压杆稳定性计算

•第11章压杆稳定返回压杆稳定的概念细长压杆的临界力压杆的临界应力压杆的稳定计算提高压杆稳定的措施小结第一节第二节第三节第四节第五节•第一节压杆稳定的概念压杆稳定—压杆保持其原有直线平衡状态的能力，称其稳定性。（指受压杆件其平衡状态的稳定性）临界力—压杆在临界平衡状态时所受的轴向压力，称作临界压力或临界荷载。细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时，突然变弯直至弯断的现象称为丧失稳定或失稳。返回下一张上一张小结一、两端铰支细长压杆的临界力第二节细长压杆的临界力取X截面研究弹性范围内的挠曲线方程：;)(22yEIPEIxMdxydlj;0,2222ykdxydkEIPlj则有令;cossin21kxckxcy其通解为;0sin;0;0,;0,012klccylxyx得由边界条件);210()210(;0sin,02221nnlEInPnnnklklclj、、、则；、、、得所以因为22lEIPlj所以取取不为零的最小值，即,1nn—两端铰支细长压杆的临界力计算公式（欧拉公式）返回下一张上一张小结2min2)(lEIPlj式中：E材料的弹性模量；Imin压杆横截面对中性轴的最小惯性矩；单位：m4；μl计算长度；长度系数，与杆端支承有关。一端固定，一端自由压杆：μ＝2；两端铰支细长压杆：μ＝1；一端固定，一端铰支压杆：μ＝0.7；两端固定细长压杆：μ＝0.5；二、其他支承情况下细长压杆的临界力不同支承情况的压杆其边界条件不同，临界力值也不同。也可由挠曲线比较得出欧拉公式的通式：不同支承情况的临界力公式可查表确定。返回下一张上一张小结下一张上一张返回小结•例10-1一根两端铰支的20a号工字钢压杆，长L=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试确定其临界压力。22lEIpljkNlEIPlj34631015810200286222下一张上一张返回小结•解：查表得20a号工字钢:Iz=2370cm4,Iy=158cm4,•临界压力按公式计算•由此可知，若轴向压力达到346KN时，此压杆便会丧失稳定。•例10-2：截面为200×120mm2的轴向受压木柱，l=8m，柱的支承情况是，在最大刚度平面内压弯时为两端铰支（图a）；在最小刚度平面内压弯时为两端固定（图b），木材的弹性模量E=10GPa，试求木柱的临界压力。解：由于柱在最大与最小刚度平面内压弯时的支承情况不同，所以需要分别计算在两个平面内失稳的临界压力，以便确定在哪个平面内失稳。（1）计算最大刚度平面内的临界压力（即绕y轴失稳）。中性轴为y轴：Iy=120×2003/12=80×106mm4=80×10-6m4木柱两端铰支，，则得：kNlEIPylj123800011080101014.3263222下一张上一张返回小结•（2）计算最小刚度平面内的临界压力（即绕z轴失稳）。•中性轴为z轴：46463108.28108.2812120200mmmIz木柱两端固定，，则得：比较计算结果可知：第一种情况临界压力小，所以木柱将在最大刚度平面内失稳（即绕y轴，在xoz平面内失稳）。此例说明，当最小刚度平面和最大刚度平面内支承情况不同时，压杆不一定在最小刚度平面内失稳，必须经过计算才能最后确定。KNlEIPzlj17880005.0108.28101014.3263222下一张上一张返回小结第三节压杆的临界应力一、临界应力与柔度222222222EilEAIlEAlEIAPljlj临界应力—临界压力作用下压杆处于临界直线平衡状态时的应力。面的几何性质；截面的惯性半径；为截—其中：AIi程度。比）；反映压杆的柔软称为压杆的柔度（长细＝il二、欧拉公式的适用范围pppljEE222或λp—分界柔度，取决与材料的力学性质。A3钢：100200200000,200,2002ppEPaGPaE下一张上一张返回小结三、超出比例极限时压杆的临界力临界应力总图;)(;22AbaAPbaljljlj当临界应力超出比例极限时，材料处于弹塑性阶段，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。临界应力由经验公式计算。式中：λ—压杆的长细比；a、b—与材料有关的常数,可查表确定。A3钢：a＝235,b＝0.00668；16锰钢：a＝343,b＝0.0142。临界应力总图—临界应力lj与柔度的函数关系曲线。;:;:222baEljcljc中小柔度杆；大柔度杆；λc—修正的分界柔度。A3钢：λc=123；16锰钢：λc＝102。下一张上一张返回小结例10-322a号工字钢柱，长l＝3,两端铰接，承受压力P＝500kN。钢的弹性模量E＝200GPa,试验算此杆是否能够承受此压力。解：查表知A=42cm2,imin=2.31cm,μ=1,则柔度大柔度杆1239.1291.2330001pilMPaElj1179.1291020023222由欧拉公式kNPkNAPljlj5003.4914200117所以，此杆不能安全承受500KN压力，而将发生失稳破坏。为加大杆的承载能力，改变支承方式为两端固定（或加中间支承减小杆长），则μ＝0.5,12395.6429.129pil为超出比例极限的失稳，应采用经验公式计算临界应力。MPabalj8.20695.6400668.023522kNPkNAPljlj5007.86842008.206可见，改善支承条件可有效提高压杆稳定性。若采用加大截面的方式，用料太多。下一张上一张返回小结例10-4图示支架中圆形截面压杆AB的直径为28mm,材料为A3钢，E=200GPa。试求荷载P的最大值。解：AB压杆l=1000mm,;64;75.61542844222dImmdA;1;74mmdAIi大柔度杆；;1239.142710001pilMPaElj7.969.1422000002222;6.5975.6157.96BAljljNkNAP由结点B的平衡条件确定支架的承载力Pmax：;0sin,0maxPNYBA;7.47546.59sinmaxkNNPBA实际工程中应再考虑安全系数，取[P]=Pmax/n。下一张上一张返回小结•第四节压杆的稳定计算折减系数法—][wAP)(])[()(wljwljWnn一、稳定条件极限应力法—wljljnAP][许可荷载法—][wwljPnPP安全系数法—][wljnPPnφ—折减系数或纵向弯曲系数；一般[σ][σw]，故φ1。二、压杆的稳定计算1.稳定计算：由P、A、I、l、μ，求λ，查φ，校核σ。3.设计截面：由P、l、μ，求A、I。因A、φ均未知，故用试算法计算；2.确定许可荷载：由A、I、l、μ、E，求[P]=φ[σ].A。下一张上一张返回小结例10-5校核木柱稳定性。已知l＝6m,圆截面d＝20cm,两端铰接，轴向压力P＝50kN，木材许用应力[σ]=10MPa。解：;12056001;1;54204ilcmdAIi;08.210208.0][,208.0＝查表，木柱稳定。];[59.12004500002MPaAP例10-6求钢柱的许可荷载[P]。已知钢柱由两根10号槽钢组成，l＝10m,两端固定，[σ]＝140MPa。解：查型钢表，A=12.74cm2，Iy=25.6cm4,Iz＝198.3cm4,iz=3.95cm，zo=1.52cm;min42463])5.252.1(74.126.25[2IIcmIzy;6.1265.39100005.0,5.0il求柔度由;423.0)1206.126(120130466.0401.0466.0值，用插值公式求得：查kNAP9.15012742140423.0][][下一张上一张返回小结•例10-7图示立柱，一端固定，另一端自由，顶部受轴向压力P=200KN的作用。立柱用工字钢制成，材料为A3钢，许用应力为。在立柱中点横截面C处，因构造需要开一直径为d=70mm的圆孔。试选择工字钢型号。AP23125001605.010200mmPA6.2119.1820002yil162.06.110164.0151.0164.01解：（1）第一次试算：先假定φ1=0.5，则由式得1和原来假定的1=0.5相差较大，必须重新计算。下一张上一张返回从型钢表中查得16号工字钢的横截面面积A=2610mm2，最小惯性半径iy=18.9mm.所以查表用插值公式算得1为小结•(2)第二次试算：假定•得••从附录I型钢表中查得22a号工字钢，A=4200mm2，iy=23.1mm,算得••查表用插值公式算得2••2与这次假定的2=0.331相差仍较大，所以还需要重新计算331.0162.05.02121112233776160331.010200mm1731.2320002236.310243.0218.0243.02o（3）第三次试算：重复前面工作，假设3=0.284得A=4401mm2查表得25a号工字钢，A=4850mm2,iy=24.03mm.算得，3=0.253，与原来假设的3=0.284较接近。故可采用25a号工字钢。下一张上一张返回小结•（4）按稳定要求验算•••误差为：••实际工作应力不超过许用应力的5%规定，故所选25a号工字钢符合稳定性要求。MPaAP23.414850102003];[48.40160253.03MPaw%85.1%10048.4023.4148.40%100ww242907084850mmdAcMPaAPcc6.464290102003(5)强度校核：因截面有局部削弱，应对削弱截面进行强度校核。从型钢表中查得25a号工字钢腹板厚mm,所以横截面C处的净面积为下一张上一张返回该截面上的工作应力为可见立柱强度也符合要求。小结•(安全系数法稳定计算)•例:一螺旋式千斤顶,若螺杆旋出的最大长度l=38cm,内径d0=4cm,材料为A3钢.最大起重量P=80KN,规定的稳定安全系数nw=3,试校核螺杆的稳定性.•解:将螺杆简化为下端固定，上端自由的压杆,故螺杆的惯性半径为:•所以柔度为:•属中小柔度杆•螺杆的实际工作应力为•螺杆的实际安全系数为•故千斤顶的螺杆是稳定的.cmdi14123761382pilMPabalj4.1967600668.023522MPaAP66.6304.04108023308.366.634.196wljnn下一张上一张返回小结•第五节提高压杆稳定的措施;,;;;222ilbaEljlj由提高压杆的临界力，可以从下面两方面考虑：一、柔度方面：1.减少压杆长度；或加中间支承，如组合截面加横格条连接；2.改善支承条件，减小长度系数μ：0.50.712;3.选择合理截面：与梁弯曲的合理截面类似，取WZ/A的小值；另外，两端支承各方向相同时取对称截面,否则取不对称截面。二、材料方面：1.大柔度杆：