线性代数练习册答案

学院班级学号姓名1第一章行列式二、三阶行列式及n阶行列式的定义部分知识概要内容概要：1.二阶行列式的定义：1112112212212122aaaaaaaa.2.三阶行列式的定义：111213212223313233aaaDaaaaaa=112233122331132132112332122133132231aaaaaaaaaaaaaaaaaa=++---.3.n阶行列式111212122212.....................nnnnnnnaaaaaaDaaa121212(...)12...(1)...nnnpppppnppppaaa（1）n阶行列式是!n项的代数和；（2）每一项是取自不同行不同列的n个元素的乘积1212...nppnpaaa（12....nppp是1,2,,n的一个排列）；（3）当12....nppp是偶排列时,1212...nppnpaaa带正号,当12....nppp是奇排列时,1212...nppnpaaa带负号.常用解题方法及注意事项：1.求排列的逆序数：（按自然数的从小到大次序为标准次序）1,2,,n的一个排列12.....njjj的逆序数记为12.....njjj121nmmm.其中(1,2,,1)imin是i前面比i大的数的个数.2.确定行列式nijnDa中的项及符号：（1）nijnDa中的项1122...nnijijijaaa是取自不同行不同列的n个数的乘积，因此，行下标12,,,niii和列下标12,,,njjj都没有重复数字；（2）将1122...nnijijijaaa中的因子交换顺序使行下标是自然顺序，即11221212......nnnijijijppnpaaaaaa，该项符号为12(...)(1)nppp.学院班级学号姓名2二、三阶行列式及n阶行列式的定义部分习题1.计算下列二阶行列式（1）2312；（2）cossinsincos；（3）1111121221212222abababab；（4）1112111221222122aabbaabb.2.计算下列三阶行列式（1）103121231；(2)1112132223323300aaaaaaa；（3）acbbaccba；学院班级学号姓名33.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：（1）3214；（2）614235.（3）12322524212nnnn4.确定,ij，使6元排列2316ij为奇排列.5.写出4阶行列式中含有1321aa的项.6.按定义计算下列行列式：（1）0001002003004000；（2）000000000000acdb.7.求1230312()123122xxfxxxx的展开式中4x和3x的系数.学院班级学号姓名4行列式的性质与展开部分知识概要内容概要：行列式的性质1.行列式D与其转置行列式TD相等(即TDD).2.交换行列式的两行(或列),行列式改变符号（即ijijrrccDDDD或）.3.行列式中某行(或列)的公因子可以提到行列式符号外面做因子.（即1(0)1irkkDkD（或1(0)1ickkDkD）4.n阶行列式D可以按第i行(或列)拆成两个行列式1D与2D的和，即12DDD.其中D的第i行(或列)为1D与2D的第i行(或列)的和；D，1D，2D的其余各行(或列)对应元素则同的完全一样.5.把行列式某一行(或列)的元素同乘一数后加到另一行(或列)的对应位置元素上,行列式的值不变.（即1ijrkrDD或1ijckcDD）行列式的展开1.n阶行列式D的某行（或列）元素与对应元素的代数余子式乘积之和为D.2.行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为0.即1122()0()ikikinknDikaAaAaAik1122()0()jtjtnjntDjtaAaAaAjt常用的解题方法及注意事项：行列式的计算：1.（1）利用性质将行列式化为三角形行列式（三角形行列式的值等于对角线元素之积）.（2）利用依行、依列展开转化为低阶行列式的计算（或给出递推公式、或利用数学归纳法）.（3）化简与展开同时进行（先化简，再按零较多的行（或列）展开）.行列式化简时注意1.尽量避免分数运算；2.展开时注意代数余子式与余子式相差的的符号(1)ij.学院班级学号姓名5行列式的性质与展开部分习题1.计算下列行列式：（1）200819861964200919871965201019881966；(2)123123123111aaaaaaaaa；（3）3201116011103102D-=--；（4）1201116111211100D-=--.学院班级学号姓名6（5）001001001D.2.证明：（1）011cbadbadcdacbdcbaD１１；（2）33()axbyaybzazbxxyzaybzazbxaxbyabyzxazbxaxbyaybzzxy.学院班级学号姓名73.计算n阶行列式（1）nD=abbbbabbbbabbbba...........................；（2）12121212nnananDna12(0)naaa.4.利用范德猛行列式计算：1111123414916182764D.学院班级学号姓名8克拉默法则部分知识概要内容概要：1.设n个变量，n个方程的线性方程组为11112211211222221122,,.nnnnnnnnnnakakakbaxaxaxbaxaxaxb如果该线性方程组的系数行列式0ijnDa=?，则方程组有唯一解：1212,,,nnDDDxxxDDD.其中(1,2,,)jDjn是D中第j列换成常数项12,,,nbbb其余各列不变得到的行列式，即：jD=nnnjnnjnnjjnjjaabaaaabaaaabaa.......................................1112122122111111111,.,....,2,1nj．2.设齐次线性方程组为1111221211222211220,0,0.nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxax（1）如果系数行列式0D，则该齐次线性方程组只有零解；（2）如果该齐次线性方程组有非零解，那么它的系数行列式0D．常用解题方法及注意事项：1.用克拉默法则解线性方程组；2.利用系数行列式是否为零来判断齐次线性方程组只有零解或有非零解.注意：克拉默法则只适合方程个数与未知量个数相同，且系数行列式不为零的线性方程组的求解.学院班级学号姓名9克拉默法则部分习题1.用克拉默法则解线性方程组（1）122313223(0)0bxaxabcxbxbcabccxaxì-=-ïïïï-+=?íïï+=ïïî；（2）123412341234123432125323348246642xxxxxxxxxxxxxxxx.2.当为何值时，齐次线性方程组000433221321xxxxxxx(1)仅有零解；(2)有非零解．学院班级学号姓名10第一章自测题与答案第一章自测题一.判断题（每题3分，共15分）1.1423142332413241000000000000aaaaaaaa.()2.在四阶行列式4ijDa中，23a的余子式23M与代数余子式23A互为相反数.()3.1112131112132122232122233132333132331,1,aaabbbaaabbbaaabbb则1111121213132121222223233131323233330ababababababababab.（）4.1112132122233132331aaaaaaaaa,则1323331222321121311aaaaaaaaa.（）5.21241644164236207188160116011222122212rrD.（）二.填空题（每题4分，共16分）1.已知1112132122233132331aaaaaaaaa，则21222311121331323322422aaaaaaaaa.2.已知1112132122233132332aaaaaaaaa，则121311131112212223222321232122aaaaaaaaaaaaaaa-+=.121311131112212223323331333132aaaaaaaaaaaaaaa-+=.3.由行列式确定的多项式xxxxxxf10112231111234）（中34xx，的系数分别为.学院班级学号姓名114.123231312=.三.计算下列行列式（各10分，共40分）1.2164106210112212D；2.111111111111222222222222）（）（）（）（）（）（）（）（dddcccbbbaaa；3.2nababDbaba；4.121212nnnnaaaaaaDaaa.四．（10分）设ijnDa为n阶行列式，ijnBa,ijnGka（k为非零数）,1.讨论,BD的关系；2.讨论,GD的关系.学院班级学号姓名12五.（10分）1110211213211211D,求21222324AAAA.六.（7分）设齐次线性方程组为11231231230,0,20.axxxxbxxxbxx用克拉默法则解讨论,ab应取何值时，方程组(1)仅有零解；(2)有非零解．学院班级学号姓名13第一章自测题答案一．1.错；2.对；3.错；4.错；5.对.二．1.4；2.0,2；3.8,6；4.18.三.1.23；2.0；3.22221nnDabD22nab；4.各列加到第一列上，然后提取公因式22112212211()1nncacncacnnnnaaaaDaaaaa112()nnaaa.四．1.=(1)=(1)nnijijnnBaaD；2.nnijijnnGkakakD.五.2122232411101111713211211AAAA.六.系数行列式1111(1)121aDbbab.（1）1,0ab；（2）1a或0b.学院班级学号姓名14第二章矩阵及其运算矩阵的运算部分知识概要内容概要：1.矩阵的线性运算（1）加法：两同型矩阵()ijmnAa´=与()ijmnBb´=的和矩阵为()ijijmnABab´+=+.（2）数乘法：数k与矩阵()ijmnAa´=的数量乘积矩阵()ijmnkAka´=.2.矩阵乘法运算（1）ms´矩阵()ijmsCc´=称为矩阵()ikmnAa´=与()kjnsBb´=的乘积.其中1122ijijijinnjcababab（1,2,,;1,2,,imjs==LL）.(2）kkAAAA=6447448L个为n阶方阵A的k次幂，特别规定0AE=.(3）1110()mmmmfAaAaAaAaE--=++++L（ia为数）为方阵A的多项式.3.矩阵的转置以()ijmnAa´=的行为列，列为行构成的nm´矩阵()TjinmAa´=为A的转置矩阵.A是n阶方阵，如果TAA=，称A为对称矩阵；如果TAA=-，称A为反对称矩阵.4.方阵的行列式以n阶方阵A的元素构成的行列式ijna称为方阵A的行列式.记为A或detA.常用解题方法及注意事项：利用运算定义和运算律进行运算.注意（ⅰ）第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等时两矩阵乘积才有意义.