线性代数练习册附答案

姓名班级学号1第1章矩阵习题1.写出下列从变量x,y到变量x1,y1的线性变换的系数矩阵：(1)011yxx；(2)cossinsincos11yxyyxx2.(通路矩阵)a省两个城市a1,a2和b省三个城市b1,b2,b3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况.3.设111111111Α，150421321B，求3AB-2A和ATB.4.计算(1)22100131124。b1a1。31。b2a2。22。b32(2)1)1,,(212221211211yxcbbbaabaayx5.已知两个线性变换32133212311542322yyyxyyyxyyx,323312211323zzyzzyzzy,写出它们的矩阵表示式,并求从321,,zzz到321,,xxx的线性变换.姓名班级学号36.设f(x)=a0xm+a1xm-1+…+am，A是n阶方阵，定义f(A)=a0Am+a1Am-1+…+amE.当f(x)=x2-5x+3，3312A时，求f(A).7.举出反例说明下列命题是错误的.(1)若A2=O，则A=O.(2)若A2=A，则A=O或A=E..47.设方阵A满足A2-3A-2E=O，证明A及A-2E都可逆，并用A分别表示出它们的逆矩阵．8.用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵：(1)132126421321A姓名班级学号5(2)03341431210110122413B.9.对下列初等变换，写出相应的初等方阵以及B和A之间的关系式.121121322101A~122rr121123302101~13cc131123302001=B.610.设ΛAPP1，其中1141P，2001Λ，求A9.11.设200030004A，矩阵B满足AB=A+2B，求B.姓名班级学号712.设102212533A,利用初等行变换求A-1.8复习题一1.设A,B,C均为n阶矩阵，且ABC=E,则必有（）.(A)ACB=E；(B)CBA=E；(C)BAC=E；(D)BCA=E.2.设333231232221131211aaaaaaaaaA,133312321131131211232221aaaaaaaaaaaaB,1000010101P,1010100012P，则必有().(A)AP1P2=B；（B）AP2P1=B；(C)P1P2A=B；(D)P2P1A=B.3.设A为4阶可逆矩阵，将A的第１列与第４列交换得B，再把B的第2列与第3列交换得C，设00010100001010001P，10000010010000012P，则C-1=（）.(A)A-1P1P2；(B)P1A-1P2；(C)P2P1A-1；(D)P2A-1P1.4.设n阶矩阵A满足A2-3A+2E=O，则下列结论中一定正确的是（）.(A)A-E不可逆；(B)A-2E不可逆；(C)A-3E可逆；(D)A-E和A-2E都可逆.5.设A=(1,2,3)，B=(1,1/2,1/3)，令C=ATB，求Cn.姓名班级学号96.证明：如果Ak=O，则(E-A)-1=E+A+A2+…+Ak-1，k为正整数.7.设A,B为三阶矩阵,710004100031A,且A-1BA=6A+BA，求B.108.设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆，求1OOBA.9.设0000000000000000121nnaaaaX（021naaa），求X-1.姓名班级学号11第2章行列式习题1.利用三阶行列式解下列三元线性方程组013222321321321xxxxxxxxx2.当x取何值时，0010413xxx.123.求下列排列的逆序数：(1)315624；(2)13…(2n-1)24…(2n).4.证明：3232acbabaacbabaacba.5.已知四阶行列式|A|中第2列元素依次为1,2,-1,3，它们的余子式的值依次为3,-4,-2,0,求|A|.姓名班级学号136.计算下列行列式:(1)1111111111111111(2)yxyxxyxyyxyx(3)011110111101111014(4)1222123312111xxxxxx（5）nnaaaD11111111121，其中021naaa．姓名班级学号157．设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*，证明：|A*|=|A|n-1，(n≥2)．8.设A,B都是三阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，且|A|=2，|B|=1，计算|-2A*B-1|．169.设111012112A，利用公式求A-1.姓名班级学号17复习题二1．设A,B都是n阶可逆矩阵，其伴随矩阵分别为A*、B*，证明：(AB)*=B*A*．2.设2200020000340043A，求A-1．183.已知A1,A2,B1,B2都是31矩阵，设A=(A1,A2,B1,)，B=(A1,A2,B2)，|A|=2，|B|=3，求|A+2B|．4．设A,B都是n阶方阵，试证：ABEEABE．姓名班级学号19第3章向量空间习题1.设α1=(1,-1,1)T,α2=(0,1,2)T,α3=(2,1,3)T，计算3α1-2α2+α3．2.设α1=(2,5,1,3)T,α2=(10,1,5,10)T,α3=(4,1,-1,1)T,且3(α1-x)+2(α2+x)=5(α3+x),求向量x.3.判别下列向量组的线性相关性:(1)α1=(-1,3,1)T,α2=(2,-6,-2)T,α3=(5,4,1)T；(2)β1=(2,3,0)T,β2=(-1,4,0)T,β3=(0,0,2)T.204.设β1=α1,β2=α1+α2,β3=α1+α2+a3，且向量组α1,α2,α3线性无关，证明向量组β1,β2,β3线性无关．5.设有两个向量组α1,α2,α3和β1=α1-α2+α3,β2=α1+α2-α3,β3=-α1+α2+α3，证明这两个向量组等价.6.求向量组α1=(1,2,-1)T,α2=(0,1,3)T,α3=(-2,-4,2)T,α4=(0,3,9)T的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.姓名班级学号217.设α1,α2,…,αn是一组n维向量，已知n维单位坐标向量ε1,ε2,…,εn能由它们线性表示，证明：α1,α2,…,αn线性无关．8.设有向量组α1,α2,α3,α4,α5，其中α1,α2,α3线性无关，α4=aα1+bα2,α5=cα2+dα3(a,b,c,d均为不为零的实数)，求向量组α1,α3,α4,α5的秩．9.设矩阵A=(1,2,…,n),B=(n,n-1,…,1)，求秩R(ATB).2210.设矩阵97963422644121121112A，求A的秩，并写出A的一个最高阶非零子式.11.已知矩阵120145124023021ttA，若A的秩R(A)=2，求参数t的值.姓名班级学号2312.设5913351146204532A，求A的列向量组的秩，并写出它的一个极大无关组.13.设A为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，证明：如果A2=A,则R(A)+R(A-E)=n．2414.已知向量空间3R的两组基为010,01121αα,1130α和111,01121ββ-,1103β，求由基α1,α2,α3到基β1,β2,β3的过渡矩阵.姓名班级学号25复习题三1.设矩阵kkkk111111111111A，已知A的秩为3，求k的值.2．设向量组A:α1,…,αs与B:β1,…,βr，若A组线性无关且B组能由A组线性表示为(β1,…,βr)＝(α1,…,αs)K，其中K为rs矩阵,试证：B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)＝r.263．设有三个n维向量组A：α1,α2,α3；B：α1,α2,α3,α4；C：α1,α2,α3,α5．若A组和C组都线性无关，而B组线性相关，证明向量组α1,α2,α3,α4-α5线性无关．4．设向量组A:α1=(1,1,0)T,α2=(1,0,1)T,α3=(0,1,1)T和B:β1=(-1,1,0)T,β2=(1,1,1)T,β3=(0,1,-1)T(1)证明：A组和B组都是三维向量空间3R的基；(2)求由A组基到B组基的过渡矩阵；(3)已知向量α在B组基下的坐标为(1,2,-1)T,求α在A组基下的坐标．姓名班级学号27第4章线性方程组习题1.写出方程组3223512254321432121xxxxxxxxxx的矩阵表示形式及向量表示形式.2.用克朗姆法则解下列线性方程组0322azcxbcbzcyabaybx,其中0abc283.问,取何值时，齐次线性方程组0200321321321xxxxxxxxx有非零解？4.设有线性方程组42-43212321321xxxkxkxxxkxx，讨论当k为何值时，(1)有唯一解？(2)有无穷多解？(3)无解？姓名班级学号295.求齐次线性方程组02683054202108432143214321xxxxxxxxxxxx的一个基础解系.6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η1,η2,η3是它的三个解向量，且η1=(2,3,4,5)T,η2+η3=(1,2,3,4)T，求此方程组的的通解．307.求下列非齐次线性方程组的通解：3223512254321432121xxxxxxxxxx8.设有向量组A：12122,131αα，3110α及向量131，问向量β能否由向量组A线性表示？姓名班级学号319.设η*是非齐次线性方程组AX=b的一个解，ξ1,ξ2,…,ξn-r是它的导出组的一个基础解系，证明：（1）η*,ξ1,ξ2,…,ξn-r线性无关；（2）η*,η*+ξ1,η*+ξ2,…,η*+ξn-r线性无关．32复习题四1.设101102121aaaA，且方程组AX=θ的解空间的维数为2，则a=.2．设齐次线性方程组a1x1+a2x2+…+anxn=0,且a1,a2,…,an不全为零，则它的基础解系所含向量个数为.3.设有向量组π：α1=(a,2,10)T,α2=(-2,1,5)T,α3=(-1,1,4)T及向量β=(1,b,-1)T，问a,b为何值时,（1）向量β不能由向量组π线性表示；（2）向量β能由向量组π线性表示，且表示式唯一；（3）向量β能由向量组π线性表示，且表示式不唯一，并求一般