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主要内容本章讨论的点集理论,不仅是以后学习测度理论和新积分理论的基础,也为一般的抽象空间的研究提供了具体的模型.学习本章时应注意以下几点.1、本章的基本概念较多,且有些概念(如内点、聚点、边界点等)相互联系,形式上也常有类似之处,因而容易混淆.学习这些概念时要细心认真,注意准确牢固地掌握每一个概念的实质,学习时可同其类似的概念对照,注意区别概念间的异同点.尤其要注意的是,本章对有些概念(如聚点),给出了多种等价(充要)条件,这将有利于理解概念的本质,特别是在讨论某些具体问题时,如能恰当地选用某种条件,常常会给问题的解决带来方便.所以对等价条件必须深刻理解,熟练灵活地运用.2、在开集、闭集和完备集的性质的讨论中,开集是基础,因为闭集是开集的补集,完备集是一种特殊的闭集,所以弄清了开集的性质,闭集和完备集的性质也就自然得到了.3、本章中定理亦较多,对定理的学习,要注意弄清下述三点:一是定理的条件和要证的结论;二是定理的证明方法和推理过程;三是定理的意义和作用.要特别注意论证思路和方法,这样才能逐步提高分问题和解决问题的能力.同是定理,然它们的意义和作用也会不尽相同.本章有些定理,如有限覆盖定理(定理2.2.5),聚点存在定理(定理2.1.5)以及直线上开集的结构定理(定理2.3.1)等都是本章中的重要定理,在今后的学习中常有应用.4、康托集是本章给出的一个重要例子.对它的一些特殊性质,在直观上是难以想象的,比如它既是不包含任何区间的完备集,同时它还具有连续基数,下章中我们还将证明它的测度为零.正是因为它的这些“奇怪”性质,使得它在许多问题的讨论中起着重要作用.复习题一、判断题1、设P,nQR,则(,)0PQPQ。(×)2、设P,nQR,则(,)0PQ。(×)3、设123,,nPPPR,则121323(,)(,)(,)PPPPPP。(×)4、设点P为点集E的内点,则PE。(√)5、设点P为点集E的外点,则PE。(√)6、设点P为点集E的边界点,则PE。(×)7、设点P为点集E的内点,则P为E的聚点,反之P为E的聚点,则P为E的内点。(×)8、设点P为点集E的聚点,则P为E的边界点。(×)9、设点P为点集E的聚点,且不是E的内点,则P为E的边界点。(√)10、设点P为点集E的孤立点,则P为E的边界点。(√)11、设点P为点集E的外点,则P不是E的聚点,也不是E的边界点。(√)12、开集中的每个点都是内点,也是聚点。(√)13、开集中可以含有边界点和孤立点。(×)14、E是开集EE的内部(开核)。(√)15、任意多个开集的并集仍为开集。(√)16、任意多个开集的交集仍为开集。(×)17、有限个开集的交集仍为开集。(√)18、闭集中的每个点都是聚点。(×)19、E和E都是闭集。(√)20、E是闭集EE。(√)21、任意多个闭集的交集仍为闭集。(√)22、任意多个闭集的并集仍为闭集。(×)23、有限个闭集的并集仍为闭集。(√)24、E是开集cE是闭集。(√)25、E是完全集(完备集)EEE是无孤立点的闭集。(√)二、填空题1、设1nRR,1E是[0,1]上的全部有理点,则1E[0,1];1E的内部空集;1E[0,1]。2、设2nRR,1E[0,1],则1E[0,1];1E的内部空集;1E[0,1]。3、设2nRR,1E22{(,)1}xyxy,则1E22{(,)1}xyxy;1E的内部1E;1E22{(,)1}xyxy。4、设P是康托(三分)集,则P为闭集;P为完全集;P没有内点;Pc;mP0。5、设(,)ab为1R上的开集G的构成区间,则(,)ab满足(,)abG,且aG,bG。6、设(1,2)(3,4)E,写出E的所有的构成区间(1,2),(3,4)。7、设(1,3)(2,6)E,写出E的所有的构成区间(1,6)。8、设E为1R上的闭集,0x为E的孤立点,则0x必为E的两个邻接区间的公共端点。9、设E为1R上的闭集,则E的邻接区间必为cE的构成区间。三、证明题1、证明:()ABAB。证明:因为AAB,BAB,所以,()AAB,()BAB,从而()ABAB反之,对任意()xAB,即对任意(,)Bx,有(,)()((,))((,))BxABBxABxB为无限集,从而(,)BxA为无限集或(,)BxB为无限集至少有一个成立,即xA或xB,所以,xAB,()ABAB。综上所述,()ABAB。2、证明:若E为闭集,则cE为开集;若E为开集,则cE为闭集。证明:若E为闭集,对任意cxE,有xE,所以,x不是E的聚点。注意到E为闭集,存在(,)Bx,使得(,)BxE,即(,)cBxE,所以,x是cE的内点。故cE是开集。(反证法)若cE不是闭集,则存在cE的一个聚点cxE,从而xE。有E是开集,存在(,)BxE,所以,(,)cBxE这与x是cE的一个聚点矛盾。故cE为闭集。3、证明:E为闭集EE。证明:因为E为闭集,则EE,而EEE,所以EE。反之,因为EEEE,所以,EE,即E为闭集。4、证明:开集减闭集的差集仍为开集;闭集减开集的差集仍为闭集。证明:记G为开集,F为闭集。由于cGFGF,cFGFG,且两个开集的交集仍为开集,两个闭集的交集仍为闭集,开集的余集是闭集,闭集的余集是开集,所以,cGFGF是开集,cFGFG是闭集。5、设()fx是(,)上的实值连续函数,则对任意实常数a,{()}Exfxa为开集,{()}Fxfxa为闭集。证明:对任意{()}xExfxa,有()fxa,由连续函数的局部保号性,存在(,)Bx,使对任意(,)yBx,有()fya,即yE,所以,(,)BxE,即x为E的内点。所以{()}Exfxa为开集。又{()}{()}ccFxfxaxfxaE是开集,所以,{()}Fxfxa为闭集。6.证明:nR中任意闭集都可以表示成可数个开集的交。证:设nRF为任意一个闭集,令NnnxUGFxn,)1,(,则nG均是开集,且nGF)(Nn,从而1nnGF.下证:1nnGF.对0x1nnG,则对Nn,FxGxnn0,使得)1,(0nxUxn,即)(1),(0Nnnxxdn,于是)(0nxxn,从而Fx0.但F是闭集,所以FFx0FGnn1,故FGnn1.因此,F可以表示成可数个开集的交。证毕。7.()fx是R上的连续函数,G是开集,则1(){:()}fGxfxG一定是开集.证明:若1(),fG则结论成立;若1(),fG则对10(),xfG即0,fxG又G是开集,故000,,fxfxG,又()fx在0x连续,对上述0,0,使得当00,xxx时,有0fxfx,可见,当00,xxx时,fxG,从而可知100,xxfG,即1(){:()}fGxfxG是开集.
本文标题:实变函数与泛函分析基础(第三版)
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