血样的分组检验论文(改好的)

血样的分组化验参加队员：第41组1．院系：机械工程学院姓名：陈煌熙学号：200413422．院系：机械工程学院姓名：杨杰学号：200512623．院系：机械工程学院姓名：刘天豪学号：20041426血样的分组检验摘要问题一是阳性先验概率固定情况下如何分组使化验次数最小的问题，问题二是在问题一的基础上确定不分组时阳性的先验概率。首先以分组人数为决策变量，以化验次数为目标建立非线性规划模型。利用非线性规划法和代数分析法这两种方法求解，通过设定不同的阳性先验概率，分别利用LINGO软件和分析推到的方法，求出化验次数最小时的最佳分组人数（具体最佳分组人数如表1）。根据表1中的数据，画出()EX——p、k——p函数曲线图，平均检验次数随p的增大呈现先急剧下降后趋于水平的趋势。当0.307p时，()1EX，分组可以减少化验次数，当0.307p时，()1EX，分组反而增加了化验次数，所以不应分组。问题三是关于在两次分组的情况下化验次数最小时的最佳分组人数问题。两次分组时，第一次分组检验出阳性的组，在第二次分组时将该组的k个人分为m组，每组k人，并且满足k是k的整数倍。以第二次分组每组人数k为决策变量，以两次分组时平均每个人化验次数的数学期望为目标建立线性规划规划模型，通过LINGO软件求最优解，得到在不同p值下的最佳分组人数k、k（具体结果见表3），当0.307p时，()1EX，分组可以减少化验次数，当0.307p时，()1EX，分组反而增加了化验次数。通过表1和表3的数据画出()EX——p、()EX——p曲线对照图，通过观测这两条曲线得出结论：当0.307p时，两次分组的化验次数小于一次分组的化验次数，两次分组更能降低费用。本文的特色在于利用了两种算法来计算一次分组时的最佳分组人数，并且根据图像分析法比较了一次分组与两次分组时的化验次数，发现两次分组更能降低费用。关键字：化验次数非线性规划代数分析法最佳分组人数1问题提出要在人群中（数量很大，基本上是健康人）找出某种病毒的感染者，为减少检验次数（目的是降低费用），通常采用筛选的办法。即假设人群总数为n,将人群分成m组，每组的人数为k，将每组的k份血样混在一起进行化验，若化验结果呈阳性，则需要对该组的每个人重新进行化验，以确定谁是病毒感染者；若化验结果呈阴性，则表明该组全体成员均为阴性，不需要重新化验。(1)已知阳性的先验概率为p，当p固定时，如何分组可使得化验次数最小；(2)找出不应再分组的p的取值范围。(3)讨论两次分组的情况，即检测为阳性的组再次分组检验的情况。2基本假设（1）血样检验的结果只有阴性和阳性两种，且阳性和阴性的先验概率之和为1（2）人群中被抽样化验的事件是一个随机事件，且相互独立（3）血样化验结果正确无误，不考虑化验设备以及人为误差等原因（4）血样化验人群总数是确定的3符号说明n：人群总数m：第一次分组的组数k：第一次分组每组人数m：第二次分组的组数k：第二次分组每组人数p：阳性的先验概率X：第一次分组每人的化验次数X：第二次分组每人的化验次数()EX：第一次分组的平均每个人化验次数X的数学期望()EX：第二次分组平均每个人化验次数X的数学期望4问题分析4.1问题一的分析人群总数为n，分m组，每组人数k。阳性的先验概率为p，则阴性的先验概率为1-p。如果不分组，则每个人需要化验1次。如果分组，当某组化验结果是阴性，则不需要再进行化验，该组平均每个人的化验次数为1k，概率为(1)kp；当某组化验结果是阳性时，则需要对该组每个人进行化验，该组平均每个人的化验次数为1kk，概率为1(1)kp，因此，需要分组的条件是第一次分组化验次数的数学期望小于1。要求化验次数的数学期望的最小值，就是要求在满足数学期望小于1的情况下的每组人数k。4.2问题二的分析不应分组的条件就是要求阳性的先验概率p在什么范围内，使得分组后平均每个人化验次数的数学期望大于不分组时平均每个人化验次数。4.3问题三的分析问题三是在第一次分组化验的基础上再次分组化验的问题。对于第一次分组化验为阳性的组，重新分为m组，每组k人。以二次分组时每个人的平均检验次数为目标，建立非线性规划模型，取不同的p，求出第一次分组的最佳分组人数k和第二次分组的最佳分组人数k。5模型建立与求解5.1问题一模型建立与求解5.2.1模型建立由问题一的分析得出一次分组每人的化验次数X的分布规律为：X1k1kkP(1)kp1(1)kp则一次分组每人的化验次数的数学期望为：11()(1)[1(1)]11(1)kkkkEXppkkpk如何分组才能使每人化验次数最小，也就是求当阳性的先验概率p固定时的每组人数k为多少时，上式数学期望达到最小值，且必须小于1，其数学模型表达式为：min1()1(1)kEXpk(01,1)pk5.1.2模型求解在模型求解时，我们可以采用非线性规划法和代数分析法来求解I、解法一：非线性规划法当阳性的先验概率p固定时，我们把k看作自变量，那么数学期望就是一个关于k的函数，记作：1()1(1)kfkpk由于()fk在其定义区间(01,1)pk上连续且可导，现在我们来求()fk的最值，当()fk的一阶导数等于0时，()fk才可能取得最值。记()fk的一阶导数为()fk，()fk的表达式为：21()(1)ln(1)kfkppk现令()fk=0，21(1)ln(1)0kppk。设0k是方程()fk=0的一个解，现在，只要给出一个概率p值，算出与p对应的0k值，在这里，最佳分组人数k是正整数，所以当0k是整数时，最佳分组人数为k=0k，当0k不为整数时，取0[]kk或者0[]1kk，比较()EX，选取()fk较小的为k的最优值，运用lingo软件编程（见附件1），来求最佳分组人数k。我们选择在区间[0.00001,0.40]p有代表性的选择p值，得出p、k、()EX，结果见表1：表1不同p值下的最佳分组人数k和平均每个人的检验次数()EXp0.000010.000030.000050.000080.00010.00050.001k3171831421121014532()EX0.00630.01090.01410.01780.02000.04480.0628p0.0050.010.020.030.040.050.08k151186654()EX0.13910.19560.27420.33370.38390.42620.5336p0.100.200.300.3060.3070.3080.4k4333333()EX0.59390.82130.99030.99901.00051.00201.1173从上面的表1可以看出，当0.307p时，()1EX，分组可以减少检验的工作量，能够达到减小检验费用的要求。5.1.3结果分析检验费用由检验次数的多少决定，为此，有必要分析平均每个人的检验次数与阳性先验概率的关系。选取上面表1的()EX、p值，用曲线拟合的方法画出平均每个人的检验次数随p变化的函数曲线图：图1平均每个人的检验次数()EX随阳性先验概率p变化的曲线图从上面的()EX——p曲线看出：平均每个人的检验次数随p的增大而增大。因此，当阳性的先验概率p增大时，更有必要将分组以减小检验次数，以达到降低检验费用的目的。选取上面表1的p、k值，用曲线拟合的方法画出最佳分组人数随阳性先验概率变化的函数曲线图：图2最佳分组人数k随阳性先验概率p变化的曲线图注：横坐标表示阳性先验概率p，纵坐标表示与p对应的分组人数k。从上面的k——p曲线图可以看出：从整体上看，最佳分组人数随p的增大而呈现先急剧减小，后趋于水平的趋势，当00.05p时，最佳分组人数随着阳性先验概率的增大而急剧减小，当0.050.40p，最佳分组人数几乎不变，结合图1，当p增大到一定程度而继续增大时，()1EX，没必要分组了，分组反而增加了检验费用。II、解法二：代数分析法设0x是函数111xfxpx的最小值点，由于在111kEXpk中，k只能取正整数，因此，要使EX取得最小值的0k不正好等于0x，它刚好等于0[]x或者0[]1x（0[]x表示0x的整数部分，且不大于0x）令0k为我们所求的最佳分组人数，也是一次分组平均每人化验次数的数学期望EX的最小值点，则001001111111kkppkk001001111111kkppkk将上面两式合并得000011000011111101111kkkkppppkkkk整理上式得001000011101(1)(1)kkppppkkkk现在，我们令1()1(1)kgkppkk，（1,2,...k）由于人群数量很大中，基本上是健康人，所以阳性的先验概率很小，在这里，可以认为0p，则11p，()gk连续，因此存在一个正数k，使得()0gk，则10(1)pkk解上面的方程得，4111122pkp（因为41p，所以421pp）（注：41102pk舍掉，因为0k为正整数）取k=11[]2p，则有下面不等式关系：4111122pkp11()10(1)(1)kgkpppkkkk取整数11kk，算出1()gk，若1()0gk，则01kk;若1()0gk,则再取211kk，……直到()0ngk时为止，此时取0nkk，为了快速的找到最佳分组人数，我们取01[]hp，此时，如果1p的小数部分大于或等于12，则有111[][]2pp，即0hk，因此，寻求0h的方法与取11[]2kp的完全一样，如果1p的小数部分小于12，则有111[][]12pp，即01hk，但是此时不能保证0()0gh，此时需要分三种情况讨论：（如下图1所示）①若0()0gh，则取00kh，②若0()0gh，则取11iihh（1,2,...i），当0igh且10igh，则取01ikh③若0()0gh,则取11iihh，（1,2,...i），当0igh且10igh，则取0ikh图3()gk与()EX对照图下面给出当0.0001p、0.1p两个实例主要指标k1()1(1)kgkppkk0k（最佳分组人数）0.0001p01[]hp100010110100.1p01[]hp2043040下面我们给出在不同的p值下的最佳分组人数0k以及在最佳分组人数的情况下，平均每人化验次数EX,，以便得出分组与不分组时的临界p值表2不同p值下的最佳分组人数k和平均每个人的检验次数()EXp(阳性先验概率)0k（最佳分组人数）平均个人化验次数EX备注0.00011010.02分组能够达到减小平均每个人检验次数的目的0.001320.0630.01100.200.0550.430.1040.590.2030.820.3030.990.30230.99330.30430.99620.30630.99900.306530.99980.30730.1005分组反而会增加每个人检验次数0.30831.0019根据上面的表2知，当阳性的先验概率0.3065p时，当一次分组时，可以达到使平均每个人的化验次数小于不分组时平均每个人的化验次数，即1EX。5.2问题二的求解问题二的模型是建立在问题一的基础上的，不应分组的条件就是要求阳性的先验概率p在什么范围内，使得分组后平均每个人化验次数的数学期望大于不分组时平均每个人化验次数。不分组时平均每个人的化验次数为1，通过上面的表2分析，当0.307p时，()1EX，因此，分组检验反而会增加