;x14+x44-1.15x12-1.06x43=0;x410;x120;x420;x130;x430;x140;x440;六、模型求解以上模型为线性规划模型，我们可以用Lingo或者Matlab软件进行求解Lingo程序如下：model:max=0.0465*x41-1.4*x12-0.075*x42-0.031*x13-1.25*x43+1.15*x14+数学模型讨论作业第4页共5页1.1236*x44+14.3750;1.06*x41-x12-x42-30;1.06*x42-1.15*x41-x43-x13+7.50;x14+x44-1.15*x12-1.06*x43=0;x410;x120;x420;x130;x430;x140;x440;end求解结果为：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:14.37500Totalsolveriterations:2VariableValueReducedCostX416.5217390.000000X123.9130430.000000X420.0000000.3036000E-01X130.0000000.000000X430.0000000.000000X144.5000000.000000X440.0000000.2640000E-01RowSlackorSurplusDualPrice114.375001.00000020.0000000.7750000E-0130.0000000.3100000E-0140.000000数学模型讨论作业第5页共5页1.15000056.5217390.00000063.9130430.00000070.0000000.00000080.0000000.00000090.0000000.000000104.5000000.000000110.0000000.000000七、结果分析由以上结果第五年获得的最大本利息为：14.37500其中当X41=6.521739X12=3.913043X42=0.000000X13=0.000000X43=0.000000X14=4.500000X44=0.000000时，取得最大值。再由x11=10-x41x3=1.06x41-x12-x42x2=1.15x11+1.06x42-x13-x43x14+x44-1.15x12-1.06x43=0我们可以算出其他变量的值，进而得到使得五年后本利息最大的投资策略。具体如下表（以上值按四舍五入计算保留四位，单位：万元）：即最有投资策略为：第一年分别投资A项目3.4783万元D项目6.5217万元第二年分别投资A项目3.9130万元C项目3万元第三年只投资B项目4万元第四年只投资A项目4.5万元第一年第二年第三年第四年第五年A3.47833.913004.50000B004.000000C03.0000000D6.52170000