函数与导数专题复习策略

函数与导数专题复习策略一、地位与高考要求二、近三年福建省高考中函数与导数主干知识考查情况三、几点看法四、考点分析五、数学思想分析六、2011高考预测周宁一中张神驹[e-mail]一、地位与高考要求地位：核心知识，主干知识，高考重点。题型：选择、填空、解答。难度：易、中、难对象：基本初等函数（分段形式）特别是二次函数，三次函数，抽象函数。文科与理科的差别主要体现在复合函数的求导（文科不要求）内容：函数图象与性质，切线、零点、恒成立、函数与方程、函数与不等式、函数与数列、函数与几何等。特点：稳中求变，变中求新，新中求活。二、近三年福建省高考中函数与导数主干知识考查情况函数与导数题号分值08年理科08年文科4、12、19、224、11、21262109年理科09年文科5、10、14、202、8、11、15、21282910年理科10年文科4、10、15、207、21、2228311、把握高考动态夯实基础知识2、提高解题能力，品味数学思想3、针对学生水平落实查缺补漏三、几点看法1、把握高考动态夯实基础知识（1）关注课程标准与考试说明，关注各种数学刊物与各地高考与模拟试题，关注人物（命题专家）对高考试题的评价报告。（2）“注重基础，回归教材”是高考命题不变的主题.教学复习应该突出函数的一个重要性质——单调性三、几点看法•2、提高解题能力，品味数学思想•能力立意是命题方向．•能力有：构造函数能力；运算（估算）能力；画图、看图、用图能力；分类讨论技巧；化归转化能力。•思想是：函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想，分类与整合思想，整体思想，特殊与一般思想，极端化思想，建模思想。三、几点看法3、针对学生水平落实查缺补漏关注易错点:易错不错，错过不再错,错题重做。•（1）常见错误：•①定义域错误②分类错误③计算错误④导数公式错误⑤画图错误•（2）几个结论：三、几点看法（2）几个结论①“恒成立问题”思路1、max,()[()]xDmfxmfx成立思路2、min,()[()]xDmfxmfx成立②“存在性问题”思路1、0min()[()]xDmfxmfx,成立思路2、0max()[()]xDmfxmfx,成立③“单调性问题”()0()fxfx，反之()()0fxfx，同样()0()fxfx，反之()()0fxfx（2）几个结论：③“单调性问题”12121212()()0()(()())0()fxfxxxfxfxfxxx12121212()()0()(()())0()fxfxxxfxfxfxxx④“极值问题”0()0fx且()fx在0x左右两侧导数异号0x是可导函数()fx的极值点，即0()0fx是0x为可导函数()fx极值点的必要条件⑤不等式证明，函数零点，方程解的个数，存在性恒成立等问题，通过构造函数转化为函数的单调性最值问题。三、几点看法：总之：紧扣考试热点,达成目标明确,难度要求恰当,适合学生实际1、把握高考动态夯实基础知识2、提高解题能力，品味数学思想3、针对学生水平落实查缺补漏四、考点分析考点一、函数基本性质考点二、函数的单调性、极值最值问题考点三、切线问题考点四、函数与导数综合问题考点五、函数与导数创新问题例1、(2009山东卷理)定义在R上的函数()fx满足2log(1),0()(1)(2),0xxfxfxfxx，则(2009)f的值为()A.-1B.0C.1D.2考点一、函数基本性质解法一：由已知得2(1)log21f,(0)0f,(1)(0)(1)1fff,(2)(1)(0)1fff,(3)(2)(1)1(1)0fff,(4)(3)(2)0(1)1fff,(5)(4)(3)1fff,(6)(5)(4)0fff,所以，当0x，函数()fx的值以6为周期重复性出现，所以(2009)(5)1ff，故选C.解法二：当0x，由等式()(1)(2)fxfxfx，得(1)()(1)fxfxfx，两式相加得，(1)(2)fxfx，即(3)()fxfx，从而有(6)()fxfx，所以(2009)(5)(1)1fff。例1、(2009山东卷理)定义在R上的函数()fx满足2log(1),0()(1)(2),0xxfxfxfxx，则(2009)f的值为()A.-1B.0C.1D.2考点二、函数的单调性、极值最值问题•步骤：①确定函数定义域；②求导；③求根；④列表定号，确定函数单调区间与极值；⑤比较区间端点与极值点的函数值，确定最值。注意点:1.导数为零的根的情形2.开区间端点的无限逼近情形例2、2011年福建省质检理科19已知函数22()lnafxxaxx（Ⅰ）求()fx的单调递增区间（Ⅱ）设1,()()agxfx，问是否存在实数k，使得函数()gx的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于k？若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由。第一问常规问题，考查求导，求根，列表等基本知识，考查分类讨论思想。分析：2222222()1aaxaxafxxxx，令()0fx，得2xa或xa（1）当0a时，0,()0xfx，，()fx的单调递增区间是(0,)（2）当0a时，0,()0xafx，,()0axfx，()fx的单调递增区间是(,)a（3）当0a时，02,()0xafx，2,()0axfx，()fx的单调递增区间是(2,)a考点三、切线问题关注切点，切点在切线上，切点在函数上，切线斜率为，三者可供选择。例3、（09福建文15）若曲线2lnfxaxx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是设切点为00(,)xy，则00120axx，即2012ax，又00x，所以0a类似问题1：（09福建文14）若曲线3()lnfxaxx存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是_____________.000001208ln212=_ln21_ln112yxbyxyxbbyxx相似问题、（江苏）直线是曲线的一条切线，则实数0()fx考点三、切线问题关注切点，切点在切线上，切点在函数上，切线斜率为，三者可供选择。类似问题3：（10福建文数22）已知函数21()3fxxaxb的图像在点P(0,f(0))处的切线方程为32yx.（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）设()()1mgxfxx是[2,)上的增函数.（ⅰ）求实数m的最大值；（ⅱ）当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线能与曲线()ygx围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.0()fx考点三、切线问题关注切点，切点在切线上，切点在函数上，切线斜率为，三者可供选择。类似问题4（10福建理20）（Ⅰ）已知函数3()fx=x-x，其图象记为曲线C。（i）求函数(x)f的单调区间；（ii）证明：若对于任意非零实数1x，曲线C与其在点111(,())Pxfx处的切线交于另一点222(,())Pxfx，曲线C与其在点222(,())Pxfx处的切线交于另一点333(,())Pxfx，线段1223,PPPP与1122,,SCSSS曲线所围成封闭图形的面积分别记为则为定值；（Ⅱ）对于一般的三次函数()(0)32gxaxbxcxda，请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。0()fx•类似问题5、（10北京理18）•类似问题6、（07湖北理20）•类似问题7、（07全国理Ⅱ22）•类似问题8、（05湖南理21题）•类似问题9、（03天津文18）考点三、切线问题关注切点，切点在切线上，切点在函数上，切线斜率为，三者可供选择。0()fx考点四、函数与导数综合问题例4、同例2、2011年福建省质检理科19已知函数22()lnafxxaxx（Ⅰ）求()fx的单调递增区间（Ⅱ）设1,()()agxfx，问是否存在实数k，使得函数()gx的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于k？若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由。第二问题交汇问题函数与不等式交汇处设计问题，考查探究能力，构造函数，体现化归转化思想。对恒成立的不等式实施等价转化后，成为常规的函数最值问题。分析：当1a时，221()1gxxx，假设存在实数k，满足题意，当120xx时，则有2121()()gxgxkxx2121()()()gxgxkxx2211()()gxkxgxkx()gxkx在(0,)上是增函数()0gxk在(0,)上恒成立，所以只求()gx在(0,)上最小值即可。类似问题：（09辽宁理21）已知函数21()(1)ln(1)2fxxaxaxa。（1）讨论函数()fx的单调性；（2）证明：若5a，则对任意12,(0,)xx，12xx，有1212()()1fxfxxx。考点四、函数与导数综合问题考点五、函数与导数创新问题例5、（10福建理10）对于具有相同定义域D的函数()fx和()gx，若存在函数()hxkxb（,kb为常数），对任给的正数m，存在相应的0xD，使得当xD且0xx时，总有0()()0()()fxhxmhxgxm，则称直线:lykxb为曲线()yfx和()ygx的“分渐近线”，给出定义域为1Dxx的四组函数如下：①2(),()fxxgxx②23()102,()xxfxgxx③21ln1(),()lnxxxfxgxxx④22(),()2(1)1xxfxgxxex其中，曲线()yfx和()ygx存在“分渐近线”的是（）A．①④B．②③C．②④D．③④考点五、函数与导数创新问题分析：题目条件涵义是：)()()(xxhxf)(x必须满足0)(x且()0limxx)()()(xxhxg其中且0)(x()0limxx注意到○2：xxf)101(2)()(xx)101(，xxg32)(，xx3)(满足要求○411)1(2)(xxxf11)(xx，xexxg2)1(2)(，xex2)(满足要求，故选C点评：本题从大学数列极限定义的角度出发，构造了分渐近线函数，目的是考查学生分析问题、解决问题的能力，考生需要抓住本质：存在分渐近线的充要条件是)()()(xxhxf)(x必须满足0)(x且()0limxx，)()()(xxhxg其中且0)(x()0limxx进行做答，是一道好题，思维灵活。五、数学思想分析1、数形结合——直观且高效的解题思想.例6、（2005年上海卷）设定义域为R的函数1,01||,1|lg|)(xxxxf，则关于x的方程0)()(2cxbfxf有7个不同实数解的充要条件是（）（A）0b且0c（B）0b且0c（C）0b且0c（D）0b且0c解：由)(xf图象知要使方程有7解，应使0)(xf有3解，0)(xf有4解．则0,0bc，选C．点评：考查函数与方程和数形结合思想，如果不借助于图形，试图通过研究方程式来得出结果是很困难的，不过，若对,bc进行特殊化处理，对四个选择进行排除，也是可行的方法．当然在利用数形结合思想解题时，作图一定要规范和准确．xyO21•五、数学思想分析1、数形结合——直观且高效的解题思想相似问题：（09福建理10）函数2()(0)fxaxbxca的图象关于直线2bxa对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，