住房与租房的数学建模

住房与租房的数学建模队长：逯瑶瑶组员：吴陈林蔡亚刚1住房与租房的数学建模摘要目前，房屋是我们生活中必不可少的避风港，买房还是租房一直是人们关注的热点，在买房或租房中该如何选择，成为人们迫切解决的问题。关于工作两年的夫妻买房还是租房哪个更划算，买房和租房成为我们生活中需要认真思考的一个问题，到底是买房合适还是租房合适，首先我们要知道买房和租房的优缺点。前提条件是无外界资助，工作地点在徐州百货大楼附近区域，贷款购买。如果买房，月工资各4000的他们，只能在徐州市区附近买，这一些列问题现在给出如下的解决方案。考虑到购房租房成本，上下班距离成本，自然环境以及消费成本，各个银行利率的对比，选择一个较为合理的银行，贷款银行及他们的利率和还款方式通过计算进行对比分析，租房就要考虑房租增长情况，租房面积以及租房的地理位置。给定一个假设的年限，通过计算除过日常开支后规定年限内租房和还款金额的一个比较，把问题进行最优化。本文对问题B题给出的租房还是买房进行研究展开讨论，利用数学模型进行求解。对于问题一，对与居民关系紧密的住房价格进行研究，选取租房/买房成本，环境友好程度，距离成本，生活质量作为主要影响因素，并从这四个方面建立综合评价模型，并借助Matlab软件对模型进行了合理的理论证明和推导。对于问题二，改变条件对模型的分析，两个人的月工资总和上涨为16000，改变问题一中小区的选取标准，将数据代入到问题一中模型进行求解，构建综合评价模型，计算得到最优解。关键字：动态加权递归综合评价模型指标无量纲化最优解问题重述1.1问题背景随着房价的不断变化，对于刚工作的年轻人来说，需要考虑的重要问题是买房与租房问题，究竟哪个更划算？一边是房价不停上涨，一边是银行不断加息——楼市调控举措的频频“出拳”，让不少人陷入了究竟是买房还是租房更为划算的困惑中。1.2问题提出现以在徐州市刚工作2年的夫妻为例，在没有父母亲资助的条件下，现面临买房还是租房的选择，以两人的收入积累，只能购买徐州市区附近的房子，且以贷款方式购买，两人都在徐州市百货大楼附近区域工作，收入4000元/人，1、请从购房租房成本，上下班距离成本，自然环境，购物环境，消费成本等方面考虑，建立综合评价模型，量化分析说明是买房还是租房更划算？22、如果两人收入增加为8000元/人，对结果是否有改变？给出一个合理计划。如果买房，买哪个小区比较合适？3、请根据以上结论，给出一份建设性报告。一、模型假设2.1、通胀为零：由于通胀难以量化，且在70年间更为可能的情况是既存在通货膨胀，又存在通货紧缩。因此将其忽略。但我会采用不同利率来标示利率对购房或者租房收益的影响。2.2、连续出租假设：假设房屋一直在被出租，且租金未随时间变化。2.3、假设现在夫妻两人现在25岁，65岁退休。2.4、假设从现在起到买房期间的房价，银行贷款的利率是不发生变化的（因为没有考虑工资的变动问题和通胀问题因此该假设是合理的）2.5、假设夫妻两人居住房子大小为100m2二、符号说明s：每人每月的工资x：从现在到买房的年数m：每月的生活费用z：每个月的生活花费占每月结余的百分比a：房子的租金b：购买房子的房价r：贷款的年利率l：居住地点到上班地点的距离3nY：表示买房后n年银行未还清的贷款余额W：W年后完全获得一套房子四、问题分析问题一的分析：由于影响居民选择的关键因素较多，且关系较复杂，很难从其各个因素找到与住房或买房之间的确切关系，为了简化运算，本文只对与居民关系紧密的住房价格进行研究，选取租房/买房成本：1M，环境友好程度（包括自然环境，购物环境）：2M，距离成本：3M，生活质量：4M。并从这四个方面建立综合评价模型。问题二的分析：改变条件对模型的分析，由于工资上涨，两个人的月工资总和为16000，则上下班距离成本，自然环境，购物环境以及消费成本就会有新的标准，将数据代入到问题一中模型中进行求解，构建综合评价模型。4五、模型的建立与求解第一部分：因素分析与量化5.1.1、租房/买房成本第X年的结余存款12()Axsma（5.1-1）X年时开始买房，需从银行贷款，为了简化模型假设一次性贷款购买整套房子，购买后按年还款。010211(1)12(2)(1)12(2)(1)12(2)nnYbaYYrsmYYrsmYYrsm(5.1-2)当0nY表示在n+x年该夫妻将银行贷款全部还清，并拥有一套自己的房子。求出1012(2)(1)(1)12(2)nnsmYrYrsmr(5.1-3)0nY时0ln12(2)ln12(2)ln(1)smsmYrWnxxr(5.1-4)5约束条件00Wxxn(5.1-5)图（5.1-1）小区15租房年数与还清贷款年数6图（5.1-2）小区13租房年数与还清贷款年数关系表(5.1-1)ID小区租房年数/x还清贷款年数W（n+x）1民理园4.08115.592中枢小区2.31113.423艺波小区0.46512.204黄河景园小区0.00014.785舜禾公寓4.14918.586醒狮小区3.73614.127福水小区3.36813.998国税小区4.42618.309慧谷阳光花园5.00419.2410民和小区3.84814.3511建国小区2.52811.2812事业小区2.45311.4213解放里小区2.90310.9214梅苑小区3.12111.5715好来花园4.40418.84我们将W作为租房/买房成本的指标（该指标为极小型指标）5.1.2、环境友好程度不同的房价可以反映出该地点的环境友好程度，通过专家对地图进行分析然后进行打分（专家打分）（该指标为极大型指标）表(5.1-2)ID小区环境友好程度1民理园72中枢小区53艺波小区94黄河景园小区75舜禾公寓66醒狮小区57福水小区78国税小区99慧谷阳光花园710民和小区911建国小区712事业小区5713解放里小区914梅苑小区715好来花园105.1.3、距离成本距离成本用小区的位置到百货大楼的的距离来表示。（该指标为极小型指标）表(5.1-3)ID小区到百货大楼的距离/米1民理园6802中枢小区5503艺波小区4304黄河景园小区9905舜禾公寓10006醒狮小区5207福水小区9008国税小区12009慧谷阳光花园180010民和小区160011建国小区200012事业小区200013解放里小区210014梅苑小区330015好来花园27005.1.4、生活质量通过调查比较各小区平均的消费水平，用生活费用占总收入的比重作为生活质量的标准。8表(5.1-4)ID小区生活费用占总收入比重/%1民理园382中枢小区403艺波小区354黄河景园小区405舜禾公寓386醒狮小区407福水小区328国税小区359慧谷阳光花园3710民和小区3611建国小区3312事业小区4013解放里小区3814梅苑小区3615好来花园30第二部分：建立模型对百货大楼附近选择的16个具有代表性的小区进行综合评价分析。由于主观赋权进行综合评价时人为影响因素比较大，同时单一指标内部对结果影响也被忽略，也就是说房价100万与房价200万参与评价的权值是一样的，这样显然不合实际。因此我们考虑动态加权来区别100万的房价与200万的房价之间权值的差别。动态加权综合评价模型的步骤：1、指标一致化处理2、指标无量纲化处理3、确定动态加权函数4、计算动态权值95、综合模型建立5.2.1、指标类型一致化处理将指标类型统一化为极大型指标（高优指标）对极小型指标进行平移变换0maxijjijjijinMMaxMMaxM(5.2-1)租房/买房成本指标M1，距离成本M2进行平移变换处理，化为极大型指标。结果：4.8272620387.0952750407.3692870355.7672310402.0662300386.5252780405.272400321.6692100351.2571500375.5891700367.9971300338.8951300409.0691200388.17703601060030M(5.2-2)5.2.2、指标无量纲化处理对指标类型一致化处理后的M矩阵进行极差无量纲化处理，经过无量纲化处理以后值都是在0~1之间1000minmaxijjijjijjijinjijinMMinMMaxMMinMMaxM(5.2-3)结果：0.4390.4000.9130.8000.7000.0000.9581.0000.8460.8001.0000.5000.5360.4000.8051.0000.0790.2000.8010.8000.6150.0000.9691.0000.6310.4000.8360.2000.1130.8000.7320.5000.0000.4000.5230.7000.5880.8000.5920M.6000.9570.4000.4530.3000.9400.0000.4531.0001.0000.8000.4180.8000.9220.4000.0000.6000.0481.0000.2090.000(5.2-4)5.2.3、确定动态加权函数在M1，M2，M3，M4几个指标中人们的舒适程度不是简单的呈线性关系。某项指标jM对综合评价效果影响总是随ijM的增大先缓慢，中间有一段快速增长的过程，随后平缓增加趋于最大，呈一条“S”型曲线。因此我们利用S型分布函数作为jM的变权函数。112minminmaxmin2maxmaxmaxmin2,(),12MMcMMMcMMM(5.2-5)上式中的常数c的公示为minmax2MMc且()0.5c由于无量纲化处理后的数据M的范围是0~1因此上minmax0,1,0.5MMc22,00.52(),0.5112(1)(5.2-6)图（5.2-1）S型动态加权曲线5.2.4、计算动态权值12()0151,2,3,4ijijjijMMji(5.2-7)ij为i行j列的动态权值，j为对应j因素的动态加权函数。在本问题中各因素均使用S型动态加权。5.2.5、综合评价模型的构建对应1234{,,,}MMMM的权值向量定为：0.4,0.2,0.2,0.2T(5.2-8)即租房/买房成本影响权值为0.4，环境友好程度的影响权值为0.2生活质量的影响权值为0.2，上班的距离的影响权值为0.2。综合评价函数：1*jiiijijnKM(5.2-9)iK即为第i个小区的综合评价结果，对iK进行排序就是选择出最佳方案。利用MATLAB进行计算得到如下的结果：表(5.2-1)ID小区综合评价结果1民理园0.43692中枢小区0.67713艺波小区0.79964黄河景园小区0.52685舜禾公寓0.29856醒狮小区0.60937福水小区0.41698国税小区0.32399慧谷阳光花园0.197310民和小区0.501711建国小区0.549812事业小区0.703513解放里小区0.823614梅苑小区0.562115好来花园0.203813图（5.2-2）综合评价模型结果对结果进行排序：表(5.2-2)小区ID小区租房年数/x还清贷款年数W（n+x）综合评价结果13解放里小区2.90310.920.82363艺波小区0.46512.200.799612事业小区2.45311.420.70352中枢小区2.31113.420.67716醒狮小区3.73614.120.609314梅苑小区3.12