2019版高考数学一轮复习题组训练：第8章第2讲-空间点、直线、平面之间的位置关系

第二讲空间点、直线、平面之间的位置关系题组空间点、直线、平面之间的位置关系1.[2017全国卷Ⅰ,6,5分][文]如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()A.B.C.D.2.[2016全国卷Ⅰ,11,5分][文]平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A.√B.√C.√D.3.[2016浙江,2,5分][文]已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n4.[2015广东,6,5分][文]若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交5.[2015北京,4,5分]设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.[2016浙江,14,4分][文]如图8-2-1,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=√,∠ADC=90°.沿直线AC将△ACD翻折成△ACD',直线AC与BD'所成角的余弦的最大值是.图8-2-1A组基础题1.[2018益阳市、湘潭市高三调考,10]G,N,M,H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有()A.①③B.②③C.②④D.②③④2.[2018重庆六校第一次联考,4]设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是()A.存在一条直线a,a∥α,a∥βB.存在一条直线a,a⊂α,a∥βC.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥αD.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α3.[2017湖北七市高三联考,5]设直线m与平面α相交但不垂直,则下列说法中正确的()A.在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B.过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C.与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D.与直线m平行的平面不可能与平面α垂直4.[2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考,11]α,β,γ是三个不同的平面,m,n是两条不同的直线,下列命题正确的是()A.若α∩β=m,n⊂α,m⊥n,则α⊥βB.若α⊥β,α∩β=m,α∩γ=n,则m⊥nC.若m不垂直于平面α,则m不可能垂直于平面α内的无数条直线D.若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β5.[2017广东省惠州市高三三调,11]如图8-2-2是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F分别为PA,PD的中点,在此几何体中,给出下面4个结论:其中正确的有()图8-2-2①直线BE与直线CF异面;②直线BE与直线AF异面;③直线EF∥平面PBC;④平面BCE⊥平面PAD.A.1个B.2个C.3个D.4个B组提升题6.[2018湘东五校联考,5]已知直线m,l,平面α,β,且m⊥α,l⊂β,给出下列命题:①若α∥β,则m⊥l;②若α⊥β,则m∥l;③若m⊥l,则α⊥β;④若m∥l,则α⊥β.其中正确的命题是()A.①④B.③④C.①②D.①③7.[2018辽宁省五校联考,10]在四面体ABCD中,若AB=CD=√,AC=BD=2,AD=BC=√,则直线AB与CD所成角的余弦值为()A.-B.-C.D.8.[2017成都市三诊,8][数学文化题]在我国古代数学名著《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图8-2-3,在鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCD,且AB=BC=CD,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为()图8-2-3A.B.-C.√D.-√9.[2017武汉市武昌区高三三调,16]若四面体ABCD的三组对棱分别相等,即AB=CD,AC=BD,AD=BC,给出下列结论:①四面体ABCD每组对棱相互垂直;②四面体ABCD每个面的面积相等;③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°;④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分;⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长.其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号)答案1.A解法一对于选项B,如图D8-2-4所示,连接CD,因为AB∥CD,M,Q分别是所在棱的中点,所以MQ∥CD,所以AB∥MQ,又AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C,D中均有AB∥平面MNQ.故选A.图D8-2-4解法二对于选项A,设正方体的底面对角线的交点为O(如图D8-2-5所示),连接OQ,则OQ∥AB,因为OQ与平面MNQ有交点,所以AB与平面MNQ也有交点,即AB与平面MNQ不平行,故选A.图D8-2-52.A因为过点A的平面α与平面CB1D1平行,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,所以m∥B1D1∥BD,又A1B∥平面CB1D1,所以n∥A1B,所以BD与A1B所成的角为所求角,所以m,n所成角的正弦值为√,选A.3.C因为α∩β=l,所以l⊂β,又n⊥β,所以n⊥l.故选C.4.D可用反证法.假设l与l1,l2都不相交,因为l与l1都在平面α内,于是l∥l1,同理l∥l2,于是l1∥l2,与已知矛盾,故l至少与l1,l2中的一条相交.故选D.5.B若m⊂α且m∥β,则平面α与平面β不一定平行,有可能相交;而m⊂α且α∥β一定可以推出m∥β,所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.故选B.6.√作BE∥AC,BE=AC,连接D'E,则∠D'BE为所求的角或其补角,作D'N⊥AC于点N,设M为AC的中点,连接BM,则BM⊥AC,作NF∥BM交BE于F,连接D'F,设∠D'NF=θ,∵D'N=√=√,BM=FN=√=√,∴D'F2=-5cosθ,∵AC⊥D'N,AC⊥FN,D'N∩FN=N,D'N,FN⊂平面D'NF,AC⊄平面D'NF,∴AC⊥平面D'NF.∵D'F⊂平面D'NF,∴D'F⊥AC,∴D'F⊥BE,又BF=MN=√,∴在Rt△D'FB中,D'B2=9-5cosθ,∴cos∠D'BE==√√≤√,当且仅当θ=0°时取“=”.A组基础题1.C由题意,可知题图①中,GH∥MN,因此直线GH与MN共面;题图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;题图③中,连接MG,则GM∥HN,因此直线GH与MN共面;题图④中,连接GN,G,M,N三点共面,但H∉平面GMN,所以直线GH与MN异面.故选C.2.D对于选项A,若存在一条直线a,a∥α,α∥β,则α∥β或α与β相交,若α∥β,则存在一条直线a,使得a∥α,a∥β,所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件;同理,选项B,C的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件;对于选项D,可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中,成为相交直线,则有α∥β,所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件.故选D.3.B对于选项A,在平面α内可能有无数条直线与直线m垂直,这些直线是互相平行的,选项A错误;对于选项B,只要m⊄α,过直线m必有并且也只有一个平面与平面α垂直,选项B正确;对于选项C,类似于选项A,在平面α外可能有无数条直线垂直于直线m并且平行于平面α,选项C错误;对于选项D,与直线m平行且与平面α垂直的平面有无数个,选项D错误.选B.4.D对于选项A,直线n是否垂直于平面β未知,所以平面α不一定垂直于平面β,选项A错误;对于选项B,由条件只能推出直线m与n共面,不能推出m⊥n,选项B错误;对于选项C,命题“若m不垂直于平面α,则m不可能垂直于平面α内的无数条直线”的逆否命题是“若直线m垂直于平面α内的无数条直线,则m垂直平面α”,这不符合线面垂直的判定定理,选项C错误;对于选项D,因为n⊥β,m∥n,所以m⊥β,又m⊥α,所以α∥β,选项D正确.选D.5.B将展开图还原为几何体(如图D8-2-5),图D8-2-5因为E,F分别为PA,PD的中点,所以EF∥AD∥BC,即直线BE与CF共面,①错;因为B∉平面PAD,E∈平面PAD,E∉AF,所以BE与AF是异面直线,②正确;因为EF∥AD∥BC,EF⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以EF∥平面PBC,③正确;平面PAD与平面BCE不一定垂直,④错.故选B.B组提升题6.A对于①,若α∥β,m⊥α,l⊂β,则m⊥l,故①正确,排除B.对于④,若m∥l,m⊥α,则l⊥α,又l⊂β,所以α⊥β,故④正确.选A.图D8-2-67.D如图D8-2-6所示,设长方体AECG-HDFB中CE,CF,FB的长分别为a,b,c,CD与EF交于点O,则{,,,解得{,√,√,即CE=1,CF=√,FB=√,∵EF∥AB,∴∠EOC为直线AB与CD所成角,在△OCE中,OC=OE=√,CE=1,∴cos∠EOC=-√√=,故选D.8.A如图D8-2-7,图D8-2-7分别取AB,AD,BC,BD的中点E,F,G,O,连接EF,EG,OG,FO,FG,则EF∥BD,EG∥AC,所以∠FEG为异面直线AC与BD所成角.易知FO∥AB,因为AB⊥平面BCD,所以FO⊥OG,设AB=2a,则EG=EF=√a,FG=√=√a,所以∠FEG=60°,所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为,故选A.9.②④⑤对于①,如图D8-2-8,AE,CF分别为BD边上的高,由三角形全等可知DE=BF,当且仅当AD=AB,CD=BC时,E,F重合,此时AC⊥BD,所以当四面体ABCD为正四面体时,每组对棱相互垂直,故①错误;对于②,因为AB=CD,AC=BD,AD=BC,所以四面体四个面全等,所以四面体ABCD每个面的面积相等,故②正确;对于③,当四面体为正四面体时,同一个顶点出发的任意两条棱的夹角均为60°,此时四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于180°,故③错误;对于④,如图D8-2-9,G,H,I,J为各边中点,因为AC=BD,所以四边形GHIJ为菱形,GI,HJ相互垂直平分,其他同理可得,所以连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分,故④正确;对于⑤,从A点出发的三条棱为AB,AC,AD,因为AC=BD,所以AB,AC,AD可以构成三角形,同理可得其他,所以从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长,故⑤正确.综上所述,正确的结论为②④⑤.图D8-2-8图D8-2-9