实变函数与泛函分析基础(第三版)

主要内容本章讨论的点集理论，不仅是以后学习测度理论和新积分理论的基础，也为一般的抽象空间的研究提供了具体的模型.学习本章时应注意以下几点.1、本章的基本概念较多，且有些概念（如内点、聚点、边界点等）相互联系，形式上也常有类似之处，因而容易混淆.学习这些概念时要细心认真，注意准确牢固地掌握每一个概念的实质，学习时可同其类似的概念对照，注意区别概念间的异同点.尤其要注意的是，本章对有些概念（如聚点），给出了多种等价（充要）条件，这将有利于理解概念的本质，特别是在讨论某些具体问题时，如能恰当地选用某种条件，常常会给问题的解决带来方便.所以对等价条件必须深刻理解，熟练灵活地运用.2、在开集、闭集和完备集的性质的讨论中，开集是基础，因为闭集是开集的补集，完备集是一种特殊的闭集，所以弄清了开集的性质，闭集和完备集的性质也就自然得到了.3、本章中定理亦较多，对定理的学习，要注意弄清下述三点：一是定理的条件和要证的结论；二是定理的证明方法和推理过程；三是定理的意义和作用.要特别注意论证思路和方法，这样才能逐步提高分问题和解决问题的能力.同是定理，然它们的意义和作用也会不尽相同.本章有些定理，如有限覆盖定理（定理2.2.5），聚点存在定理（定理2.1.5）以及直线上开集的结构定理（定理2.3.1）等都是本章中的重要定理，在今后的学习中常有应用.4、康托集是本章给出的一个重要例子.对它的一些特殊性质，在直观上是难以想象的，比如它既是不包含任何区间的完备集，同时它还具有连续基数，下章中我们还将证明它的测度为零.正是因为它的这些“奇怪”性质，使得它在许多问题的讨论中起着重要作用.复习题一、判断题1、设P，nQR，则(,)0PQPQ。（×）2、设P，nQR，则(,)0PQ。（×）3、设123,,nPPPR，则121323(,)(,)(,)PPPPPP。（×）4、设点P为点集E的内点，则PE。（√）5、设点P为点集E的外点，则PE。（√）6、设点P为点集E的边界点，则PE。（×）7、设点P为点集E的内点，则P为E的聚点，反之P为E的聚点，则P为E的内点。（×）8、设点P为点集E的聚点，则P为E的边界点。（×）9、设点P为点集E的聚点，且不是E的内点，则P为E的边界点。（√）10、设点P为点集E的孤立点，则P为E的边界点。（√）11、设点P为点集E的外点，则P不是E的聚点，也不是E的边界点。（√）12、开集中的每个点都是内点，也是聚点。（√）13、开集中可以含有边界点和孤立点。（×）14、E是开集EE的内部（开核）。（√）15、任意多个开集的并集仍为开集。（√）16、任意多个开集的交集仍为开集。（×）17、有限个开集的交集仍为开集。（√）18、闭集中的每个点都是聚点。（×）19、E和E都是闭集。（√）20、E是闭集EE。（√）21、任意多个闭集的交集仍为闭集。（√）22、任意多个闭集的并集仍为闭集。（×）23、有限个闭集的并集仍为闭集。（√）24、E是开集cE是闭集。（√）25、E是完全集（完备集）EEE是无孤立点的闭集。（√）二、填空题1、设1nRR，1E是[0,1]上的全部有理点，则1E[0,1]；1E的内部空集；1E[0,1]。2、设2nRR，1E[0,1]，则1E[0,1]；1E的内部空集；1E[0,1]。3、设2nRR，1E22{(,)1}xyxy，则1E22{(,)1}xyxy；1E的内部1E；1E22{(,)1}xyxy。4、设P是康托（三分）集，则P为闭集；P为完全集；P没有内点；Pc；mP0。5、设(,)ab为1R上的开集G的构成区间，则(,)ab满足(,)abG，且aG，bG。6、设(1,2)(3,4)E，写出E的所有的构成区间(1,2),(3,4)。7、设(1,3)(2,6)E，写出E的所有的构成区间(1,6)。8、设E为1R上的闭集，0x为E的孤立点，则0x必为E的两个邻接区间的公共端点。9、设E为1R上的闭集，则E的邻接区间必为cE的构成区间。三、证明题1、证明：()ABAB。证明：因为AAB，BAB，所以，()AAB，()BAB，从而()ABAB反之，对任意()xAB，即对任意(,)Bx，有(,)()((,))((,))BxABBxABxB为无限集，从而(,)BxA为无限集或(,)BxB为无限集至少有一个成立，即xA或xB，所以，xAB，()ABAB。综上所述，()ABAB。2、证明：若E为闭集，则cE为开集；若E为开集，则cE为闭集。证明：若E为闭集，对任意cxE，有xE，所以，x不是E的聚点。注意到E为闭集，存在(,)Bx，使得(,)BxE，即(,)cBxE，所以，x是cE的内点。故cE是开集。（反证法）若cE不是闭集，则存在cE的一个聚点cxE，从而xE。有E是开集，存在(,)BxE，所以，(,)cBxE这与x是cE的一个聚点矛盾。故cE为闭集。3、证明：E为闭集EE。证明：因为E为闭集，则EE，而EEE，所以EE。反之，因为EEEE，所以，EE，即E为闭集。4、证明：开集减闭集的差集仍为开集；闭集减开集的差集仍为闭集。证明：记G为开集，F为闭集。由于cGFGF，cFGFG，且两个开集的交集仍为开集，两个闭集的交集仍为闭集，开集的余集是闭集，闭集的余集是开集，所以，cGFGF是开集，cFGFG是闭集。5、设()fx是(,)上的实值连续函数，则对任意实常数a，{()}Exfxa为开集，{()}Fxfxa为闭集。证明：对任意{()}xExfxa，有()fxa，由连续函数的局部保号性，存在(,)Bx，使对任意(,)yBx，有()fya，即yE，所以，(,)BxE，即x为E的内点。所以{()}Exfxa为开集。又{()}{()}ccFxfxaxfxaE是开集，所以，{()}Fxfxa为闭集。6.证明：nR中任意闭集都可以表示成可数个开集的交。证：设nRF为任意一个闭集，令NnnxUGFxn,)1,(，则nG均是开集，且nGF)(Nn，从而1nnGF．下证：1nnGF．对0x1nnG，则对Nn,FxGxnn0，使得)1,(0nxUxn，即)(1),(0Nnnxxdn，于是)(0nxxn，从而Fx0．但F是闭集，所以FFx0FGnn1，故FGnn1．因此，F可以表示成可数个开集的交。证毕。7．()fx是Ｒ上的连续函数，G是开集，则1(){:()}fGxfxG一定是开集．证明：若1(),fG则结论成立；若1(),fG则对10(),xfG即0,fxG又G是开集，故000,,fxfxG，又()fx在0x连续，对上述0,0，使得当00,xxx时，有0fxfx，可见，当00,xxx时，fxG，从而可知100,xxfG，即1(){:()}fGxfxG是开集．